(共27张PPT)
5.3.1 分式的加减法
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算.
2. 会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.同分母分数的加减法则是什么？
2.计算：
1
2
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
导入新知
思考：类比前面同分母分数的加减，想想下面式子怎么计算？
a
1
a
2
+
猜一猜：同分母的分式应该如何加减？
导入新知
1.观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？
请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减
探究新知
知识点 1
同分母分式的加减
同分母分式的加减法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
上述法则可用式子表示为
结论
探究新知
解:原式
解:原式
注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来
注意：结果要化成最简分式！
同分母分式的加减
素养考点 1
探究新知
例1
解:原式
解:原式
注意：①把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个 分子都要用括号括起来.
②结果要化成最简分式.
探究新知
方法总结
同分母分式的加减法注意事项
1.“分子相加减”指将各个分式的“分子的
整体”相加减,即当分子是___________时,应先用括号
括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号
不能漏.
2.运算的结果要化成最简分式或整式.
多项式
探究新知
方法总结
分式的分母是互为相反数时，可以将其中一个分母直接提负号，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
探究新知
化简: = ( )
A.a-1 B.a+1 C. D.
A
巩固练习
变式训练
例2 计算：
解：
注意: 把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式．
（2）原式=
探究新知
（1）原式=
计算：
解:原式=
注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来
巩固练习
变式训练
计算：
解：原式=
解：原式=
分母互为相反数时，改变一下运算符号即可变为同分母！
探究新知
素养考点 2
可化为同分母分式的加减法
例3
计算:
解：
巩固练习
变式训练
例4 计算:
解:
探究新知
1.计算： ( )
A
A.2 B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
3. 小明在化简分式 的过程中，
因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开
始出现错误的那一步是 ( )
原式 ①
②
③
.④
D
A.① B.② C.③ D.④
返回
4. 若，互为倒数，且 ，则分式
的值为___.
5.[2024衡水模拟] 若代数式与的和为，则 是____.
1
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式
.
返回
7.若，则 的值为( )
B
A.0 B. C.1 D.0.5
返回
8. 若是非负整数，则表示 的值
的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( )
B
A.① B.② C.③ D.①或②
【点拨】原式
，
则表示 的值的对应点落在数轴上的范围是②.
返回
同分母分式加减运算
同分母加减法则
注意事项
课堂小结
1.“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是多项式时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏.
2.运算的结果要化成最简分式或整式.
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5.3.2 分式的加减法
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
会确定几个分式的最简公分母，并根据分式的基本性质进行通分.
2. 会运用异分母的分式加减法则进行异分母分式的加减运算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.分式的基本性质是什么？
一个分式的分子与分母同乘（或除以）一个________________,分式的值_______.
不变
不为0的整式
2.什么叫约分？
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
导入新知
3. 把下面分数通分：
最简公倍数：
4×3×2=24
类比分数，怎样把分式通分呢？
导入新知
小学
异分母分数的加减法
中学
异分母分式的加减法
转化
转化
同分母分式的加减法
1.类比探索
探究新知
知识点 1
最简公分母
类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母.
小明的转化
小亮的转化
根据分式的基本性质，异分母分式转化为同分母分式，这一过程称为通分.
分式的基本性质
同分母分式相加减
探究新知
最小公倍数：
4×3×2=24
分数
分式
最小公倍数
最高次幂
单独字母
最简公分母
所有分母必须是公分母的其中一个因数
2.如何取最简公分母呢？
探究新知
不同的因式
最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.
探究新知
3.观察上述举例，分析并猜想：
确定分母的最简公分母时，要
从 和 分别进行考虑.
数字系数
因式及其指数
数字系数：取各个分母的系数的最小公倍数.
因式及其指数： 最简公分母的因式取相同因式的最高次幂，单独的因式也要成为最简公分母的因式.
定系数定因式
定指数
探究新知
找最简公分母:
x(x-5)（x+5）
(x+y)2 (x-y)
巩固练习
思考：
请计算 ( )， ( ).
异分母分数相加减：分数的通分
依据：分数的基本性质
转化
同分母分数相加减
异分母分数相加减，先通分，
变为同分母的分数，再加减 .
探究新知
知识点 2
异分母分式的加减
最小公倍数：
4×3×2=24
分数的通分
分式的通分
分数的基本性质
解：
探究新知
最简公分母是
找最简公分母：
第一要看系数；第二要看字母(式子）.
分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.
结论
探究新知
解：
最简公分母是
(x-5)(x+5)
通分：
探究新知
做一做：
先通分，再计算：
5a
（x-3)(x+3)
（a-2)(a+2)
+
-
-
+
转化
最后化为最简分式
探究新知
计算：
-
-
-
探究新知
注意：
1.分子要做为一个整体参与运算，注意符号问题
2.最后结果为最简分式，也就是分子分母不能含有公因式
探究新知
异分母分式的加减法则：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为
结论
探究新知
例1 通分:(1)
分式的通分
素养考点 1
探究新知
解：(1)由题意可得:最简公分母为30a2b3c2,
探究新知
(1)
(2)由题意可得:最简公分母为3(a-3)(a-2)(a+1),
探究新知
(3)由题意可得:最简公分母为a(a-b)(a+b),
探究新知
方法总结
通分的方法
(1)将所有分式的分母化为_________的形式,当分母为多
项式时,应_____________.
(2)确定_______________.
(3)将分子、分母乘同一个_____,使分母变为__________.
乘积
因式分解
最简公分母
因式
最简公分母
探究新知
解：由题意可得:最简公分母为4（x+2）（x-2）2,
则：
通分：
巩固练习
变式训练
例2 下面的计算过程中,从哪一步开始出现错误 ( )
B
异分母分式加减法
素养考点 2
探究新知
A.① B.② C.③ D.④
方法总结
异分母分式的加减法的步骤
(1)正确地找出各分式的最简公分母.
(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式.
(3)通分后进行同分母分式的加减运算.
(4)将得到的结果化成最简分式或整式.
探究新知
小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h．那么：
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间．
解：（1）小刚从家到学校需要
（2）小丽从家到学校需要
小丽比小刚在路上花费时间少
因为 所以小丽在路上花费的时间少.
例3
探究新知
1.分式， 的最简公分母是( )
B
A. B.
C. D.
2. 的计算结果是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.[2024河北] 已知为整式，若计算 的结果为
，则 ( )
A
A. B. C. D.
4.若将分式与分式通分后，分式 的分母变为
，则分式 的分子应变为_____.
返回
5.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式 .
（3） .
原式
.
返回
6.[2024绍兴期末] 下面是一道例题及其解答过程的一部分，
其中是多项式，请写出多项式 ，并将该例题的解答过程
补充完整．
例 计算：,并求出当 时原式的值．
解：原式
…
【解】多项式 .
原式.
当时，原式 .
返回
7. 照相机成像的原理用公式
表示，其中表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距
离，表示胶片（像）到镜头的距离.已知，，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
8. 已知实数，，满足 ，
且，则 的值为( )
A
A.12 B.14 C. D.9
【点拨】 ，
，
即 .
.
又 ，
.
．
返回
9.若，则使 最接近
的正整数 是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
【点拨】， ，
， ，
，
当时， ，
当时， ，
当时， ，
当时， ，
显然最接近 .故选B.
返回
1.分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
2.分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一
个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式）.
课堂小结
谢谢观看！(共32张PPT)
5.3.3 分式的加减法
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.能够熟练计算较复杂的异分母分式的加减运算，复习并巩固分式的运算法则.
2.知道分式混合运算的运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
解：原式=
=
=
注意：(1-x)=-(x-1)
计算：
分母不同，先化为同分母.
探究新知
知识点 1
较复杂的异分母分式的加减
解：原式=
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
探究新知
解：原式=
=
=
注意：分母是多项式先分解因式
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减.
=
探究新知
分式的加减法的思路
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
结论
探究新知
计算：
法一：
原式=
法二：
原式=
把整式看成分母为“1”的分式
探究新知
注意：分母是多项式先因式分解
确定最简公分母为x(y+1)(y-1)
例1
计算：
解：
探究新知
较复杂的异分母分式的加减
素养考点 1
把整式看成分母为“1”的式子
（2）解法1：
解法2：
探究新知
（2）
1.把分母分解因式
分子、分母不能再约分，是最简分式
1.把分母分解因式；
2.确定最简公分母；
3.正确通分；
4.转化为同分母分式相加减。
2.确定最简公分母(a+3)(a-3)
3.正确通分
4.转化为同分母分式相加减
探究新知
阅读下面题目的计算过程.
=
=
=
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；
（2）错误原因___________；
（3）本题的正确结果为： .
②
漏掉了分母
①
②
③
④
巩固练习
变式训练
已知
，求
的值.
因为
即
所以，原式
1.把分母分解因式；
2.确定最简公分母；
3.正确通分；
4.转化为同分母分式相加减.
解：
例2
探究新知
先化简，再求值： ，其中
巩固练习
变式训练
解：
因为
所以原式
根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120 m 的盲道.由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m，那么
（1）原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
解：(1)原计划修建需 天，实际修建用了 天.
探究新知
(2)实际比原计划缩短的天数
异分母分式加减的实际应用
素养考点 2
蓄水池总量：ap t.
同时开放所需时间：
提前时间：
巩固练习
变式训练
解：
某蓄水池装有A、B两个进水管，每小时可分别进水a t，b t.若单独开放A进水管，p h可将该水池注满.如果A、B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
思考：如何计算 ？
请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.
分式的混合运算
探究新知
知识点 2
解：
先乘方，再乘除，最后加减
探究新知
分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
结论
探究新知
分式的混合运算
（1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强.
注意：
探究新知
解：
分式混合运算
素养考点 3
探究新知
例
计算：
方法总结
分式混合运算应注意的四个方面
(1)有理数的运算律对于分式同样适用.
(2)注意运算顺序,结果一定要化为最简分式或整式.
(3)分子或分母的系数是负数时,要把“-”提到分式的前面.
(4)当分式的分子、分母是多项式时,可先将分子、分母因式分解,再运算.
探究新知
1.化简 的结果是( )
D
A. B. C. D.
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2. 宝安公园是深圳西部最美丽的市政公园之
一，公园植被种类丰富，空气清新，风景秀丽，最高山峰海
拔125米.小亮和同学利用周末去宝安公园，已知他们上山的
速度为米/秒，下山的速度为 米/秒，若他们上山和下山
所走的路程相同，则他们爬山的平均速度为 ( )
D
A.米/秒 B. 米/秒
C.米/秒 D. 米/秒
返回
3.化简： ____.
4. 若,则 的值为____.
5. 小明在化简分式 时，发现最
终结果是整式，则 表示的式子可以是___________________.
（答案不唯一）
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6.化简： .下面是甲、乙两名同学的部分运
算过程：
（1）甲同学解法的依据是
____，乙同学解法的依据是
____；（填序号）
①等式的基本性质；②分式
②
③
的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
【解】（任选一个即可）选择甲同学
的解法：
原式
.
选择乙同学的解法：
原式
.
返回
7.[2024遂宁] 先化简： ，再从1，2，3中
选择一个合适的数作为 的值代入求值.
【解】
.
且 ,
当时，原式 .
返回
2.分式的混合运算法则
先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
1.分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
课堂小结
谢谢观看！
