(共35张PPT)
5.1.1 认识分式
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解分式的概念.
2. 理解分式有意义的条件及分式值为零的条件.
3. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
（1）如果乐乐的速度是7米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（2）如果乐乐的速度是a米/秒，那么她所用的时间是（ ）秒；
（3）如果乐乐原来的速度是a米/秒，经过训练她的速度每秒增加了1米，那么她现在所用的时间是（ ）秒.
填空：乐乐同学参加百米赛跑
导入新知
（4）后勤老师若把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( )cm；若把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为( ).
V
S
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计为 元.
（8a+b）
导入新知
做一做：请将上面问题中得到的式子分类：
单项式：
多项式：
既不是单项式也不是多项式：
8a+b.
8a+b
整
式
探究新知
知识点 1
分式的概念
它们有什么相同点和不同点？
相同点
不同点
（观察分母）
从形式上都具有分数 形式
分母中是否含有字母
（分子f、分母 g 都是整式）
想一想：式子
探究新知
分式的定义
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式， 且B中含有字母，那么称 为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.
注意：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是 （其中A，B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
结论
探究新知
（1）分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般思想
①
7
100
a+1
100
思考：
探究新知
整数
分数
整式
分式
有理数
有理式
数、式通性
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？
数的扩充
式的扩充
探究新知
单项式
多项式
代数式
有理式
整式
分式
无理式
有理数
整数
分数
实数
无理数
类比思想
想一想：
探究新知
下面的式子哪些是分式？
分式:
判一判：
探究新知
方法总结
1.判断时，注意含有 的式子， 是常数.
2.式子中含有多项时，若其中有一项分
母含有字母，则该式也为分式，如：
.
探究新知
下列各式中,分式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
分式的概念
素养考点 1
探究新知
例
提示：
辨别分式的“两个关键”
探究新知
看形式——是否为 的形式(A、B为整式)
看分母——分母B中必须含有字母
下列各式:
其中分式共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
巩固练习
变式训练
想一想：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式 中的分母应满足什么条件？
当B=0时，分式 无意义.
当B≠0时，分式 有意义.
探究新知
知识点 2
分式有意义的条件
思考：已知分式 ,
(1) 当 x=3 时，分式的值是多少
(2) 当x=-2时，你能算出来吗
不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.
即当x______时，分式有意义.
(3)当x为何值时，分式有意义？
当 x=3 时，分式值为
一般到特殊思想
类比思想
≠-2
探究新知
若代数式 有意义,则实数x的取值范围是 ( )
A. x=-1 B. x=3 C. x≠-1 D. x≠3
D
分式有无意义的条件
素养考点 2
探究新知
例1
方法总结
分式有、无意义的条件的注意事项
1.分式有意义 分母不为零,
分式无意义 分母为零.
2.在确定分式有无意义时,不能对分式进行约分,否则会扩大字母的取值范围.
探究新知
（1）当a=1,2，-1时，分别求出分式 的值；
（2）当a取何值时，分式有意义？
解：（1）当a=1时，
当a=2时，
当a=-1时，
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.
由分母2a-1=0，得
所以，当 时，分式 有意义.
例2
探究新知
已知分式 有意义，则x应满足的
条件是 ( )
A.x≠1 B.x≠2
C.x≠1且x≠2 D.以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
C
巩固练习
变式训练
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
当f=0而 g≠0时，分式 的值为零.
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
探究新知
知识点 3
分式值为零的条件
解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.
的值为零.
∴当x = 1时，分式
∴ x ≠ -1.
而 x+1≠0，
∴x = ±1，
则 x2 - 1=0，
例 当x为何值时，分式 的值为零
分式值为零的条件
素养考点 3
探究新知
方法总结
分式值为零的求法
(1)利用分子等于0,构建方程.
(2)解方程,求出所含字母的值.
(3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去.
(4)写出答案.
探究新知
1.如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡
片中的式子不是分式的是( )
B
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
返回
2.母题教材P109随堂练习 当 为任意实数时，下列分式一
定有意义的是( )
C
A. B. C. D.
3.[2024上海普陀区期末] 如果当时，分式 的值为0，
那么 可以是( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 黑龙江仙洞山梅花鹿保护区是以梅花鹿
为代表的许多珍贵野生动植物的栖息地，经过10多年的努力，
取得了显著效果，野生梅花鹿的种群数量逐渐增多.该保护区
为了估计该地区梅花鹿的数量，先捕捉了 只梅花鹿给它们
做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，
第二次捕捉只梅花鹿，发现其中 只有标记，请估计这个地
区的梅花鹿约有( )
C
A.只 B.只 C.只 D. 只
返回
5.在函数中，自变量 的取值范围为_________
_________.
6.[2024怀化期末] 当_______时，分式 的值为0.
且
1或
返回
7.已知代数式 .
（1）当 为何值时，该式无意义？
【解】由题意，得 ，
解得 当 时，该式无意义.
（2）当 为何整数时，该式的值为正整数？
代数式 的值为正整数，
或，解得或 .
当 或0时，该式的值为正整数.
返回
8.如果，那么代数式 的值为( )
C
A. B. C. D.
返回
9. 对于分式，我们把分式叫做
的伴随分式.若分式，分式是 的伴随分式，分式
是的伴随分式，分式是 的伴随分式，以此类推，则
分式 等于( )
B
A. B. C. D.
【点拨】， .
. .
. ,….
由此可发现，， .
每4个分式为一个循环.
， .
返回
分式
定义
值为零的条件
有意义的条件
分式 有意义的条件是 g ≠0.
分式 值为零的条件是 f=0且g ≠0.
一个整式 f 除以一个非零整式g（g中含字母）所得的商 .
课堂小结
谢谢观看！(共36张PPT)
5.1.2 认识分式
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解并掌握分式的基本性质.
2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
思考：下列两式成立吗？为什么？
探究新知
知识点 1
分式的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变.
原因：分数的基本性质
即对于任意一个分数 有：
探究新知
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
思考：你认为分式 与 ；分式 与 相等吗？（a，m，n均不为0）
探究新知
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为：
其中A,B,C是整式.
结论
探究新知
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
想一想
（1）
与
有什么关系？那么
与
有什么关系？
（2）
，
与
有什么关系？
那么
，
与
有什么关系？
分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两个符号，分式的值不变；若只改变其中的一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．
结论
探究新知
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
(1) (2) (3)
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
做一做
探究新知
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
解：（1）因为y≠0，所以
；
（2）因为x≠0，所以
.
（1）
； （2）
.
例1
探究新知
素养考点 1
分式的基本性质
方法总结
应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意
(1)两个步骤:①观察分析:对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同乘(或除以)的_________;
②应用性质:根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形.
整式
探究新知
(2)三点注意:①注意分式变形前后的值要_________;
②注意分式的分子和分母要同乘或同除以,不能只对分
子或只对分母进行变形;
③所乘(或除以)的整式不能为_______.
相等
零
填空：
2x·（x+y）
巩固练习
变式训练
2xy
2xy
3x
y-2
(x-y)2
例2 如果把分式 中的x和y都扩大为原来的5倍,那么分式的值( )
A.扩大为原来的5倍 B.扩大为原来的10倍
C.不变 D.缩小为原来的
A
探究新知
下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
巩固练习
变式训练
想一想：
联想分数的约分，你能想出如何对分式进行约分？
（ ）
（ ）
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
探究新知
知识点 2
分式的约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
约分的定义
结论
探究新知
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议：
结论
探究新知
判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
最简分式的定义
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
结论
注意：
探究新知
约分的基本步骤
（1）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（2）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
探究新知
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式.
探究新知
解：
分式的化简
素养考点 1
探究新知
例1
化简下列分式:
方法总结
关于约分的三点说明：
(1)根据:分式的基本性质.
(2)关键:确定分式分子与分母的公因式.
确定公因式的步骤:
①确定系数,取分子与分母系数的最大公约数;
②确定字母(因式),取分子与分母中都含有的字母(因式);
③确定字母(因式)的次数,都含有的字母(因式)的指数取次数最低的.
(3)结果:最简分式或整式.
探究新知
约分:
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
解：
(公因式是5abc)
巩固练习
变式训练
解：
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
巩固练习
例2 下列分式中,最简分式是( )
B
最简分式
素养考点 2
探究新知
方法总结
最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分.
判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.
探究新知
1.若，则 可以是( )
C
A. B. C. D.
2.下列约分结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.[2024焦作期末] 若分式是最简分式，则 表示的是
( )
D
A. B.
C. D.
4.如果成立，则 的取值范围是______.
5.在分式，，， 中，最简分式有___个.
3
返回
6.已知的值为5，若分式中的, 均变为原来的2倍，则
的值为____.
10
返回
7.化简下列分式.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
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8. 下面是两名同学对分式 做的两种变形，
请你判断正误，并说明理由.
甲： ；
乙： .
【解】甲同学的做法正确.理由：
是分母， 一定不等于零.甲同学把分式的分子
分母都乘 ，分式的值不变.
乙同学的做法不正确.理由：
是分子，它可能等于0.
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9. 先将分式 约分，然后选一个你喜
欢的数作为 的值代入求分式的值.
【解】 ，
当时，原式 .（答案不唯一）
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10.[2024菏泽定陶区期末] 不改变分式 的值，把它的分
子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为( )
A
A. B. C. D.
11.[2024雅安] 已知，则 ( )
C
A. B.1 C.2 D.3
【点拨】， .
.
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分式的
基本性质
内容
作用
分式进行约分
的依据
注意
(1)分子分母同时进行；
(2)分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
(3)分子分母只能同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式
进行分式运算的基础
课堂小结
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