2.2 不等式的基本性质课件（共24张PPT)

(共24张PPT)
2.2 不等式的基本性质
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解并掌握不等式的基本性质1，2，3.
2.掌握并能熟练应用不等式的基本性质进行不等式的变形.
3.理解不等式的基本性质与等式基本性质之间的区别与联系．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究新知
知识点
不等式的基本性质
探究一：
已知老师的年龄a岁，学生的年龄b岁，则有a＞b．
（1）5年前老师的年龄_____岁，学生的年龄_____岁．
不等关系表示为：____________；
（2）10年后老师的年龄_____岁，学生的年龄_____岁．
不等关系表示为：____________；
a-5
b-5
a-5＞b-5
a+10
b+10
a+10＞b+10
你发现了什么？
探究新知
结论
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号
的方向不变．
用字母表示：
若a＞b，则a＋c ＞b＋c（或a－c ＞b－c）.
探究新知
探究二：已知2＜3，完成下面填空：
＞
＜
题组一：
2×5 3×5； 2÷5 3÷5；
题组二：
2×(-1) 3×(-1)； 　 2÷（-1） 3÷(-1)；
2×
3×
(-
)
(-
)
；
2÷
3÷
(-
)
(-
)
．
2×
3×
；
2÷
3÷
．
＞
＞
＞
＜
＜
＜
你发现了什么？
探究新知
结论
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
用字母表示：
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
＞
＞
，
．
若a＞b，c＞0，则
若a＞b，c＜0，则
＜
＜
，
．
等式
不等式
等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式.
基本性质2
基本性质1
不等式两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.
等式的两边都乘同一个数(或除以一个不为0的数)，所得结果仍是等式.
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
探究新知
思考：不等式性质与等式性质有什么异同？
相同点：
不同点：
等式与不等式都可以在它的两边加上或减去同一个整式，符号保持不变.
等式与不等式两边同乘或同除以同一个正数，符号保持不变.
不等式两边同乘或同除以同一个负数，不等号的方向改变.
探究新知
例1 设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1） a - 3____b - 3；
（2） a÷3____b÷3
（3） 0.1a____0.1b;
（4） -4a____-4b
（5） 2a+3____2b+3;
（6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数)
＞
＞
＞
＞
＞
＜
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质2
不等式的性质3
不等式的性质1,2
不等式的性质2
不等式的性质
素养考点 1
探究新知
不等式的两边都乘以16，由不等式基本性质2，得
解：
不等式的两边都除以l2，由不等式基本性质2，得
因为上式是恒等式，所以 也为恒等式.
例2 上节课，我们猜想，无论绳长 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 .你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？
探究新知
已知a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1)a+2 ____2； (2)a-1 _____-1；
(3)3a______0； (4) ______0;
(5)a2_____0; (6)a3______0;
(7)a-1_____0； (8)|a|______0．
＜
＜
＜
＞
＜
＞
＜
＞
巩固练习
变式训练
解：
（1）不等式的两边都加上5，由不等式基本
性质1，得
x ＞ －1 +5，
即 x ＞ 4 .
（1）x －5 ＞ －1 ；
（2） －2x＞ 3 .
（2）不等式的两边都除以－2，由不等式基本
性质3，得
探究新知
利用不等式的性质把不等式化成x＞a、x＜a的形式
素养考点 2
将下列不等式化成“x＞a”“x＜a”的形式.
例3
1.[2024济宁二模] 若 ，则( )
D
A. B.
C. D.
2.[2024上海] 如果 ，那么下列正确的是( )
C
A. B.
C. D.
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3. 嘉淇解一道一元一次不等式的过程如下：
解：，， ，
☆ .
其中，“”“□”表示数字，“☆”表示不等号，则“ ”“□”“☆”分
别代表( )
D
A.6，4， B.6，4，
C.，， D.，，
返回
4.[2024青岛模拟] 如果，那么，， 的大小关系
是( )
C
A. B. C. D.无法比较
5.李兵的观点：不等式 不可能成立.理由：若在这个不
等式两边同时除以，则会出现 的错误结论.李兵的观点
______，理由______.（填“正确”或“错误”）
错误
错误
返回
6. 若点 在第二象限，且
，则 的取值范围为______.
7.将下列不等式化为“”或“ ”的形式.
（1） ；
【解】不等式两边同时乘，得 .
返回
（2） .
不等式两边同时减，得 .
不等式两边同时减3，得 .
不等式两边同时除以，得 .
返回
8.（1）若，且 ，求 的取值范围.
【解】，， .
（2）已知关于的不等式可化为 ，试确
定 的取值范围.
可化为， .
返回
9. 某商贩分两次买苹果，第一次买
了，价格为每千克元，第二次买了 ，价格为每千
克元.后来他以每千克 元的价格卖完，结果发现自己赔了
钱，下面判断与 的大小关系正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
10.[2024安徽淮北期末] 已知三个实数，， 满足
， ，则( )
B
A.， B.，
C.， D.，
【点拨】， .
， .
， .
.
， .
综上，， .
返回
不等式的基本性质
不等式的基本
性质2
不等式的基本
性质3
→
→
如果
那么
如果
那么
应用性质对不等式简单变形
不等式的基本
性质1
如果a>b，那么a+c>b+c，
a-c>b-c
→
课堂小结
谢谢观看！