(共27张PPT)
1.4.1 角平分线
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
导入新知
探究新知
知识点1
角平分线的性质定理
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表：
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_____
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
验证猜想：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
探究新知
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理
结论
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
B
A
D
O
P
E
C
定理的作用：
证明线段相等.
探究新知
几何语言：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
探究新知
B
A
D
O
P
E
C
角平分线的性质定理
素养考点 1
探究新知
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
例
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
巩固练习
变式训练
如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
知识点2
角平分线的判定定理
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论？这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
验证：
B
A
D
O
P
E
探究新知
证明：
∴OP平分∠AOB.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
探究新知
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定定理
结论
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
B
A
D
O
P
E
C
定理的作用：
判断点是否在角平分线上.
探究新知
几何语言：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
探究新知
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
总结：
角平分线的判定定理
素养考点
探究新知
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
例
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，
且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，
∴ DE= AD= .
在Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10，
巩固练习
变式训练
如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF.求证：DA平分∠EDF.
证明：证法1：
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD＝CD，BE＝CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线，即∠EAD＝∠FAD.
又∵∠ADE＝90°－∠EAD，∠ADF＝90°－∠FAD，
∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF.
证法2：
同证法1，可得Rt△BED≌Rt△CFD.
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
又∵BE＝CF，∴AE＝AF.
又∵AE⊥DE，AF⊥DF，
∴DA平分∠EDF.
巩固练习
1.[2024云南] 已知是等腰三角形底边 上的高，若点
到直线的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B.2 C.3 D.
（第2题）
2.在 内部，两个完全一样的三角板
如图所示放置，连接 ，若
，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.[2024湖南] 如图，在锐角三角形
中，是边上的高，在， 上分
别截取线段，，使 ；分别
以点，为圆心，大于 的长为半径
画弧，在内，两弧交于点 ，作射
6
线，交于点，过点作于点.若 ，
，则 ___.
返回
4. 小明将两
把完全相同的直尺如图放置在
上，两把直尺的接触点为，边 与
其中一把直尺边缘的交点为，点 ，
在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，
则 的长度是______.
返回
5.[2024佛山南海区月考] 如图，在中，是 的中
点，，，垂足分别是，， .求
证：是 的角平分线.
【证明】是的中点， .
， ，
.
在和中，
， .
， ，
平分，即是 的角平分线.
返回
（第6题）
6.[2024临沂期末] 如图，在四边形
中， ，，连接 ，
，.若是 边上一
动点，则 长的最小值为( )
C
A.2 B. C.4 D.
返回
（第7题）
7.母题教材P30习题T2 如图，在四边形
中， ，过点作 于
点，连接.若恰好平分 ，
，，则 的面积
为_ ___.
返回
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
谢谢观看！(共32张PPT)
1.4.2 角平分线
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
导入新知
A
B
C
探究新知
知识点
三角形的内角平分线
画一画：
（1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
（2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
探究新知
做一做：
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢
探究新知
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你能写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
结论证明：
探究新知
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM、角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D,E,F.
求证：∠ A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
D
E
F
M
N
C
B
A
P
探究新知
证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，
∴PD=PE(____________________________________________).
同理:PE=PF.∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上(________________________________ _____________________________)，
即 ∠A的平分线经过点P.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D
E
F
M
N
C
B
A
P
探究新知
探究新知
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
三角形的内角平分线
结论
D
E
F
M
N
C
B
A
P
在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪
三边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.三角形的三条中线的交点处
B.三角形的三边的垂直平分线的交点处
C.三角形的三条角平分线的交点处
D.三角形的三条高所在直线的交点处
C
探究新知
做一做：
探究新知
三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形_______一点 交于三角形
_______一点
钝角三角形 交于三角形_______一点
直角三角形 交于斜边的_________
交点性质 到三角形_____________的距离相等 到三角形_____
____的距离相等
内
外
中点
内
三个顶点
三
边
总结：
三角形的内角平分线
素养考点
探究新知
解：
如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
例1
∵AD是△ABC的角平分线, DC⊥AC，
DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
E
D
A
B
C
(2)求证:AB=AC+CD.
由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
探究新知
证明：
E
D
A
B
C
如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
解：点O到△ABC三边的距离和为12.
巩固练习
变式训练
M
E
N
A
B
C
P
O
D
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
连接OC，
探究新知
解：
M
E
N
A
B
C
P
O
D
探究新知
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
例2
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,
∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,
由勾股定理得:AC=6,
探究新知
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，
∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,
∴OD的长为2.
方法总结
探究新知
1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离.
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
（第1题）
1.如图，在中，和 的
平分线交于点， ，
，若的面积为 ，
则 的面积为( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2. 如图是油路管道的一部分，
延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，
两直角边，的长分别为和 .按
照输油中心 到三条支路的距离相等来连
接管道，则 到三条支路的管道总长
（计算时视管道为线段）是___ .
6
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（第3题）
3.[2024深圳外国语学校期末] 如图，
已知在中， ，
，，平分 ，
平分，与交于点 ，
若过点的直线平分 的面
积，那么 的值为___.
6
【点拨】如图，连接，过点 作
于点，于点 ，
于点 .
平分，平分 ，
与交于点 ，
.
，， ，
，
.
，
，即
，解得
.
过点的直线平分 面
积， ，
，
.
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4. 如图，在 中，
，的平分线相交于点 .
（1）求证：点在 的平分线上；
【证明】如图，过点作， ，
，垂足分别为,, .
,的平分线相交于点 ，
， .
.
点在 的平分线上.
（2）连接，若，，，求点
到 边的距离.
【解】，平分 ，
.
，,, 三点共线.
设，则 ，
在中，，即 ，
在中，，即 ，
，解得. .
点到边的距离是 .
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课堂小结
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
应用：位置的选择问题.
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