(共27张PPT)
4.3.1公式法
第四章 因式分解
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用.
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
平方差公式：
探究新知
知识点 1
用平方差公式因式分解
计算下列各式：
;
;
.
思考：观察这些式子有什么共同特征？
结果都是二项式，其中每一项都是某数或式的平方，且两项符号相反（一正一负）.
对下列各式进行因式分解：
探究新知
;
;
.
思考：观察这些式子有什么共同特征？
左边：是两数的平方差的形式：
□－△
2
2
右边：是两数之和与两数之差的积：
（□－△）（□+△）
探究新知
结论
文字语言：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.
平方差公式：
探究新知
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
平方差公式的特点
两数的和与差的积
两个数的平方差；只有两项
形象地表示为：
①左边
②右边
相同项
相反项
探究新知
整式乘法
因式分解
下列多项式可以用平方差公式因式分解吗？
(1);
(2);
(3);
(4)
√
×
√
×
注意：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
探究新知
做一做:
探究新知
解：(1)
把下列各式因式分解：
例1
(1); (2)
(2)
用平方差公式因式分解
素养考点 1
探究新知
素养考点 2
整体思想：整体用平方差公式
把下列各式因式分解：
例2
(1)
解：(1)
多项式
分解要彻底
探究新知
注意1：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
探究新知
(2)
解：(2)
当多项式的各项含有公因式时，先提出公因式.
注意2：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式：
巩固练习
变式训练
(1); (2)
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
分解因式：
巩固练习
变式训练
解：
.
探究新知
素养考点 3
化简求值
例3 已知，求的值．
∴②.
解：∵，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
注意3：在与，有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
探究新知
1.将多项式因式分解后其中一个因式为 ，则另
一个因式为( )
C
A. B. C. D.
2. 因式分解“ ？”得
，则“？”是( )
B
A. B. C. D.
返回
3.[2024临汾期中] 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式因式分解：
（1）；（2） ；
（3）；（4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A.（1） B.（2） C.（3） D.（4）
返回
4.[2024北京] 分解因式： _______________.
5.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
返回
6.因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
7. 下面是嘉淇同学把多项式
因式分解的具体步骤：
（加法交换律）
（提取公因式）
（逆用积的乘方公式）
（平方差公式因式分解）
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是
__________________；
公因式没有提取完
（2）请给出这个问题的正确解法.
【解】原式 .
返回
公 式 法
分 解 因 式
（平方差公式）
公 式
课堂小结
一找 二套 三彻底
平方差公式因式分解的步骤
谢谢观看！(共30张PPT)
4.3.2公式法
第四章 因式分解
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解并掌握用完全平方公式分解因式.
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
思考：这个大正方形的面积可以怎么求？
a
b
a
b
a
ab
ab
b
将上面的等式倒过来看，能得到：
完全平方公式
导入新知
判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？
如果是，运用了哪种方法？
探究新知
知识点 1
完全平方公式与完全平方式
不是，是整式乘法
是，运用提公因式法
是，运用平方差公式
是
完全平方公式
探究新知
整式乘法
因式分解
(a±b)2
完全平方公式与因式分解关系：
形如2的式子称为完全平方式.
完全平方式：
探究新知
完全平方式的特点：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
观察这两个式子：
，
结论
完全平方式的特点：
1. 三项式（或可以看成三项的）；
2. 有两项为数或式的平方和；
3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关.
探究新知
简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
探究新知
探究新知
完全平方式
素养考点 1
例 下列各式是不是完全平方式？
（1）；
（2）;
（3）；
（4）;
（5）.
不是，它只有两项；
不是，与的符号不统一;
不是，因为不是与的积的2倍;
是;
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2）;
（3）；
（4）.
；
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
（3）a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
（2）m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
（1）x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
以上等式即为利用完全平方公式得到的因式分解.
探究新知
素养考点 2
用完全平方公式因式分解
把下列完全平方式因式分解：
(1) ； (2)
例
解：(1)
(2)
找到两个数或式是关键
分解因式：
（1）； （2）.
巩固练习
变式训练
解： (1)
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
巩固练习
变式训练
解：(1)原式=(100－99)
(2)原式=(34＋16)2
=1.
=2500.
探究新知
知识点 3
公式法
公式法分解因式
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用
乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的
方法叫做公式法.
完全平方公式
平方差公式
公式法
分解因式
提公因式法
一
先提公因式（有公因式）
二
平方差公式（剩余两项）
三
完全平方公式（剩余三项）
四
结果必须到不能分解为止
有一些可以用整体的思想看成两项或三项
因式分解的方法与步骤
探究新知
把下列各式因式分解：
（1）；（2）.
(1)
；
解：
(2)
.
探究新知
素养考点 3
因式分解的综合运用
例1
因式分解：
.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
巩固练习
变式训练
探究新知
例4 先分解因式，再计算求值:
已知，求的值.
解：
∵ ，
∴原式=2.
1.下列各多项式中，能运用公式法因式分解的有( )
（1）； （2） ；
（3）；（4） .
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.运用公式 直接对整式
进行因式分解，则公式中的 可以是( )
A
A. B. C. D.
返回
3.[2024烟台期中] 将下列多项式因式分解，结果中不含有因
式 的是( )
D
A. B.
C. D.
4.[2024淄博临淄区期中] 若 能用完全平方公
式因式分解，则 的值为__________.
5.[2024泰安模拟] 如果 能分解为
，那么 ______．
或
返回
6.若，则的值是___ ， 的值是__
__．
8;4（或; ）
返回
7.因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
8.如果多项式 加上一个单项式后，能够直接用完全平
方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是
( )
D
A. B. C. D.
9. 如果， ，那么
的值为( )
D
A.0 B.1 C.4 D.9
返回
10.不论，为何有理数， 的值总是非
负数，则 的最小值是( )
B
A.4 B.5 C.6 D.无法确定
11.已知, ,则
____.
25
返回
12.已知，则 的
值为___.
4
【点拨】 ,
.
.
，， .
，， .
返回
公 式 法
分 解 因 式
（完全平方公式）
公 式
课堂小结
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
特 点
谢谢观看！
