(共26张PPT)
5.4.1 分式方程
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解分式方程的概念和意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.
2. 能根据实际问题中的等量关系列分式方程，体会分式方程的模型作用.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
1.这一问题中有哪些已知量和未知量？
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
已知量：造林总面积2400公顷；实际每月造林面积比原计划多30公顷；提前4个月完成原任务.
导入新知
等量关系：
实际每月固沙造林的面积 = 计划每月固沙造林的面积+30公顷
原计划完成的时间—实际完成的时间 = 4个月
2.这一问题中有哪些等量关系？
导入新知
3.设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工
程需要 个月，
实际完成一期工程用了 个月，
根据题意，可得方程 .
导入新知
问题1 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
探究新知
知识点
分式方程的概念及列分式方程
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h．那么y满足怎样的方程？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？
探究新知
问题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？
探究新知
速度 × 时间 = 路程
单价 × 数量 = 总价
工作效率× 时间 = 工作总量
单位量 × 数量 = 总量
人均捐款额× 人数 = 总捐款额
√
模型特征：
基本数量关系：
探究新知
议一议：比较左右两边的方程, 有什么不同
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程
整式方程
探究新知
分式方程的概念
分式方程的特征：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
结论
探究新知
下列关于x的方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？请你连连看.
整式方程
分式方程
巩固练习
方法总结
判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
巩固练习
问题3 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和一元一次方程有什么共同特点？
步骤一样
探究新知
实际问题
建立分式方程
找到数量关系
列分式方程解决实际问题的一般思路
抽象出数学模型
结论
探究新知
1.有下列方程：； ；
； .其中属于分式方程的有
( )
B
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.若等式是关于的分式方程，则 的取值范围是
______.
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3. 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约
用水，创建文明城市.某市经论证从今年1月1日起调整居民用
水价格，每立方米水费上涨原价的 .小丽家去年5月份的水费
是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月
份的用水量比去年5月份的用水量少 .设该市去年居民用
水价格为元/ ，则可列分式方程为_ ___________.
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4. 秦始皇统一度量衡
意义重大，这一举措极大地方便了
A
A. B.
C. D.
生产与生活.如图①和图②，欣欣通过对比两把不同刻度的直
尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把直尺有刻度
的一侧紧贴，则由两幅图可得方程为( )
返回
5. 课堂练习：“某超市的一种瓶装饮料每箱
售价为40元，春节期间对该种瓶装饮料进行促销活动，买一
箱送四瓶，这相当于每瓶按原价的八折销售，求这家超市销
售该种瓶装饮料的原价是每瓶多少元，装箱数量是每箱多少
瓶？”以下为四名同学列出的方程，正确的是( )
甲：
解：设该种瓶装饮料的原价是每瓶元，则 ；
乙：
解：设该种瓶装饮料的装箱数量是每箱 瓶，则
；
丙：
解：设该种瓶装饮料的原价是每瓶 元，则
；
丁：
解：设该种瓶装饮料的装箱数量是每箱瓶，则 .
A.甲、丁 B.乙、丙 C.甲、乙 D.甲、乙、丙
√
【点拨】设该种瓶装饮料的原价是每瓶 元，则春节期间促
销价是每瓶元，依题意得 或
,
甲同学所列的方程不正确，丙同学所列的方程正确.
设该种瓶装饮料的装箱数量是每箱 瓶，
依题意得, 乙同学所列的方程正确，丁同学所
列的方程不正确.故选B.
返回
6. 为了降低成本，某
出租车公司实施了“油改气”措施.如图，
, 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需
费用（单位：元）与行驶路程
（单位： ）的关系，已知燃油汽车每
千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，
设燃气汽车每千米所需的费用为 元，则可列方程为
_ __________.
返回
7. 观察分析下列方程： ；
； .请利用它们所蕴含的规律，写出
这一组方程中的第 个方程：__________________.
返回
分式方程的概念及列分式方程
概念
列分式方程步骤
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
1.审清题意，明确题目中的未知数；
2.根据题意找等量关系，列出分式方程.
课堂小结
谢谢观看！(共34张PPT)
5.4.2 分式方程
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.
理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.还记得什么是方程的解吗？
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？
二元一次方程组
转化
一元一次方程
3.二元一次方程组呢？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
加减消元法、代入消元法
导入新知
4. 解一元一次方程
解：3x-2（x+1）=6
3x-2x=6+2
x=8.
导入新知
分式方程
转化
整式方程
思考：你能设法求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
探究新知
知识点
分式方程的解法
（1）分析：
探究新知
方程可化为
两边都乘 ，得
化简，得
解得
解：
先约分，再去分母,可以使计算简便
（2）计算：
探究新知
2 .你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
“去分母”
探究新知
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x).
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
探究新知
将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
解分式方程的基本思路
结论
探究新知
3.下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
探究新知
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
探究新知
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却
不是原分式方程的解呢？
探究新知
结论：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
探究新知
结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
我们称它为原方程的增根.
探究新知
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
结论
探究新知
方法总结
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
探究新知
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤
结论
探究新知
用框图的方式总结为：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最简公分母是
否为零？
否
是
探究新知
5.解分式方程容易犯的错误主要有：
（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘．
（2）约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
（3）增根不舍掉.
（4）符号问题.
探究新知
解方程 (1) (2)
检验：将x=3代入原方程，得
左边=1，右边=1，左边=右边.
所以，x=3是原方程的根.
（2）方程两边都乘 ,
得
解这个方程，得 x=2.
检验：当 x=2时，x-2=0,
x=2是原方程的增根，
所以，原方程无解.
解：（1）方程两边都乘 , 得 x=3
解这个方程 ，得 x=3.
分式方程的解法
素养考点 1
探究新知
解：
例1
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
检验
方法
分式方程
整式方程
x=a
a 是分式方程的根
a 不是分式方程的根
（a是分式方程的增根）
目标
去分母
解整式方程
最简公分母为0
最简公分母不为0
这里的检验要以解整式方程正确为前提
注意：
探究新知
解方程：
方程两边都乘2x，得
960-600=90x.
解这个方程,得 x=4.
经检验，x＝4是原方程的根.
解：
例2
探究新知
1.分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
2.若关于的分式方程有增根，则 的值为( )
D
A. B.1 C.2 D.3
3.[2024济南市中区模拟] 使分式与的值相等的 的值
为___.
4.[2024绵阳期末] 已知是关于的分式方程
的解，则 __.
9
返回
5.解方程：
（1） ;
【解】方程两边同时乘 ,
得 ,
解得 .
经检验， 是原分式方程的根.
（2） ;
方程两边同时乘,得 ,
解得 .
经检验， 是原分式方程的根.
（3） ;
方程两边同时乘 ,得
,解得 .
经检验, 是原分式方程的根.
（4） .
方程两边同时乘 ，得
，解得 .
经检验， 是原方程的增根.
原分式方程无解.
返回
6. 小丁和小迪分别解方程 的过
程如下：
小丁： 解：去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 , 原方程的解 是 . 小迪：
解：去分母，得
,
去括号，得
,
移项、合并同类项，得 ,
解得 ,
经检验是原方程的增根，
原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若不正确，请写出你的
解答过程.
【解】小丁和小迪的解法都不正确.正确的解答过程如下：
,方程两边同乘，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验， 是原分式方程的根.
返回
7.[2024青岛期末] 小明在解关于的分式方程 时，
发现墨水不小心把其中一个数污染了，翻看答案上说此方程
有增根无解，则被污染的数为( )
A
A. B.1 C.2 D.
返回
分式
方程的解法
容易犯的错误
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
步骤
（去分母法）
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验
课堂小结
谢谢观看！(共46张PPT)
5.4.3 分式方程
第五章 分式与分式方程
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解数量关系正确列出分式方程.
2. 在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
3. 培养应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
分式方程
整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
导入新知
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价.
导入新知
思考：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x个月.
探究新知
知识点 1
列分式方程解决工程问题
解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以2x,得
解得 x=1.
检验：当x=1时，2x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
探究新知
思考：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 ， 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .
此时方程是：
1
探究新知
工程问题
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
注意：
探究新知
二元一次方程组
分式方程
方程的应用
类 比
一元一次方程
列方程解应用题的
一般步骤
审、找、设、列、解、验、答.
列方程解应用题的步骤：
探究新知
（1）审：审清题意；
（2）找：找出等量关系；
（3）设：设出未知数(直接设法、间接设法)；
（5）解：解分式方程；
（7）答：写出答案.
（4）列：用代数式表示等量关系，列出分式方程；
（6）验：必须检验根的正确性与合理性；
列方程解应用题的一般步骤
结论
探究新知
例 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
分析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
工程问题
素养考点 1
探究新知
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
探究新知
某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件
巩固练习
变式训练
解：(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,
则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,
依题意,得:
解得:x=6,
经检验,x=6是原方程的解,且符合题意,
∴x+2=8.
答:每台A型机器每小时加工8个零件,每台B型机器每小时加工6个零件.
巩固练习
解：(2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10-m)台,
依题意,得:
(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台
巩固练习
解得:6≤m≤8.
∵m为正整数,∴m=6,7,8.
答:共有三种安排方案,方案一:A型机器安排6台,B型机器安排4台;方案二:A型机器安排7台,B型机器安排3台;方案三:A型机器安排8台,B型机器安排2台.
巩固练习
思考：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？
探究新知
列分式方程解决行程问题
知识点 2
0
180
200
路程 速度 时间
面包车
小轿车
200
180
x+10
x
分析：设小轿车的速度为x千米/小时.
面包车的时间=小轿车的时间.
等量关系：
列表格如下：
探究新知
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得
解得x＝90
经检验，x＝90是原方程的解，
且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100千米/小时，
小轿车的速度为90千米/小时.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
探究新知
思考：小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？
0
180
200
300
探究新知
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.
答：小轿车提速为30千米/小时.
探究新知
思考：两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？
0
180
200
S
路程 速度 时间
面包车
小轿车
s-200
s-180
100
90+x
探究新知
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
解得x＝
探究新知
经检验， 是原方程的解，且 满足题意.
答：小轿车的提速为 .
km/h
思考：小轿车提速前速度为v km/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km,请问小轿车提速多少km/h？
0
S
S+50
路程 速度 时间
提速前
提速后
s
s+50
v
x+v
探究新知
经检验， 是原方程的解，且 满足题意.
答：小轿车的提速为 .
探究新知
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
解得x＝
km/h
行程问题
（1）注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
（2）明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
（3）行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
注意：
探究新知
例 已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相
同,并且乙车每小时比甲车多行驶15千米.若设甲车的
速度为x千米/时,依题意列方程正确的是( )
A
行程问题
素养考点 2
探究新知
徐州至北京的高铁里程约为700 km,甲、乙两人从徐州出发,分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80 km/h,A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%,两车的行驶时间分别为_________________.
3.5小时,2.5小时
巩固练习
变式训练
思考：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
探究新知
列分式方程解决销售问题
知识点 3
解：(1)设第一次购买的进价为x元，则第二次的进价为1.1x元，
根据题意得 ，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
分析：根据第二次购买水果数量比第一次多20千克，可得出方程，解出即可得出答案.
探究新知
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
分析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
探究新知
销售问题解题常用数量关系：
(1)利润=售价-进价.
(2)利润率= ×100%.
(3)售价=标价×
(4)售价=进价×(1+利润率).
探究新知
某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格
分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3.
销售问题
素养考点 3
探究新知
例
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的水价为 元/m3,根据题意，得
解得
经检验， 是原方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
探究新知
1.[2024邢台月考] 学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动
积极分子”称号的学生准备了，两种礼物.已知， 两种礼
物的总价分别为480元和450元，且种礼物比 种礼物多15
份，，两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的 和
1.2倍，则这一批礼物的平均单价是( )
A
A.15元 B. 元 C.12元 D.18元
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2.某汽车测评机构对款电动汽车与 款燃油汽车进行对比调
查，发现款电动汽车平均每千米充电费用比 款燃油汽车平
均每千米燃油费用少0.6元.当充电费用和燃油费用均为200元
时.款电动汽车的行驶里程是款燃油汽车的4倍.则 款电动
汽车平均每千米充电费用为____元.
0.2
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3.[2024扬州] 为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进
，两种机器，型机器比型机器每天多处理40吨垃圾，
型机器处理500吨垃圾所用天数与 型机器处理300吨垃圾所
用天数相等. 型机器每天处理多少吨垃圾？
【解】设型机器每天处理 吨垃圾，
则 ，
解得 .
经检验， 是所列方程的根.
型机器每天处理60吨垃圾.
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4.甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独
完成时间比乙工程队单独完成时间少用6天.若两个工程队同
时施工4天后，再由乙工程队单独完成，则乙工程队一共所
用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同.则甲工程
队单独完成这项工程所需的时间是( )
D
A.30天 B.28天 C.18天 D.12天
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5. “行人守法，
安全过街”不仅体现了对生命
B
A. B. C. D.
的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程
度.如图，官渡区森林公园路口的斑马线 为横穿双
向行驶车道，其中 ，在绿灯亮时，小官共用
通过路段，其中通过路段时的速度是通过 路段
时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是 ( )
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6. 现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖
，两种糖的质量和单价如下表.商店以糖的平均价格作
为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加
入甲种糖____ .
甲种糖 乙种糖
质量/ 20 30
单价/元 25 15
10
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7. 书画装裱，是指为
书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣
赏和收藏，是我国具有民族传统的
一门特殊艺术.如图，一幅书画在装
裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右边衬
的宽度分别是，，，.若装裱后与 的比是
，且，， ，求四周边衬的宽度.
【解】由题意，得
，
，
与的比是 ，
，解得 .
经检验, 是所列方程的根,且
符合题意.
, ,
,
上、下、左、右边衬的宽度分别
是、、, .
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分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二找三设四列五解六验七答
321法
课堂小结
谢谢观看！
