(共28张PPT)
2.5.1 一元一次不等式
与一次函数
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.体会一元一次不等式与一次函数的内在联系.
2.利用不等式与函数的关系解决简单的实际问题.
3.通过作函数图像，观察函数图像初步体验数形结合思想．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
做一做：
作出一次函数y=2x-5的图象：
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
探究新知
知识点 1
一元一次不等式与一次函数
观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时, 2x-5=0
∴ x=2.5, 2x-5=0
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
(2.5,0)
分析:
y=0
探究新知
(2)x取哪些值时, 2x-5>0
∴ x>2.5, 2x-5>0
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
(2.5,0)
分析:
y>0
探究新知
(3)x取哪些值时, 2x-5<0
∴ x<2.5, 2x-5<0
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
(2.5,0)
分析:
y<0
探究新知
(4)x取哪些值时, 2x-5>3
∴ x>4, 2x-5>3
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=2x-5
分析:
y=3
探究新知
由上述讨论易知：
“关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一元一次不等式的问题” ；
反过来，“关于一元一次不等式的问题”可变换成 “关于一次函数的值的问题”.
因此，我们既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用.
不等式与函数 、方程是紧密联系着的一个整体 .
探究新知
想一想：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
思路二:
将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式-2x-5 >0
∴当x<-2.5时, y>0.
思路一:
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当x<-2.5时, y>0.
(-2.5,0)
作一次函数y=-2x-5的图象
探究新知
一元一次不等式与一次函数之间的关系
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有紧
密联系,当函数值等于0时,即为_____________;当函数值大
于或小于0时,即为______________.
一元一次方程
一元一次不等式
总结：
探究新知
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值
大于0（或小于0）时x
的取值范围
直线y= ax+b在x轴上方（或
下方）时自变量的取值范围
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b
是常数，a≠0)的解集
探究新知
如图所示是函数y=- x+3的图象,那么方程
- x+3=0的解是________,不等式- x+3<0的解集是
________,当y>3时,x的取值范围是________.
x=4
x>4
x<0
巩固练习
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自已才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面
(2)何时哥哥跑在弟弟前面
(3)谁先跑过20m 谁先跑过100m
(4)你是怎样求解的 与同伴交流.
解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)，弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:
y1=4x
y2=3x+9
探究新知
知识点2
用一次函数图像解一元一次不等式ax +b> cx +d(或ax +b< cx +d)
(1)_______________时,弟弟跑在哥哥前面.
(2)__________时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过20m.______先跑过100m.
方法一:图象法
0(s)x>9(s)
y1=4x
y2=3x+9
(9,36)
0
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
探究新知
方法二:代数法
哥哥: y1=4x
弟弟: y2=3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面
(2)何时哥哥跑在弟弟前面
(3)谁先跑过20m 谁先跑过100m
4x<3x+9
x<9
4x>3x+9
x>9
4x=20
3x+9=20
x=5
4x=100
3x+9=100
x=25
∴弟弟先跑过20m
∴哥哥先跑过100m
探究新知
因此,当 时,y1>y2.
已知y1=－x+3, y2=3x－4,当x取何值时y1>y2你是怎样做的 与同伴交流.
解法2:根据题意,得
-x+3> 3x－4,
解得
巩固练习
当 时,y1>y2.
解法1:观察图象可知,
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y2=3x－4
y1=－x+3
方法总结
对于两个一次函数y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0),
若比较y1与y2的大小,即是比较k1x+b1与k2x+b2的大小,
即为求不等式k1x+b1>k2x+b2(或k1x+b1巩固练习
1.一次函数 的图象如图所示，
点 在该函数的图象上，则不等式
的解集为( )
B
A. B. C. D.
返回
2.母题教材P50随堂练习 如图，直线 与直线
交于点.当时， 的取值范围是
______.
（第2题）
返回
3.如图，直线经过点 ，当
时， 的取值范围为______.
（第3题）
返回
4.画出函数 的图象，并回答下列问题：
【解】在中,当时， ；
当时， ，
函数的图象过点和点 .
函数 的图象如图.
（1）当为何值时， ？
函数图象经过点，并且函数值随 的增大而增大，因
而当时， .
（2）如果这个函数的值满足，求相应的 的取
值范围.
如图，函数图象经过点和点,易知当函数 的
值满足时，相应的的取值范围是 .
返回
（第5题）
5.如图，在平面直角坐标系中，若直线
与直线 相交于点
，则下列结论错误的是( )
C
A.方程的解是
B.不等式 和不等式
的解集相同
C.方程组 的解是
D.不等式的解集是
（第5题）
【点拨】A. 直线 与直线
相交于点 ，
方程的解是 ，故正
确,不符合题意.
B.由图象可知，不等式 和不等
式的解集都是 ，故正确, 不符合题意.
C.易知方程组 的解是
故错误,符合题意.
D.由图象可知不等式 的解
集是 ，故正确,不符合题意.
故选C.
（第5题）
返回
一元一次不等式
一次函数
可以研究一次函数的图象走向
通过图象可直接解不等式
课堂小结
谢谢观看！(共23张PPT)
2.5.2 一元一次不等式
与一次函数
第一章 三角形的证明
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.利用一次函数、一元一次不等式及一元一次方程这三者之间的关系解决生活中的实际问题.
2.运用数形结合思想方便快捷解决问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1分钟收费0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话1分钟收费0.4 元.你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
解：设顾客每月通话时长为x 分钟，那么甲种业务每个月的消费额为y1，乙种业务每个月的消费额为y2，根据题意可知
y1=10+0.3x ， y2=0.4x
探究新知
知识点
一元一次不等式与一次函数的综合应用
当甲乙两种业务消费额 一样时，
即y1= y2，得10+0.3x=0.4x，解得x=100；
当甲乙两种业务消费额不一样时，
①由y1>y2，得10+0.3x>0.4x，解得x<100；
此时选择乙种业务比较合算.
②由y1100.
此时选择甲种业务比较合算.
探究新知
所以当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 分钟，选择甲种业务比较合算；如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业务比较合算.
探究新知
方案选择问题解题思路：
(1)根据题意分别写出方案A、B的函数解析式yA、yB；
(2)将方案A、B进行比较：①yA>yB , ②yA(3)根据实际情况选择方案.
探究新知
利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤.
（1）根据题意写出两个_______________.
（2）方法一:画出图象,分析图象,得出结论.
（3）方法二:列_________________,解_________________,
得出结论.
函数表达式
不等式或方程
不等式或方程
探究新知
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
探究新知
实际问题
写出两个函数表达式
不等式
解不等式
画出图象
分析图象
解决问题
某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10~25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,其余游客八折优惠.该选择哪一家旅行社呢？
解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需的费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则：
y1 = 200×0.75x, 即y1 = 150x；
y2 = 200×0.8(x-1), 即y2= 160x-160.
一元一次不等式与一次函数的综合应用
素养考点
探究新知
例1
由y1 = y2, 得150x=160x-160，解得x=16；
由y1 ＞ y2, 得150x＞160x-160，解得x＜16；
由y1 ＜ y2, 得150x＜160x-160，解得x＞16 .
因为参加旅游的人数为10~25人,所以：
当x=16时，y1=y2 甲、乙两家旅行社的收费相同；
当16当10≤x<16时，y1>y2，选择乙旅行社费用较少.
探究新知
方法总结
解决实际问题步骤:
（1）理清题目中的数量关系，把这些数量关系分解为几个函数关系；
（2）列出这些函数关系式；
（3）根据题意，将列出的函数关系式转化为不等式；
（4）解不等式；
（5）选择符合题意的不等式的解集.
巩固练习
甲
探究新知
如图所示,是某电信公司甲、乙两种业务:每月通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系.某企业的周经理想从两种业务中选择一种,如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上,那么选择_______种业务合算.
例2
解析：
设乙种业务对应的函数解析式为y=kx，则50k=10，得k=0.2，
即乙种业务对应的函数解析式为y=0.2x.
设甲种业务对应的函数解析式为y=ax+b，代入（0,10）（50,15），得a=0.1，b=10，即甲种业务对应的函数解析式为y=0.1x+10.
∴令0.2x=0.1x+10，得x=100，即当通话时间为100分钟时两种业务花费一样多，
由图像可知，当通话时间在100分钟以上，甲种业务比较合算.
故答案为：甲.
探究新知
方法总结
解答决策性问题的一般步骤：
(1)列出相关的一次函数解析式y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0).
(2)根据y1和y2之间的大小关系分情况求得相应的x的值.
(3)比较所得的结果,根据问题要求进行判断或决策.
探究新知
1. 某区准备举办“低碳生活，绿
色出行”宣传活动，准备印制宣传单，现有甲、
乙两家快印店可供选择.快印店的费用 （元）与
数量 （份）之间的函数关系如图所示，则下列
说法错误的是 ( )
A.若打印800份宣传单，选择甲快印店比较合算
B.若打印1 000份宣传单，甲、乙两家费用相同
C.若打印的宣传单超过1 000份，选择甲快印店比
较合算
D.若总预算不超过3 000元，则宣传单打印的数量
不能超过1 000份
√
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2.某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在
（含和 ）的客户有两种
销售方案（客户只能选择其中一种方案）:
方案 每千克5.8元，由基地免费送货；
方案 每千克5元，客户需支付运费2 000元.
（1）请分别写出按方案、方案购买这种苹果的应付款
（元）与购买量 之间的函数表达式；
【解】方案函数表达式为 .
方案函数表达式为 .
（2）求购买量在什么范围时，客户选用方案比方案 付款少.
由题意，得.解不等式，得 .
， 当购买量的取值范围为
时，选用方案比方案 付款少.
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3.[2024北京房山区期中] 初中生正处于生长发育的重要时期，
每天要保证摄入足够的能量.某学校食堂中午提供， 两种
套餐，经研究发现每份套餐中含有蛋白质,每分 套餐中
含有蛋白质 .依据中国营养学会推荐，建议中学生午餐蛋
白质摄入总量每周不低于 .为符合该标准，小涵同学在
一周内可以选择， 两种套餐各几天？写出所有的方案.
（说明：一周按5天计算）
【解】设选择种套餐天，则 ，解得
.
又，且 为整数，
可取值为3，4，5，共有三种方案:
方案一：种套餐3天， 种套餐2天；
方案二：种套餐4天， 种套餐1天；
方案三： 种套餐5天.
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一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
不等式
解不等式
画出图象
分析图象
解决问题
课堂小结
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