(共34张PPT)
1.1.1直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。
熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。
过程与方法目标
通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。
体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点
重点
直角三角形的性质和判定定理。
勾股定理及其逆定理的应用。
难点
勾股定理及其逆定理的证明。
灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。
启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。
小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。
提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（二）知识讲解（20 分钟）
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为 180°，在直角三角形中，有一个角是 90°，那么另外两个锐角之和为 180° - 90° = 90°，即两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为 90°，则第三个角为 180° - 90° = 90°，所以这个三角形是直角三角形。
勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。
证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。
勾股定理的逆定理
内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。
证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为 a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为 c，与原三角形三边对应相等，根据 SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）
2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点）
3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
情境引入
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我是永远的老大.
问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的两个锐角互余
一
问题引导
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
总结归纳
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例1（1）如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A
与∠D有什么关系？
图
典例精析
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.
图
与图 有哪些共同点与不同点？
例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本
图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
总结归纳
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形
二
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.
总结归纳
典例精析
例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是
直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三
我测量后发现
CD = AB.
线段CD 比线段AB短.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
图1-4
如图1-3， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A .
由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线 交AB于 ，使 ，
∠ = ∠A
则 .
图1-3
证一证
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
∠A +∠B=90° ，
又∵
，
∴
∴
故得
从而CD与CD' 重合，且
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且 . 求证：△ABC是直角三角形.
证明：
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°，
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，
求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
归纳总结
体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形
1. [2024郴州期中] 在直角三角形中，有一个锐角为 ，那
么另一个锐角的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 一技术人员用刻度尺测量某三角形部件的
尺寸，如图所示，已知 ，点为边 的中点，
点，对应的刻度分别为，，则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
3.在中， ， ，那么
____.
4. 《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之
宣，一宣有半谓之欘 ”，意思是：“……直
角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”，即1宣 矩，
1欘宣其中，1矩 .问题：图①为中国古代一种强
弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若
矩，欘，则 _____度.
22.5
【点拨】根据题意可得
，
，
.
返回
5.如图，在中， ,
是边上的一点，且 ，求
证： 是直角三角形.
【证明】 , .
, .
是直角三角形.
返回
6.如图，在中，是高线，是中线， ,
于点 .
（1）求证：是 的中点；
【证明】连接 ,
, .
是的中点， .
, .
又 ,
是 的中点.
（2）若 ,求 的度数.
【解】, , .
, .
返回
课堂小结
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
谢谢观看！(共29张PPT)
1.1.2直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。
熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。
过程与方法目标
通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。
体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点
重点
直角三角形的性质和判定定理。
勾股定理及其逆定理的应用。
难点
勾股定理及其逆定理的证明。
灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。
启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。
小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。
提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（二）知识讲解（20 分钟）
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为 180°，在直角三角形中，有一个角是 90°，那么另外两个锐角之和为 180° - 90° = 90°，即两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为 90°，则第三个角为 180° - 90° = 90°，所以这个三角形是直角三角形。
勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。
证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。
勾股定理的逆定理
内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。
证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为 a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为 c，与原三角形三边对应相等，根据 SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。
学习目标
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题引入
问题1 如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
问题2 将剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
结论：短直角边=斜边
含30°角的直角三角形的性质
活动探究
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
合作探究
证明：取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
30°
B
C
A
D
∵∠BCA =90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
证法1
证明方法：中线法
证法2
证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴ BC = AB．
30°
)
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．
证明方法：截半法
证法3
30°
)
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一直角等于30°，那么这个直角所对的边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
A
B
C
∴ BC = AB．
)
30°
(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的
一半．
(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.
(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.
(4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
√
判一判
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
典例精析
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
例2 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
)
)
∴CD= AC= ×20=10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．
例3：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向上，且与轮船相距 海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
O
B
D
A
北
东
60°
解：∵∠AOD=30°，
AO= 海里，
∴AD= AO
= 海里＞20海里，
所以无危险.
解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD= AB=BD=AD,
即△BDC为等边三角形,
∴∠B=60°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A=30°.
思考：如图，在Rt△ABC中，如果BC= AB，那么∠A等于多少？
B
C
A
D
知识要点
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，
A
B
C
BC = AB．
)
30°
∴∠A =30°
例4：如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝ BC，求∠DAC的度数．
解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°.
∵AC＝ BC，
∴∠CBA＝30°.
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
1. [2024长沙期末] 在直角三角形 中，
,,则 等于( )
A
A. B.
C. D. 以上结果都不对
返回
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，平分交于点 ，
为上一点，连接 ，则下列结论错
误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，衣架框内部可以近似看成一
个等腰三角形，记为等腰三角形 ，
若，是 的中
点， ，则 的长为
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 如图是某商场
一楼与二楼之间的手扶电梯示意
图，其中, 分别表示一楼、
二楼地面的水平线，
,的长是 ,则
乘电梯从点到点上升的高度
是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.[2024长沙雨花区期末] 如图，在中， ，
，，则 的长为___.
8
（第5题）
返回
6.如图，在 中，
, ,将 绕
点 按顺时针方向旋转一定角度得到
,点恰好在 上.
（1）若,求 的长度；
【解】 , ,, .
是由旋转得到的， .
（2）确定 的形状，并说明理由.
为等边三角形.理由如下：
, , .
由旋转的性质，得, 为等边三角形.
直角三角形中， 角所对
的直角边等于斜边的一半，这个性质
常常用于计算三角形的边长，当已知
的条件或者结论倾向于这一性质时，
我们可运用转化思想，将线段或角进行转化，构造直角三角形.
返回
7. 如图，等边三角形中，,点
在边上，, ,垂足分别为
点,.设,若用含的式子表示 的
长，正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
谢谢观看！
