(共31张PPT)
3.2.1 图形的旋转
第三章 图形的平移与旋转
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
通过具体实例认识旋转，掌握旋转的有关概念及基本性质.
能够根据旋转的基本性质进行相关的计算和证明.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
以上情景中的转动现象，有什么共同特征？
钟表的指针在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？飞机的螺旋桨、电风扇的叶轮的转动呢？
导入新知
B
O
A
45
°
问题：观察下列图形的运动，它有什么特点？
探究新知
知识点 1
旋转的概念
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120°
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
探究新知
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
探究新知
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
旋转的定义
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
结论
探究新知
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定图形的旋转时,
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，
旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换
同样属于全等变换.
注意：
探究新知
例 △ ABD经过旋转后到△ ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转了多少度 顺时针还是逆时针？
(3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置
A
B
C
E
M
.
解：(1)旋转中心是点A;
(2)旋转了60 °,逆时针;
(3)点M转到了AC的中点上.
D
60°
旋转的定义
素养考点1
探究新知
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、 _______ .
O
A
C
D
E
F
O
∠AOB
60
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
B
巩固练习
变式训练
B'
A'
C'
A
B
C
O
观察下图，你能得到什么结论？
探究新知
知识点 2
旋转的性质
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
D
E
A
B
F
C
O
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
4.对应线段相等，对应角相等.
旋转的性质：
3.旋转中心是唯一不动的点;
结论
探究新知
例1 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________度．
135
旋转的性质
素养考点 1
探究新知
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，
EE′
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
本页字母都为斜体
例2 如图,P是正△ABC内一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,则点P与P′之间的距离为PP′= ,∠APB= 度.
与旋转有关的计算
素养考点 2
探究新知
解析：连接PP′,由旋转可知:△P′AB≌_______,
所以∠CAP=∠BAP′,AP=AP′=6,CP=BP′=10,
又∵∠CAP+∠PAB=_______, ∴∠P′AP=∠BAP′+∠BAP=60°,
△PAC
60°
∴△P′AP是________三角形, ∴AP=AP′=PP′=6,∠APP′=60°,
∵62+82=102,∴P′P2+PB2=P′B2,∴△P′PB是_______三角形,
∴∠P′PB=_______,∴∠APB=∠P′PB+∠APP′=150°.
等边
直角
90°
答案: 6 150
探究新知
探究新知
方法总结
旋转的性质的两种应用
(1)根据旋转角相等，对应点与旋转中心的连线相等可得线段或角相等.
(2)根据旋转前后的图形与原来图形的形状、大小都相同可得图形的对应线段、对应角相等.
如图,小明坐在秋千上,秋千旋转了76°,小明的位置也从A点运动到了A′点,则∠OAA′的度数为( )
A.28° B.52° C.74° D.76°
B
巩固练习
变式训练
例3 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.
与旋转有关的证明
素养考点 3
探究新知
(1)补充完成图形.
(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
解：(1)补全图形,如图所示
(2)由旋转的性质得:∠DCF=90°,
∴∠DCE+∠ECF=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCE+∠BCD=90°,
∴∠ECF=∠BCD,
∵EF∥DC,
∴∠EFC+∠DCF=180°,
探究新知
在△BDC和△EFC中,
∴△BDC≌△EFC(SAS),
∴∠BDC=∠EFC=90°.
∴∠EFC=90°,
探究新知
方法总结
利用旋转进行证明的三个结论
(1)旋转前后的图形全等.即对应角相等,对应边相等.
(2)旋转角都相等.
(3)旋转前后的两条线段在同一个三角形中,则该三角形为等腰三角形.
1.[2024邯郸十三中期中] 按如图所示的排列规律，空格中应
填( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.[2024天津] 如图， 中，
，将绕点 顺时针旋转
得到，点, 的对应点分别为
,，延长交于点 ，下列结论一
定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3.[2024湖北] 如图，点的坐标是 ，
将线段绕点顺时针旋转 ，点 的对
应点的坐标是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 一副三角尺如图①摆放，把三角尺
绕公共顶点顺时针旋转至图②，即时， 的大小
为____ .
75
返回
5. 如图，在
中， ，，将
顺时针旋转一定角度后得到，点
落在边上，且点是 的中点.
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
【解】旋转中心是点，旋转角的度数 .
（2）连接，求出 的长.
如图.
由旋转可知 ,， .
点是 的中点，
.
，
.
返回
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
课堂小结
谢谢观看！(共29张PPT)
3.2.2 图形的旋转
第三章 图形的平移与旋转
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
掌握图形旋转的基本作图.
能综合运用旋转性质解决有关代数，几何类问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
M
N
回顾平移的特征
导入新知
O
F
︵
A
B
C
D
E
回顾旋转的特征
导入新知
画一画：如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB.线段AC为所求．
X
C
探究新知
知识点 1
简单的旋转作图
画出下图所示的四边形 ABCD 以 O为中心，
旋转角都为 60°的旋转图形．
A
B
C
D
O
B'
A'
C'
D'
试一试：
探究新知
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
作图关键－确定点E的对应点E′
想一想：本题中作图的关键是什么？
A
B
C
D
E
做一做：
探究新知
解：∵点A是旋转中心，∴它的对应
点是 .正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB= ，所以旋转后重合.
设点E的对应点为E′.
∵△ADE △ABE′
∴∠ABE′＝ ＝ ，
BE′＝ ，
因此 .
A
B
C
D
E
E ′
点A
90 °
≌
∠ADE
90 °
DE
在CB的延长线 上截取点E′,使BE ′=DE
则△ABE′为旋转后的图形.
探究新知
解：延长CB,以点A为圆心，AE 的长为半径画弧,交CB的延长线于E'，连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.
A
B
C
D
E
想一想：
还有其他方法确定点E的对应点E′吗？
探究新知
E ′
（1）原图形；
（2）旋转中心；
（3）旋转方向；
（4）旋转角度．
结论
旋转作图的条件 ：
探究新知
旋转作图的依据：旋转的定义和旋转的基本性质．
（1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
（2）找出关键点;
（3）作出关键点的对应点;
（4）作出新图形;
（5）写出结论.
结论
旋转作图的基本步骤：
探究新知
1.点的旋转
2.线段的旋转
3.图形的旋转
试着找一找如图A点绕O点顺时针旋转30°后所在的位置 ．
试着画一画线段AB绕O点逆时针旋转90°后所得的线段（O点在线段外）．
试着画△ABC绕O点顺时针旋转60°后所得的三角形．
探究新知
知识点 2
旋转设计作图
A
O
A'
A
A'
O
B
B'
A'
B'
C'
A
B
C
O
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗 能经过平移吗 能经过轴对称吗 还有其他方式吗
平移:
平移的方向
平移的距离
仅靠平移无法得到
思考：
探究新知
旋转:
旋转中心
旋转角
旋转方向
O
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗 能经过平移吗 能经过轴对称吗 还有其他方式吗
整个图形可以看作是右边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的.
探究新知
平移、 旋转相结合:
先平移
后旋转
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗 能经过平移吗 能经过轴对称吗 还有其他方式吗
O
整个图形可以看作是右边的两个小“十字”先通过一次平移成图形右侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的.
探究新知
轴对称:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗 能经过平移吗 能经过轴对称吗 还有其他方式吗
直线EF与GH相交于图形的中心O，且互相垂直，先把右边的两个“十字”作关于EF的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可以得到整个图形.
G
H
F
E
O
对称轴
探究新知
选择不同的__________、不同的______旋转同一个图案,会出现不同的效果.
(1)两个旋转中，旋转中心不变, ______ 改变了，产生了_______的旋转效果.
(2)两个旋转中,旋转角不变,__________改变了，产生了_______的旋转效果.
旋转中心
旋转角
旋转角
不同
旋转中心
不同
结论
探究新知
如图，怎样将右边的图案与左边的图案重合？
答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可与左边图案重合.
巩固练习
1.将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转 后可得到
的图形是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.[2024泰州靖江期中] 如图，通过旋转
可以使其与 重合.
（1）仅用无刻度直尺确定旋转中心
（保留作图痕迹）；
【解】如图，点 即为所求.
（2）若的坐标为， ，则旋转中心的坐标为
_______.
返回
（第3题）
3.如图，在平面直角坐标系中，点 是原点，
点，点，把绕点 逆时
针旋转 ，点，点 旋转后的对应点是
点，点，则点 的坐标为______.
返回
（第4题）
4. 如图，在平面直角坐标系
中， 为等腰三角形，
，点到 轴的距离为4，
若将绕点逆时针旋转 ，
得到，则点 的坐标为______
__.
返回
5.[2024天津滨海新区期中] 如图，在每个小正方形的边长为1
的网格中，的顶点，， 均在格点上.
（1） 的大小为____；
（2）在如图所示的网格中，以 为旋转中
心，取旋转角等于，把 顺时针
旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的
，并简要说明旋转后点和点 的对
应点和 的位置是如何找到的. （不要求证明）
【解】
如图，延长至点，使
（均为方格的对角线长），连接 .
延长至点 ，使
，作
（均为方格的对角线长），与 交于点
即为所求.
返回
旋转作图
作图步骤
作图基本步骤五步
作图的条件
课堂小结
作图的依据
旋转中心
旋转方向
旋转角度
旋转的定义和旋转的基本性质
明确旋转三要素;找出关键点;
作出关键点的对应点;
作出新图形;写出结论.
谢谢观看！
