2.1 不等关系 课件（共28张PPT)

(共28张PPT)
2.1 不等关系
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解不等式的概念，认识不等号的含义.
2.学会并准确运用不等式表示数量关系，体会不等式是刻画量与量之间关系的重要模型之一.
3.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展符号感与将实际问题数学化的能力．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究新知
知识点
不等式的概念及列不等式
想一想：
如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
（1）如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l 应满足怎样的关系式？
（3)当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？
当l =8时，正方形的面积为
圆的面积为
所以，
当l =12时，正方形的面积为
圆的面积为
所以，
探究新知
探究新知
（4)当l =40时，正方形和圆的面积哪个大？通过以上问题，由此你发现了什么？
当l =40时，正方形的面积为
圆的面积为
所以，
我们发现无论取何值，圆的面积始终大于正方形的面积.
探究新知
做一做：
（1）处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？
我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50.
探究新知
（2）一辆轿车在一条规定车速应高于60km/h，且低于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时间之间的关系可得： s>60x，且s<100x.
探究新知
（3）铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为a cm, b cm, c cm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.
根据题意可得： a+b+c≤160.
探究新知
（4）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6m，在一定生长期内每年增加约3cm.设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式.
根据题意可得： 6+3x＞30.
探究新知
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式.
结论
观察由上述问题得到的关系式：x>50，s>60x，s<100x,a+b+c≤160 ，6+3x＞30，它们有什么共同的特点？
不等式的概念：
探究新知
不等号
≥
＞
＜
≤
读作
大于
小于
小于等于
大于等于
≠
不等于
不等号：
常见表示不等关系的词语:大于、比…大、超过;小于、比…小、低于;不大于、不超过、至多;不小于、不低于、至少等.
探究新知
不等关系：
①大于
②比…大
③多于
①小于
②比…小
③少于
①不大于
②不超过
③至多
①不小于
②不低于
③至少
第一类——明显的不等关系
关键词语
不等号
≥
＞
＜
≤
注意“不”字哦！
探究新知
文字语言
(表明数量的范围特征)
符号语言
a是正数
a是负数
a是非负数
a是非正数
a≤0
a＞0
a＜0
a≥0
第二类---隐含的不等关系
不等式的概念
素养考点 1
探究新知
①3>0;②4x+y≤1;③x+3=0;④y-7;⑤m-2.5>3.其中不等式有 (　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例1
C
注意：判断一个式子是否为不等式,关键是看这个式子中是否含有不等号,如:“<”“≤”“>”“≥”或“≠”.
探究新知
列不等式
素养考点 2
用不等式表示:
(1)x的 与x的2倍的和是非正数.
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米.
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元.
(4)明天下雨的可能性不小于70%.
(5)小明的体重不比小刚轻.
例2
探究新知
解：(1) x+2x≤0.
(2)设一枚炮弹的杀伤半径为r米,则应有r≥300.
(3)设每件上衣为a元,每条长裤是b元,应有3a+4b≤268.
(4)用P表示明天下雨的可能性,则有P≥70%.
(5)设小明的体重为a千克,小刚的体重为b千克,则应有
a≥b.
方法总结
根据不等关系列不等式的“两关键”
(1)要识别常见的不等号:>,<,≤,≥,≠;
(2)理解题意,弄清楚不等号两边的大小关系.
探究新知
探究新知
某次数学测验,共20道选择题,评分方法是答对一道题得5分,答错或不答扣3分.某同学要想在选择题上至少得60分,他至少要答对多少道题(只列不等式)
例3
解：设答对x道题,则不答或答错的题目数量为(20-x)道题,根据题意可得5x-3(20-x)≥60.
1.[2024郑州中原区期末] 下列式子中，是不等式的有( )
;;;; ;
.
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
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2.老师和同学们玩猜数游戏.老师在心里想一个100以内的数
字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错.甲问：
“小于50吗？”老师摇头.乙问：“不大于75吗？”老师点头.丙问：
“不小于60吗？”老师点头.老师心里想的数字 所在的范围为
( )
B
A. B.
C. D.
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3.母题教材P38随堂练习 对于下列结论： 为自然数，
则；为负数，则；不大于10，则 ；
为非负数，则 .正确的有______.（填序号）
②④
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4.[2024石家庄模拟] 小明要从甲地到乙地，两地相距 .
已知他步行的平均速度为 ，跑步的平均速度为
，若他要在不超过 的时间内从甲地到达乙
地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步 ，则列出的
不等式为( )
C
A.
B.
C.
D.
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5.母题教材P37做一做（1） 某长方体形状的容器长 ，
宽，高.容器内原有水的高度为 ，现准备向
它继续注水，用（单位： ）表示新注入水的体积，则
的取值范围为______________.
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6.[2024珠海金湾区期末] 根据机器零
件的设计图纸（如图），用不等式表
示零件长度的合格尺寸（ 的取值范
围）：_________________.
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7. 小芳妈妈晚上辅导小芳写作业时看到一个
不等式 ，请帮小芳妈妈设计一个实际情境让小芳
理解这个不等式.
【解】（答案不唯一）一个长方形的长为，宽为 ，这个长
方形长的2倍与宽的和不小于8.
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课堂小结
不等式
概念
用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子
列不等式
1.理解题意；
2.找出数量关系；
3.列出关系式.
谢谢观看！