(共24张PPT)
6.4.1 多边形的内角和与外角和
第六章 平行四边形
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
经历探索多边形内角和的过程，掌握多边形内角和公式.
灵活运用公式进行内角和的计算 ，并且会计算正多边形的一个内角的度数.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
导入新知
（2）你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
（1）三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°.
都是360°.
（3）猜想任意四边形的内角和是多少度？
思考：
探究新知
知识点
多边形的内角和
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
猜想与证明
方法1：如图，连接AC,
四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
探究新知
A
B
C
D
E
方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
探究新知
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
探究新知
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA，PB，PC，PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论：四边形的内角和为360°.
结论
探究新知
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
思维拓展:
探究新知
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n -3
1
2
3
1
2
3
4
n -2
（ n -2 ）·180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
由特殊到一般
探究新知
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
结论
探究新知
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
∵
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
∴
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
多边形的内角和定理
素养考点
探究新知
例
结论
方法总结
多边形内角和的三点注意
(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.
(2)多边形的内角和为(n-2)·180°,且内角和为180°的整数倍.
(3)由多边形的边数可以求出其内角和,由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.
探究新知
1.过六边形的一个顶点引出的所有对角线，将这个六边形分
成个三角形，则 的值为( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
（第2题）
2.[2024长春] 在剪纸活动中，小花同学想用一
张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形
的一条边与矩形的边重合，如图所示，则
的大小为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图是某水塘边的警
示牌，牌面是五边形，则这个五边形的内角和是
_____ .
540
4.一个棱柱有10个面，则这个棱柱的底面图形的内角和为
________.
返回
5. 现有一块如图所示的模板.
为了加工成某种特定的形状，需要, 的
延长线的夹角为.由于交点
不在模板上，不便测量，工人师傅测得
， ，
，请通过计算判断该模板
是否符合要求.
【解】 五边形的内角和是
，
.
. 该模板不符合要求.
返回
（第6题）
6.[2024河北] 直线与正六边形 的
边,分别相交于点， ，如图所示，
则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
返回
（第7题）
7. 如图，将四边形纸片
沿折叠，点，分别落在 ，
处.若 ，则
( )
B
A. B. C. D.
返回
8. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的
内角和为 ，则原多边形的边数为( )
D
A.8 B.7或8 C.6或7或8 D.7或8或9
【点拨】设切去一个角后的多边形为 边形，则
，解得 一个多边形切去一个
角后，它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变， 原
多边形的边数可能为7或8或9.
返回
多边形内角和
转化
从特殊到一般
方程
(n－2) ·180°
数学思想
公式
方法
已知边数求内角和：代入法
已知内角和求边数：方程法
课堂小结
谢谢观看！(共24张PPT)
6.4.2 多边形的内角和与外角和
第六章 平行四边形
北师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角.
掌握多边形的外角和公式,利用内角和与外角和公式解决问题.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线，
它们把n边形分成 个三角形.
2.从一个n边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则n= . =
3.多边形的内角和公式： .
4.正八边形的每一个内角为： .
（n-3）
（n-2）
8
（n-2）×180°
135°
导入新知
复习回顾：
小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
思考：
探究新知
知识点
多边形的外角及外角和
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5的结果吗？
∠1，∠2，∠3，∠4，∠5
1+ 2+ 3+ 4+ 5
问题解决：
探究新知
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.如图，∠A的外角是∠1.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
结论
探究新知
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180°=900°
思考：
探究新知
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=5个平角
－五边形内角和
=5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
探究新知
猜想：
360°
360°
360°
360°
由特殊到一般
n边形的外角和等于360° .
探究新知
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 ……
图形 ……
外角和 ……
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
与边数无关
猜想证明：
探究新知
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
拓展思维：
探究新知
方法总结
例1 若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的内角和是__________.
720°
多边形的外角和
素养考点 1
探究新知
多边形的外角和不是所有外角的和,是在每一个顶点处取一个外角.多边形的外角和是个定值,不会随边数的变化而变化.
若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是 ( )
A.6 B.12 C.16 D.18
B
巩固练习
变式训练
一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
则它的内角和为（n-2）·180°，外角和为360°.
则根据题意，得（n-2）·180°=3×360°.
解得n=8，所以这个多边形是八边形.
例2
探究新知
（第1题）
1.[2024重庆沙坪坝区期中] 如图，已知
，则
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，小明沿一个
五边形的广场小道按
的方向跑步健身，
他每跑完一圈，身体转过的角度之和
是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.[2024重庆江北区月考] 如图， ，
， 是某正多边形相邻的三条边，
延长，交于点，若 ，
则该正多边形的边数为( )
C
A.6 B.8 C.10 D.12
返回
4. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，
得到了一个内角和为 的正多边形图案，这个正多边形
的每个外角为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图所示，分别以 边形的顶点为圆
心，以为半径画圆，当
时，图中阴影部分的面积之和为____
．（注：结果用含 的式子表示）
返回
6.如图，将三角形纸片 剪
掉一个角得到四边形 ，
设 内角和的度数与四边
形 外角和的度数分别为
B
A. B.
C. D.无法比较 与 的大小
， ，则下列说法正确的是( )
返回
7.若一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多 ，
则这个多边形对角线的总条数为____.
54
【点拨】设这个多边形的每个外角为 ，则每个内角为
，
依题意得，解得 ，
.
这个多边形对角线的总条数为 .
返回
多边形的外角及外角和
多边形外角的定义
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关
正多
边形
内角= ，外角=
课堂小结
谢谢观看！
