(共24张PPT)
2.4.1 一元一次不等式
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解和掌握一元一次不等式的概念.
2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
每个不等式都只含有一个未知数；并且未知数的次数是1；不等号的两边都是整式.
知识点 1
一元一次不等式的概念
探究新知
观察下列不等式:
(1)6+3x>30 (2)x+17<5x (3)x>5 (4)
这些不等式有哪些共同点
只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
一元一次不等式的定义
结论
探究新知
(1)是用不等号连接的式子;
(2)两边都是整式;
(3)含有一个未知数;
(4)未知数最高次数为1且其系数不为0.
一元一次不等式必须同时满足的“四个条件”:
识别一元一次不等式
素养考点 1
探究新知
C
例 下列不等式中,一元一次不等式有( )
(1)3x>-9. (2)3(x+2)-4x
(3) + (x-1)≥1. (4) -5≤ .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
下列各式:①-x≥5;②y-3x<0;③ +5<0;④x2+x≠3;
⑤ +3≤3x;⑥x+2<0是一元一次不等式的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
变式训练
巩固练习
解不等式：
4x-1<5x+15
解方程：
4x-1=5x+15
解：移项，得
4x-5x=15+1
合并同类项，得
-x=16
系数化为1，得
x=-16
解：移项，得
4x-5x<15+1
合并同类项，得
-x<16
系数化为1，得
x>-16
探究新知
解一元一次不等式
知识点 2
去分母 去括号 移项 合并同类项
等式两边同除以未知数的系数.
解一元一次方程的步骤：
解一元一次方程的依据是等式的两个性质.
解一元一次方程时，它的移项法则是:
等号不变 , 把一项从等式的一边移到另一边后要改变符号.
等式的基本性质是:
等式的两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立.
等式的两边同时乘(或除以)同一个数（0除外），等式仍然成立.
探究新知
去分母 去括号 移项 合并同类项
不等式两边同除以未知数的系数.
不等号不变 , 把一项从不等式的一边移到另一边后要改变符号.
解一元一次不等式的步骤：
解一元一次不等式的依据是 .
解一元一次不等式时，它的移项法则是:
不等式的基本性质是:
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的三个性质
不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.
讲授新课
探究新知
解一元一次不等式的注意事项:
（2）要注意区分“大于”、“不大于”、“小于”、“不小于”等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言用数学符号准确的表达出来.
（3）在数轴上表示解集应注意的问题：
方向、空心或实心.
（1）在运用性质3时要特别注意：
不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
探究新知
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为xa的形式.
探究新知
归纳总结
讲授新课
解一元一次不等式
素养考点 2
探究新知
解：
两边都加上x，得
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
合并同类项，得
两边都加上–6，得
合并同类项，得
两边都除以3，得
即
这个不等式的解集在
数轴上表示如下：
解不等式3–x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
例1
解:去分母得3(x-2) ≥ 2(7-x),
去括号得3x-6 ≥ 14-2x,
移项、合并同类项得5x ≥ 20,
系数化为1，得x ≥ 4.
探究新知
解不等式 ≥ ,并把它的解集表示在数轴上.
例2
这里改为“并把它的解集表示在数轴上”，答案增加解集的数轴表示
-1
0
1
2
3
4
5
6
在数轴上表示如图:
方法总结
解一元一次不等式的四点注意
(1)去分母:去分母时要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘不含分母的项.
(2)去括号:根据乘法的分配律不要漏乘项.
(3)移项:移项要注意改变该项的符号,不等号方向不变.
(4)系数化为1:两边都除以负数时注意不等号方向要改变.
探究新知
1.不等式；； ；
； 中，一元一次不等式有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.[2024陕西] 不等式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.解不等式 ，下列在数轴上表示的解集正确的是
( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
4.[2024盐城亭湖区月考] 已知 是关于
的一元一次不等式，则 ___.
3
返回
5. 以下是某同学解不等式 的
部分解答过程.
解：去分母，得 .①
去括号，得 .②
移项，得 .③
（1）以上解题过程中，第②步是依据____________进行变
形的，第____步开始出现错误.
乘法分配律
③
（2）请你写出正确完整的解答过程.
【解】去分母，得 .
去括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得.系数化为1，得 .
返回
6.[2024连云港] 解不等式： ，并把解集在数轴上
表示出来.
【解】去分母，得.去括号，得 .
移项，得.合并同类项，得 .系数化为1，
得 .
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
返回
7. 求不等式 的正整数解.
【解】去分母，得 .
去括号，得.移项，得 .
合并同类项，得.系数化为1,得 .
不等式的正整数解为1，2.
返回
一元一次不等式的概念和
解法
一元一次不等式的概念
解一元一次不等式的步骤
课堂小结
只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
去分母 去括号 移项
合并同类项 不等式
两边同除以未知数的系数.
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2.4.2 一元一次不等式
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问题.
2.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想.
3.体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
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课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探究新知
知识点
一元一次不等式的应用
思考：小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午4点以前必须回到出发点. 如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？
问题中涉及的数量关系是：
去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤总时间.
解：设从出发点到山顶的距离为x km,
则他们去时所花时间为 h
回来所花时间为 h.
他们在山顶休息了2 h，又上午7点到下午4点之间总共相隔9 h，即所用时间应小于或等于9 h.
所以有 +2+ ≤ 9.
解得 x≤12.
因此要满足下午4点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上D山顶.
探究新知
总结：列不等式解应用题的步骤.
(1)审题,找出量与量之间的_________关系;
(2)设未知数;
(3)列出___________;
(4)解不等式;
(5)根据_________情况,写出答案.
不等
不等式
实际
探究新知
找不等关系的方法：
(1)直接型的不等关系:可以通过一些___________,如“大于,小于,不大于,不小于,至多,至少,不够,超过”等.
如“各景点门票都很贵,没有低于100元的”实际上就是_____________100元.
(2)隐含型的不等关系:不等关系比较隐蔽,表面上没有关键词,需要分析题意,再依据生活实际得出不等关系.
如“保质期6个月”,实际上就是_____________6个月.
关键词
大于等于
小于等于
探究新知
一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
分析：本题涉及的数量关系是：总得分≥85.
一元一次不等式的应用
素养考点 1
探究新知
例1
解：设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的共有 (25－x)道题.根据题意，得
4x－1×(25－x)≥85.
解这个不等式，得 x ≥ 22.
答：小明至少答对了22道题.
巩固练习
方法总结
在日常生活中,像水费、电费、电话费、出租车收费等问题中,一般出现“至多”“至少”“不超过”“不低于”等关键词语时,便可建立一元一次不等式模型求解.
例2 某种服装的进价为240元,出售时标价为360元,由于换季,商店准备打折销售,但要保持利润不低于20%,那么至多打 ( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
C
与利润有关的问题
素养考点 2
探究新知
解析：设打了x折，根据题意列不等式得
330×0.1x-240≥240×10%，
解得：x≥8．
1. 如图①，一个容量为 的杯子中装有
的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没
有满，如图②.设每颗玻璃球的体积为 ，根据题意可列
不等式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
2.小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某
一商品的定价为 元，并列出关系式为
，则下列可能是小美告诉小明的内容
的是( )
A
A.买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1 000元
B.买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1 000元
C.买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1 000元
D.买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1 000元
返回
3. 象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花.为美
化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6
元，总费用不超过5 000元，则最多可以购买_____棵.
833
4.台灯的灯光照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工
作且节省能源.某款台灯进价40元，标价56元，商店为了促销，
决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打______
折销售.
七五
返回
5. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的
习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地
联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩
甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙
作物需要22名学生.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
【解】设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要
名学生，根据题意得解得
种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生.
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55
人，至少种植甲作物多少亩？
设种植甲作物亩，则种植乙作物 亩，
根据题意得，解得 ，
至少种植甲作物5亩.
返回
6.某市出租车的收费标准是：起步价为8元（即行驶距离不超
过，都需付8元车费），超过后，每增加 ，加
收1.5元（不足按 计算）.某人从甲地到乙地经过的
路程是，出租车费为15.5元，那么 的最大值是( )
B
A.11 B.8 C.7 D.5
返回
一元一次不等式的应用
实际问题
↓
根据题意列不等式
↓
解一元一次不等式
→
→
根据实际问题找出符合条件的解集或整数解
↑
得出解决问题的答案
课堂小结
谢谢观看！