第二十二章 二次函数　学情评估卷（含答案）人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数　学情评估卷
时间: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是(　　)
A．y＝(a＋2)x2＋1 B．y＝＋1
C．y＝(x＋2)(x＋1)－x2 　　 D．y＝2x2＋3x
2．抛物线y＝3x2－2x－1与y轴的交点坐标为(　　)
A．(0，1) B．(1，0) C．(0，－1) D．(－1，0)
3．已知二次函数y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是(　　)
A．其图象的开口向上 B．其图象与x轴没有交点
C．其图象的顶点坐标为(2，1) D．当x>1时，y随x的增大而增大
4．已知二次函数y＝x2－2x－3，当－1≤x≤2时，函数的最大值为(　　)
A．－3 B．－1 C．0 D．2
5．将抛物线y＝(x－2)2－4向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝(x－3)2－7，则a，b的值分别是(　　)
A．1，－3 B．1，2 C．1，3 D．－2，－3
6．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c>n的解集为(　　)
A．x>－1 B．x<3 C．x<－1或x>3 D．－17．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋x＋1的一部分(如图所示，水平地面为x轴，单位：m)，则下列说法不正确的是(　　)
A．出球点A离点O的距离是1 m
B．羽毛球横向飞出的最远距离是3 m
C．羽毛球运动中达到的最大高度为 m
D．当羽毛球横向飞出 m时，可到达最高点
8．[2025黄山期中]在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b与二次函数 y＝kx2＋6x＋b的图象可能是(　　)
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象与x轴交于点A (－3，0)，B(1，0)．有下列结论：①abc＞0；②若点(－2，y1)和(－0.5，y2)均在此函数图象上，则y1＜y2；③5a－b＋c＝0；④4a＋c＞0.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点，已知二次函数y＝(4a＋2)x2＋(9－6a)x－4a＋4(a为常数)的图象与x轴的交点有整点，则这样的整数a有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．请你写出一个二次函数：________，其图象满足条件：①开口向下；②图象过原点．
12．[2025北京西城区期中]已知点A(－1，y1)，B(4，y2)在二次函数y＝(x－2)2的图象上，y1与y2的大小关系为y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
13．一个二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为(－1，2)，那么它的解析式为________________．
14．如图，王叔叔想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB＝________m时，羊圈的面积最大．
15．已知抛物线y＝x2＋kx－1经过(－2，n)和(4，n)两点，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的纵坐标为________．
16．“过水门”仪式因两辆或两辆以上的消防车在飞机两侧喷射水雾时，会出现一个“水门”状的效果而得名．这一项仪式极具象征意义，寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪．在一次“过水门”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80 m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20 m，喷水口A，B距地面均为4 m．若两辆消防车同时后退10 m，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面________m.
三、解答题(本大题共7小题，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17．(8分)已知二次函数y＝(2x＋3)(1－x)－3.
(1)将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项；
(2)写出该二次函数图象的顶点坐标．
18. (8分)如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.
(1)求a的值；
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
19．(8分)[2024扬州月考]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出抛物线的顶点P的坐标；
(2)求△BCP的面积．
20．(10分)如图，直线y1＝x－1和抛物线y2＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B (3，2).
(1)求抛物线的解析式；
(2)当1(3)当x为何值时不等式x2＋bx＋c>x－1成立？请你直接写出x的取值范围．
21．(10分)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线状．当球飞行的水平距离为6 m时，球到达最高点，此时球离地面3 m．已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
22．(10分)果园有果树60棵，现准备多种一些果树来提高产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内每棵果树的平均产量为75 kg.在确保每棵果树平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x(x＞0且x为整数)棵，该果园每棵果树的平均产量为y kg，它们之间的函数关系为一次函数关系，且满足如图所示的图象．
(1)图中点P所表示的实际意义是_______________________________________，每增种1棵果树时，每棵果树的平均产量减少________kg.
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大总产量是多少？
23．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK＋PD的最大值及此时点P的坐标；
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
一、1．D　2．C　3．D　4．C　5．A　6．C 7．B　8．A　9．C　10．C　
二、11．y＝－x2(答案不唯一)　12．＞
13．y＝6(x＋1)2＋2或y＝－10(x＋1)2＋2
14．15　15．2　16．19
三、17．解：(1)y＝(2x＋3)(1－x)－3＝－2x2－x.二次项为－2x2，一次项是－x，常数项是0.
(2)y＝－2x2－x＝－2＋，则该二次函数图象的顶点坐标为.
18．解：(1)由二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)知，其图象与x轴的交点坐标是(1，0)和(a，0)．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2，解得a＝3.
(2)由(1)知a＝3，则该二次函数的解析式是y＝(x－1)(x－3)，
即y＝x2－4x＋3.
∵平移后的图象经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的解析式是y＝x2－4x.
19．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x－4.顶点P的坐标为.
(2)连接OP，由y＝x2－3x－4可知点C的坐标为(0，－4)．
又∵B(4，0)，P，
∴S△OPC＝×4×＝3，S△BOP＝×4×＝，S△BOC＝×4×4＝8，
∴S△BPC＝S△OPC＋S△BOP－S△BOC＝3＋－8＝.
20．解：(1)∵抛物线 y2＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，2)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y2＝x2－3x＋2.
(2)－≤y2<2
(3)x的取值范围为x＜1或x＞3.
21．解：(1)易知抛物线的顶点坐标为(2，3)．
∴设抛物线的函数解析式为 y＝a(x－2)2＋3，
把点A(8，0)的坐标代入，得36a＋3＝0，解得a＝－，
∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－2)2＋3.
当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44，∴球不能射进球门．
(2)设小明应带球向正后方移动m m，则移动后的抛物线的解析式为y＝ －(x－2－m)2＋3，把点(0，2.25)的坐标代入，得2.25＝－×(0－2－ m)2＋3，解得 m＝－5(舍去)或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处．
22．解：(1)增种果树28棵时，每棵果树的平均产量为66 kg；
(2)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b.
把分别代入上式，得解得
∴y关于x的函数解析式为y＝－x＋80，自变量x的取值范围是0(3)w＝(60＋x)＝－x2＋50x＋4 800.
∵－<0，∴当x＝－＝50 时，w最大值＝6 050.
答：当增种果树50棵时，果园的总产量w(kg)最大，最大总产量是6 050 kg.
23．解：(1)根据题意得解得∴该抛物线的函数解析式为y＝x2－x－2.
(2)∵A(0，－2)，B(4，0)，
∴直线AB的解析式为y＝x－2，
设P(0＜m＜4)，
则K，
∴PK＋PD＝(m－m2＋m)＋＝－m2＋m＋2＝－(m－)2＋，
∵－＜0，∴当m＝时，PK＋PD有最大值，此时P.
(3)存在．如图，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于点M2，连接AM1，BM2，由(1)易知抛物线的对称轴为直线x＝1.
设M1(1，n)，则AM12＝n2＋4n＋5，BM12＝n2＋9，
由AB2＋BM12＝AM12，可得22＋42＋n2＋9＝n2＋4n＋5，解得n＝6，
∴M1(1，6)，∴直线 BM1的解析式为y＝－2x＋8.
∵AM2⊥AB，BM1⊥AB，
∴AM2∥BM1，
又∵直线AM2经过A(0，－2)，
∴易得直线AM2的解析式为y＝－2x－2，
∴当x＝1时，y＝－2×1－2＝－4，
∴M2(1，－4)．
综上所述，点M的坐标为(1，6)或(1，－4)．