6.3 三角形的中位线 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
6.3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解三角形中位线的概念，探索三角形中位线定理.
能够利用平行四边形的性质和判定证明三角形的中位线定理.
能够利用中位线定理解决相关问题．
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
思考：
（1）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
（2）连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形
四个全等的三角形
探究新知
知识点 1
三角形的中位线及其性质
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
两层含义:
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D,E分别为AB,AC的 .
① 如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为△ABC的 ；
中位线
中点
结论
探究新知
A
B
C
（1）画出△ABC中所有的中位线.
（2）画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.
D
E
F
探究新知
做一做
思考：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF.
A
D
E
F
C
B
探究新知
猜测：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
A
D
E
F
C
B
DE和边BC的关系
数量关系：
位置关系：
平行
DE是BC的一半
能说出理由吗
探究新知
测量：
(1)∠ADE, ∠ABC度数;
(2) DE,BC 长度.
测量法验证：
探究新知
B
E
D
C
A
已知：如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线.
求证：
DE∥BC,
DE= BC.
E
A
B
C
D
F
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE, ∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴AD=CF,∠A=∠ECF.
∴CF∥AB.
∵AD=BD,
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴BD=CF.
证明法验证：
探究新知
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
D
A
B
C
E
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC,
结论
探究新知
【定理的理解】
(1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
探究新知
A
B
C
D
E
中点
中点
（1）三角形中位线定理.
A
B
C
D
中点
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
300
（3）直角三角形300角所对的直角边等于斜边的一半.
CD = AB
DE = BC
BC = AB
证明线段倍分关系的方法常有三种：
探究新知
例 如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长,则DE的长是_____.
三角形中位线定理
素养考点 1
探究新知
证明:延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于点N.
∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB.
又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM.
∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°.
∵ CM=CA，∴ ∠ACN=60°，AN=MN.
∴
∴ ∴
探究新知
方法总结
与中位线定理有关的辅助线作法
(1)如果有中线可将中线延长一倍.
(2)如果有线段倍分问题时可考虑作中位线.
(3)如果有中点,可在同一三角形一边上取中点,作中位线,或构造一个三角形,使图形中的线段为所构造三角形的中位线.
探究新知
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为 (　 　)
A. B. 1
C. D.
B
巩固练习
变式训练
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
探究新知
中点多边形
知识点 2
思考:
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
∴EF∥AC, ,
HG∥AC, .
探究新知
顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
顺次连接矩形各边中点的线段组成一个
菱形.
结论
探究新知
猜测:
菱形
（1） 顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是什么？
（2）顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么？
（3）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
矩形
正方形
做一做:
探究新知
（4）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么？
（5）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
探究新知
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于什么呢？
平行四边形
正方形
平行四边形
菱形
矩形
菱形
思考:
探究新知
（6）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？
（8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
（7）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
菱形
矩形
正方形
探究新知
原四边形两条对角线 连接四边中点所得四边形
互相垂直
矩形
相等
菱形
互相垂直且相等
正方形
既不互相垂直也不相等
平行四边形
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
探究新知
总结:
例 如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H
分别是OA,OB,OC,OD的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
中点多边形
素养考点 2
探究新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥ CD,AB= CD.
∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴EF∥ AB,EF= AB,
GH∥ CD,GH= CD.
∴EF∥ GH,EF= GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
方法总结
关于中点多边形的几个结论
1.中点多边形与原多边形形状_______________.
2.中点多边形的各边与原多边形各边_________,且等于原多边形各边的_________.
3.中点多边形的周长等于原多边形周长的_________,面积等于原多边形面积的______.
　不一定相同　
　平行　
　一半　
　一半　
探究新知
（第1题）
1.如图，小张想估测被池塘隔开的，
两处景观之间的距离，他先在 外取一
点，然后步测出,的中点， ，并
步测出的长约为，由此估测，
之间的距离约为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在中， ，
为的中位线，连接 ，若
，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 如图，在四边形中，， ，
，分别是线段，，，的中点，则四边形
的周长( )
B
A.只与， 的长有关
B.只与， 的长有关
C.只与， 的长有关
D.与四边形 各边的长都有关
返回
（第4题）
4.如图，在 中，
， ，，，
分别为，，的中点，若 ，
则 的长度是( )
A
A.0.5 B.1 C.1.5 D.
返回
5.如图，在中， ， ， 于
点，，若，分别为，的中点，则
____.
（第5题）
返回
6.如图，在等边三角形中，，
分别为，的中点，延长 至点
，使，连接和 .求
证： .
【证明】,分别为, 的中点，
为的中位线.， .
又， .
又， 四边形是平行四边形. .
返回
（第7题）
7.[2024泰安一模] 如图，在
中，是边的中点，是 的
平分线，于点，连接 .若
，，则 的长度是
( )
C
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
【点拨】如图,延长，交于点 .
平分， ，
，
.
.
， .
又是 的中点，
是的中位线. .
.
又 ,
返回
三角形中位线
定 义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
课堂小结
谢谢观看！