(共26张PPT)
4.2.1 提公因式法
第四章 因式分解
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题.
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，一块场地由3个矩形组成，这些矩形的长分别为，宽都是，则这块场地的面积为 或 .
导入新知
m
a
b
c
问题1：多项式有哪几项？
导入新知
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式？
若有，公共的因式是什么？
依次为
有，公共的因式为
1.观察下列多项式的结构有什么共同特点？
探究新知
知识点 1
公因式
① ②
③ ④
多项式的各项都含有相同的因式.
多项式各项都含有的相同因式，
叫做这个多项式各项的公因式.
如：就是多项式各项的公因式.
结论
2.如何确定多项式的公因式？
探究新知
系数的
最大公因数
相同字母
字母的
最小指数
∴公因式是.
探究新知
确定公因式要从系数、字母及相同字母的指数三方面入手
系数：各项系数（包括常数项）的最大公因数；
字母：各项相同的字母（或相同因式）；
字母指数：取各相同字母（或相同因式）的最小指数.
结论
思考：多项式中的公因式是如何确定的？
找出下列各式的公因式:
（1）
（2）
（3） .
；
巩固练习
；
.
注意：公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，
还可以是一个多项式.
1.（1）多项式中各项的公因式是什么
探究新知
（2）你能尝试将多项式因式分解吗
知识点 2
提公因式为单项式的因式分解
思考:多项式如何因式分解？
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
结论
探究新知
字母表示：
2.提公因式法的步骤是什么？
探究新知
提公因式法因式分解的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式；
第三步，分解因式，将多项式化为两个因式的积.
3.提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
探究新知
提公因式法与单项式乘多项式是互逆关系.
逆用乘法分配律
提公因式为单项式的因式分解
素养考点 1
探究新知
解：(1)
把下列各式因式分解：
例1
(1); (2)；
(2)
注意：公因式要提尽.
易错点1：因式分解时分解不彻底.
探究新知
(3)
解：(3)
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
易错点2：提公因式时漏项.
探究新知
(4)
解：(4)
.
注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
易错点3：提取“-”号时，括号内变错符号.
运用提公因式法因式分解求代数式的值
素养考点 2
探究新知
例2 已知，求的值.
解：
∵
∴原式=28.
巩固练习
变式训练
已知，求代数式的值.
解：
∵
∴原式.
1.把 因式分解，提取的公因式是( )
C
A. B. C. D.
2.[2024菏泽期末] 多项式（， 均为
大于1的整数）各项的公因式是( )
B
A. B. C. D.
3.把多项式 分解因式正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
5. 某养鸡场老板准备用 长的篱笆围成一
个相邻两边长分别为， 的长方形场地，已知
，则这个长方形场地的面积为( )
B
A. B. C. D.
返回
6.母题教材P94习题 下列各数中，能整除
（ 为自然数）的是( )
B
A.6 B.7 C.8 D.9
【点拨】 ，即
能被7整除.
返回
7. 已知 ，则
的值是( )
A
A.0 B.1 C. D.2
【点拨】 ，
.
返回
提公因式法
（单项式）
确定公因式的方法
注意
定系数，定字母，定指数
课堂小结
一找； 二提； 三分解.
提公因式法的步骤
提公因式法与单项式乘多项式是互逆的恒等变形
1、因式分解要彻底；
2、不要漏项；
3、提取“-”号要变号.
谢谢观看！(共26张PPT)
4.2.2提公因式法
第四章 因式分解
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解.
2. 能运用整体思想进行因式分解.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.分解因式：.
导入新知
解：
)
注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号.
2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数.
导入新知
例如，多项式的公因式为:
思考：
（1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？
（2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
最大公约数
相同的字母
最低次幂
探究新知
知识点 1
提公因式法
因式分解：
（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
分析：设，则原式变形为，
∴ ，
即
可将看做整体.
整体思想
探究新知
因式分解：
解：
因式分解
多项式乘多项式
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
探究新知
因式分解：
例
解：
提公因式为多项式的因式分解
素养考点 1
将分解因式，应提出的公因式是（ ）
A. B.
C. D.
巩固练习
B
变式训练
探究新知
知识点 2
符号不同的多项式的关系
因式分解：
解：
转化思想
探究新知
请在下列各等号右边的括号前填入“”或“”，使等式成立.
(1) ； (2)
(3) (4) ；
；(6)-s2+t2= （s2-t2）.
观察：以上各多项式有什么特点？
只有符号不同
探究新知
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等.
如: 和，即 ；
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.
如: 和 ，即 .
结论1
探究新知
对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下：
（1）与互为相反数：
与互为相反数：
（2）与互为相同数：
结论2
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
(a+b)n = (b+a)n (n是整数)
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数)
探究新知
提符号不同的多项式的因式分解
例1
因式分解：
解：
素养考点 1
把下列各式因式分解：
巩固练习
解：(1)；
(2)
(1)； (2)；
变式训练
巩固练习
解：
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
(3)； (4)
(5)； (6).
探究新知
整体思想
素养考点 2
例2 分解因式
解：
1.将 因式分解，应提取的公因
式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 把 因式分解，正确
的结果是( )
B
A. B.
C. D.
本题易错之处在于提取公因式后没有注意符号变化.
. .
返回
3.母题教材P98习题 因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
4.若， ，则
的值与 的公因式为( )
D
A. B. C. D.
【点拨】 ，
的值与的公因式为 .
返回
5. 已知， ，则
的值为_____.
【点拨】，， 原式
.
返回
6.对于任意的有理数,,,,我们规定 ,如
，则 的值为
___________.
【点拨】 ，
.
返回
提公因式法
（多项式）
确定公因式的方法
注意
定系数，定字母（或多项式），定指数
课堂小结
一找； 二提； 三分解.
提公因式法的步骤
提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形
1、因式分解要彻底；
2、不要漏项；
3、底数相反时，提取“-”号要变号.
谢谢观看！
