(共37张PPT)
6.2.1平行四边形的判定
第六章 平行四边形
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
经历平行四边形判定方法的探究过程，掌握说理的基本方法.
平行四边形判定方法的理解和灵活应用.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对称性
平行四边形是中心对称图形
对角线
知识回顾：
导入新知
思考:
周末，小明的爸爸带着他回到了老家，看望乡下的爷爷.午饭后，小明的爷爷准备给他心爱的小菜园扎篱笆，地上散落着很多长短不一的细木棒.这时小明的爸爸说：“小明，你们现在已经开始学习平行四边形了，你能不能挑四根细木棒拼一个平行四边形呢？”
(2)他怎样才能拼接成平行四边形？
为什么？
你能为小明出谋划策吗？
(1)他应该选什么规格的细木棒？
导入新知
活动：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
20cm
30cm
探究新知
知识点 1
平行四边形的判定定理1
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
根据平行四边形定义证明
证明四边形两组对边分别平行
通过角之间的关系得到平行
通过三角形全等找到角之间的关系
通过作辅助线可以构造出全等三角形
猜想验证：
思路：
探究新知
已知： 四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
连接BD，
在△ABD和△CDB中,
AB=CD,
BD=DB,
AD=CB,
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4.
∴AB∥CD , AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
A
B
C
D
1
4
2
3
探究新知
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理1：
B
D
C
A
结论
探究新知
例 如图1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接,图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图,滑轨MN安装在窗框上,托悬臂DE安装在窗扇上,交点A处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点B,C,D始终在一直线上,延长DE交MN于点F.已知AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,BD=40 cm.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
素养考点 1
探究新知
(1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数.
(2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点A,B之间的距离(精确到0.1 cm).
(参考数据: ≈1.732, ≈2.449)
探究新知
解：(1)∵AC=DE=20 cm,AE=CD=10 cm,
∴四边形ACDE是平行四边形,∴AC∥DE,∴∠DFB=∠CAB,
∵∠CAB=85°,∴∠DFB=85°.
(2)作CG⊥AB于点G,
∵AC=20 cm，∠CGA=90°,∠CAB=60°,
∴AG= AC=10 cm,
CG= cm,
∵BD=40 cm，CD=10 cm,
∴CB=30 cm,
∴BG= (cm),
∴AB=AG+BG=10+10 ≈10+10×2.449=34.49≈34.5(cm),
即A,B之间的距离约为34.5 cm.
探究新知
方法总结
从两边的角度证明平行四边形的方法
(1)两组对边分别_________的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别_____的四边形是平行四边形.
平行
相等
探究新知
如图所示，平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，则四边形EFGH是 .
平行四边形
巩固练习
变式训练
小明的爸爸又考验小明：“小明啊，如果只用两根相等的细木棒，你能不能摆成细木棒的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点呢？”
（2）如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它成为平行四边形？
（1）你认为小明能做到吗？
探究新知
平行四边形的判定定理2
知识点 2
思考:
A
B
C
D
猜想：
一组对边 的四边形是平行四边形.
平行且相等
探究新知
将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
思考:
探究新知
证明方法1：根据平行四边形定义证明
你能想到几种证明方法？
证明方法2：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边证明
连接四边形对角线
构造全等三角形
如图，在四边形ABCD中，AB CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想验证：
探究新知
证明：连接AC.
∵ AB∥CD，
∴ ∠BAC=∠DCA.
又∵ AB=CD , AC=CA,
∴ △BAC≌△DCA.
∴ ∠ACB=∠CAD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ BC∥DA.
如图，在四边形ABCD中，AB CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
方法1：
探究新知
证明：连接AC.
∵ AB∥CD,
∴ ∠BAC=∠DCA.
又∵ AB=CD AC=CA,
∴ △BAC≌△DCA.
∴ BC=AD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AB CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
方法2：
探究新知
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理2
B
D
C
A
结论
探究新知
例1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE,CF分别是∠DAB,
∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵在平行四边形ABCD中，
AE,CF分别是∠DAB, ∠BCD的角平分线,
∴∠B=∠D,AB=CD, AD∥BC,
∠BAE=∠DCF= ∠DAB= ∠BCD.
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴BE=DF.∴AF=CE. ∵AF∥CE,
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
素养考点 2
探究新知
如图，AC//DE,点B在AC上，且AB=DE=BC.找出图中的平行四边形，并说明理由.
解：∵AC//DE且AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形.
∵AC//DE且DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形.
巩固练习
变式训练
如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=CB， AD//BC.
又∵E,F分别是AD和CB的中点,
∴ ED=FB，ED∥FB.
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
∴ ED= AD, BF= BC.
例2
探究新知
方法总结
从边的角度判定平行四边形的“两点注意”
(1)已知两组对边:可以通过判定这两组对边分别平行,也可以通过判定这两组对边分别相等来证明四边形是平行四边形.
(2)已知一组对边:需要证明这一组对边平行且相等.
探究新知
四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则下列结论中错误的是 ( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC
C.∠A=∠B D.对角线互相平分
C
巩固练习
变式训练
我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
探究新知
知识点 3
由定义拓展判定平行四边形
思考:
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°,
∴2∠A+2∠B=360°,
即∠A+∠B=180°.
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD,
证明：
定义拓展判定：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
验证：
探究新知
（第1题）
1.如图，在平行四边形中， 为两
条对角线的交点，则下列结论中正确的
是( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在中，点 是对角
线，的交点，过点 的直线分
别交，于点，，若
的面积为2， 的面积为4，则
的面积是( )
C
A.12 B.16 C.24 D.32
返回
（第3题）
3.如图，在平行四边形 中，
，，则边 的
长可以是( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，在
中，，对角线与 相交于
点，，则 的周
长为( )
B
A.10 B.11 C.12 D.17
返回
5.如图，的对角线和 相交
于点，交于 ，求证：
.
【证明】 平行四边形的对角线互相平分，
.
又于， .
.
返回
6.如图，在中，，，对角线， 相
交于点，经过点的直线分别交，于点， ，当
恰好平分时， 的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.6
【点拨】平分 ，
.
四边形 是平行四边形，
， ,
， .
.
，
.
.
返回
平行四边形的判定
定义拓展法
判定定理1
判定定理2
①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行；也可证这组对边相等.
②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等；也可证这组对边平行.
③已知一组对角相等，再证另一组对角相等.
课堂小结
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6.2.2平行四边形的判定
第六章 平行四边形
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
利用对角线互相平分判定平行四边形.
掌握平行四边形判定的方法.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
判定
定理1
定理2
定义拓展法
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
复习回顾：平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵AB=CD, AB∥CD,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,∴四边形ABCD是 ABCD
导入新知
将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD ．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
A
C
B
O
D
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探究新知
知识点
平行四边形的判定定理3
活动：
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知),
OB=OD (已知),
∠AOB=∠COD (对顶角相等),
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴ ∠BAO=∠OCD ,∠ ABO=∠CDO.
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想证明：
探究新知
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO=CO，
BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理3
A
B
C
D
O
结论
探究新知
填空：如图在四边形ABCD中
(1)若AB//CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形；
(2)若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形；
(3)若对角线 AC,BD 交于点O， OA= OC =3， OB = 5，
补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.
AD//BC
AD=BC
OD=5
B
O
D
A
C
探究新知
想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
探究新知
已知：E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：连接BD，交AC于点O.
∵AE=CF,
∴AO-AE=CO-CF.
∴EO=FO.
又 ∵BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形）
O
B
A
C
E
F
D
对角线互相平分的四边形是平行四边形
素养考点 1
探究新知
例
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边也相等
2.相等的边也平行
一组对边平行 1.另一组对边也平行
2.平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
探究新知
如图,已知G,H是△ABC的边AC的三等分点,GE∥BH,交AB于点E,HF∥BG交BC于点F,延长EG,FH交于点D,连接AD,DC,设AC和BD交于点O,求证:四边形ABCD是平行四边形.
巩固练习
变式训练
证明： ∵GE∥BH,HF∥BG,∴四边形BHDG是平行四边形.
∴OB= OD,OG= OH.
∵G,H是△ABC的边AC的三等分点,∴AG=GH=CH.
∴OG+ AG =OH+ CH, ∴OA= OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
巩固练习
1.下面所给的，，， 的度数比中，能判定四边形
是平行四边形的是( )
A
A. B. C. D.
返回
2. 甲、乙两人给出了条件来证明四边形 为平行
四边形，下列判断正确的是( )
甲：， ；
乙： .
C
A.甲可以，乙不可以 B.甲不可以，乙可以
C.两人都可以 D.两人都不可以
返回
3.如图，,且 ,
则图中平行四边形的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
（第4题）
4. 如图，两条射线
，点，分别在射线 ，
上，只需添加一个条件，即可判
断四边形 为平行四边形.这个条
件可以是_______________________.
（答案不唯一）
返回
5.四边形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点
，，若要使四边形 为平行四边形，那么点
的坐标为______.
（第5题）
返回
6. 尺规作图问题：如图①，点是
边上一点（不包含，），连接.用尺规作，
是边 上一点.
小明：如图②.以点为圆心，长为半径作弧，交于点 ，
连接，则 .
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点 ，连接
，则 .
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
课堂小结
谢谢观看！(共28张PPT)
6.2.3平行四边形的判定
第六章 平行四边形
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
掌握平行线间的距离的概念及性质.
探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.
3. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
思考：
导入新知
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．
猜想：平行线间距离处处相等.
活动：
探究新知
知识点 1
平行线之间的距离
如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形.
∴AC=BD.
a
b
A
B
C
D
1
2
猜想证明：
探究新知
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.
结论
探究新知
A
B
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？
a
b
A
B
点到直线的距离只有一条，即过直线外一点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线上任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
结论
探究新知
A
B
思考：若垂线段改为夹在两条平行线间的平行线段呢？它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
结论
探究新知
例 如图,甲船从北岸码头A向南行驶,航速为36千米/时;乙船从南岸码头B向北行驶,航速为27千米/时.两船均于7:15出发,两岸平行,水面宽为18.9千米,求两船距离最近时的时刻.
平行线之间的距离
素养考点 1
探究新知
解：设x分钟后两船距离最近,
当如图EF⊥BD,AE = DF时,两船距离最近,
根据题意得出:36x=18.9-27x, 解得x=0.3,
0.3小时=0.3×60分钟=18(分钟),
则两船距离最近时的时刻为7:33.
探究新知
方法总结
平行线之间的距离概念辨析
注意:平行线之间的距离是指其中一条直线上的点到另一条直线的距离,是垂线段的长度,而不是垂线段.
作法:从其中一条直线上任意找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度即平行线之间的距离.
探究新知
如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
A
B
C
D
E
分析：根据平行线之间的距离处处相等.
解析：设高为h,则S△ABD= ·BD·h=16,所以h=4,
所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10.
10
巩固练习
变式训练
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
//
=
//
=
//
=
思考：四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.
提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形
探究新知
平行四边形性质与判定的综合运用
知识点 2
A
B
C
D
E
F
已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDF=∠NBE．
∵DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE(SAS).
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴四边形MENF是平行四边形.
∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN．
平行四边形性质与判定的综合运用
素养考点 2
探究新知
例
如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若M,N分别为边AD,BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
巩固练习
变式训练
（2）四边形MENF是平行四边形．
由（1）可知：BE=DF，
∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，
∴∠MDB=MBD，
∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF， ∴MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
巩固练习
1.[2024惠州惠阳区期中] 如图，已知
，增加下列条件可以使四边形
成为平行四边形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，， 的面积为
16，则 的面积为___时，四边形
是平行四边形.
8
返回
（第3题）
3.如图，在 中，按如下步骤尺规作
图：①分别以点,为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧交于点, ；②作直
线，交于点；③作射线 ，在射
线上截取（与 不重合），使得
平行四边形
；④作直线，连接，则四边形 的形状是
____________.
返回
4.[2024青岛西海岸新区模拟] 如图，在四边形 中，
，相交于点，延长至点，连接并延长，交
的延长线于点，，.连接， ，
求证：四边形 是平行四边形.
【证明】 ，
.
又， 四边形 是平
行四边形.
.
， .
又 ，
.
四边形 是平行四边形.
返回
5.[2024河北] 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在中，，平分 的外
角，点是的中点，连接并延长交于点 ，
连接 .
求证：四边形 是平行四边形.
证明： ，
.
__________________________
又 ，
， ，
____.
续表
又， ，
（②____）.
四边形 是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为( )
D
A.， B.，
C.， D.，
续表
返回
6.[2024上海浦东新区三模] 如
图①，在 中，
， 为锐角.要在
对角线上找点， ，使四
边形 为平行四边形，现
A
A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙
有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是( )
返回
平行四边形
五种判定方法
对边平行,对边相等，对角相等
判定
性质
夹在两条平行线间的平行线段处处相等
课堂小结
谢谢观看！
