(共34张PPT)
1.2.1直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。
熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。
过程与方法目标
通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。
体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点
重点
直角三角形的性质和判定定理。
勾股定理及其逆定理的应用。
难点
勾股定理及其逆定理的证明。
灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。
启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。
小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。
提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（二）知识讲解（20 分钟）
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为 180°，在直角三角形中，有一个角是 90°，那么另外两个锐角之和为 180° - 90° = 90°，即两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为 90°，则第三个角为 180° - 90° = 90°，所以这个三角形是直角三角形。
勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。
证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。
勾股定理的逆定理
内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。
证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为 a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为 c，与原三角形三边对应相等，根据 SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体
会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.
情景引入
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理的认识及验证
一
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）：
A
B
C
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
问题3 在网格中有一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
问题4 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽,用他所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中四个全等的直角三角形按图示方法拼图，然后分析其面积关系进行证明.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入图
课外链接
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与矩形MLEC也等积，于是推得
欧几里得证明勾股定理
a、b、c为正数
直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方.
a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
a
b
c
归纳总结
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
利用勾股定理进行计算
二
C
A
B
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
归纳
1. 在直角三角形中，斜边，则
的值是( )
A
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 勾股定理在《九章算术》中的表述是“勾股
术曰:勾股各自乘,并而开方除之,即弦.”即
为勾,为股,为弦 ,若“勾”为2,“股”为3,则“弦”最接近的整数
是( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
返回
（第3题）
3. 如图，分别以直角三角形
的三边长为边长向外作正方形，其中两个
正方形的面积分别是25和169，则字母 所
代表的正方形的面积是( )
A
A. 144 B. 194 C. 12 D. 13
返回
（第4题）
4. 如图，点在正方形 内，满足
，， ，则阴影部
分的面积是( )
C
A. 48 B. 60 C. 76 D. 80
返回
5. 已知直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边
长为_______.
5或
【点拨】当第三边是斜边时，则第三边长
；当第三边是直角边时，则第三
边长.故第三边长是5或 .
解此题时易因考虑问题不全面，没有分类讨论而出错.
返回
（第6题）
6. 如图，在 中，
于，，， ，
则 的长为______.
【点拨】于，， ，
在中， .
， ，
在中， .
返回
7.[2024长沙岳麓区月考] 如图①、图②均是由边长为1的小正
方形组成网格，请在给定的网格中按要求画图，使所画图形
的顶点均在格点上，不要求写出画法.
（1）在图①中以线段为边画一个等腰三角形 且三边
长均是无理数；
【解】如图①， 即为所
求.（画法不唯一）
（2）在图②中以线段为边画一个轴对称四边形 ，
使其面积为9.
如图②，四边形 即为所求.
返回
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
谢谢观看！(共37张PPT)
1.2.2直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。
熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。
过程与方法目标
通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。
体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点
重点
直角三角形的性质和判定定理。
勾股定理及其逆定理的应用。
难点
勾股定理及其逆定理的证明。
灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。
启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。
小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。
提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（二）知识讲解（20 分钟）
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为 180°，在直角三角形中，有一个角是 90°，那么另外两个锐角之和为 180° - 90° = 90°，即两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为 90°，则第三个角为 180° - 90° = 90°，所以这个三角形是直角三角形。
勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。
证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。
勾股定理的逆定理
内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。
证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为 a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为 c，与原三角形三边对应相等，根据 SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
（重点）
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联
系，并进一步求出未知边长.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
勾股定理的简单实际应用
一
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
典例精析
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
A
B
D
C
O
解：在Rt△ABO中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
例3：我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解：设水池的水深AC为x尺，
则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
8 米
6米
8 米
6米
A
C
B
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( )
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
130
120
A
练一练
2.如图，学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米，宽为3米，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1)在Rt△ ABC中，
根据勾股定理得
∴这条“径路”的长为5米.
（2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步).
别踩我,我怕疼!
A
B
C
C
B
A
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB >AB（两点之间线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
利用勾股定理求最短距离
二
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？
B
A
根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
归纳
例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 米，高AB是5 米，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如右图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
A′
C
东
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B,则A′B就是最短路程.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
在Rt△A′CB中，由勾股定理得
问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
0
1
2
3
4
探究思路：把握题意——找关键字词——连接相关知识——建立数学模型（建模）
提示
直角边长为整数2，3的直角三角形的斜边为 .
活动2：探究用勾股定理在数轴上表示无理数
问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
0
1
2
3
4
解：
L
A
B
2
C
“数学海螺”
类比迁移
利用勾股定理作出长为 的线段.
1
1
用同样的方法，你能否在数轴上画出表示 ，
，…
用同样的方法，你能否在数轴上画出表示
， …
0
2
1
3
5
4
1
1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？
（2）注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的直角三角形.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
（1）
2.用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？
构造直角三角形，即把无理数线段看成是两直角边都为整数的斜边.
1. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有
竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是一根
竹子，原高1丈（1丈尺，1尺 米），一阵风将竹子折
断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处
离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 尺，则可
列方程为( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [2024长沙期末] 如图，在村与 村之
间有一座大山，原来从村到 村，需沿
道路 绕过村庄间的
大山，打通， 间的隧道后，就可直接
从村到村.已知， ，
C
A. B. C. D.
那么打通隧道后从村到 村比原来减少的路程为( )
返回
（第3题）
3. 如图，已知钓鱼竿的长为 ，露出
水面的鱼线的长为 ，某钓鱼者想看看
鱼钩上的情况，把鱼竿转动到 的位置，
此时露出水面的鱼线的长为，则
的长为( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 如图，一住宅
楼发生火灾，消防车立即赶到，车尾到住宅
楼墙面的距离为9米（即 米），升起
云梯到火灾窗口，已知云梯 长15米，云
梯底部 点距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
【解】由题意知， .
根据勾股定理，得
（米），
（米）.
答：发生火灾的住户窗口距离地面14米.
返回
5. 两艘海警船在某岛附近进行巡航.一艘以 的速
度离开该岛向北偏西 方向航行，另一艘同时以
的速度离开该岛向北偏东 方向航行，经过
后两船相距( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】如图，连接 ,由题意得，
，
,
.
在 中，
.
在应用勾股定理解决实际问题时,关键是从题中抽象
出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.
返回
6. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯
子底端到左墙脚的距离为,顶端距离地面 .如果保持
梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 ,那
么小巷的宽度为( )
C
A. B. C. D.
【点拨】如图，由题意可得
，， ，
, .
在 中，
.
在中，
小巷的宽度为 ，故选C.
返回
（第7题）
7. “今有方池一丈，葭生其中
央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水
深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问
题.如图，，， ，则
( )
C
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
利用勾股定理表示无理数的方法
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.如本题中的 看成直角边分别为2和3的直角三角形的斜边； 看成是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边等.
（2）以原点O为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
知识要点
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
谢谢观看！(共47张PPT)
1.2.3直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一、教学目标
知识与技能目标
学生能够理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质和判定定理。
熟练运用勾股定理及其逆定理进行相关计算和证明。
过程与方法目标
通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力。
体会从特殊到一般的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标
让学生在数学学习中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点
重点
直角三角形的性质和判定定理。
勾股定理及其逆定理的应用。
难点
勾股定理及其逆定理的证明。
灵活运用直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统讲解直角三角形的概念、性质和定理，确保学生掌握基础知识。
启发式教学法：通过设置问题情境，引导学生思考、探索，培养学生的思维能力。
小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和交流能力。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些生活中常见的直角三角形图片，如直角三角板、建筑物的支架等，让学生观察并感受直角三角形的特点。
提问：在这些图形中，你能发现什么共同的特征？引出直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（二）知识讲解（20 分钟）
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
引导学生通过三角形内角和定理进行证明。已知三角形内角和为 180°，在直角三角形中，有一个角是 90°，那么另外两个锐角之和为 180° - 90° = 90°，即两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用矩形的性质来推导。将直角三角形补成一个矩形，因为矩形的对角线相等且互相平分，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
让学生根据三角形内角和定理进行推理证明。如果一个三角形中有两个角互余，那么这两个角的和为 90°，则第三个角为 180° - 90° = 90°，所以这个三角形是直角三角形。
勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。
证明：介绍常见的证明方法，如赵爽弦图法。通过拼图，利用图形面积之间的关系来证明勾股定理。
勾股定理的逆定理
内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。
证明：采用构造法，构造一个直角三角形，使其两直角边分别为 a，b，根据勾股定理，其斜边长为\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因为已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以这个构造的直角三角形的斜边为 c，与原三角形三边对应相等，根据 SSS（边边边）全等判定定理，原三角形与构造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。
学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆
定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
B
C
A
问题1 勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
复习引入
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角.
情景引入
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗
大禹治水
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
2.一个三角形满足什么条件是直角三角形？
①有一个内角是90°，那么这个三角形就是直角三角形;
②如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形就是直角三角形.
我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系，来判断是否为直角三角形呢？
1. 直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两锐角互余；
(3)勾股定理；
(4)直角三角形30°角的性质.
问题引入
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
相传，大禹治水
时也用这类似的
方法确定直角.
合作探究
活动：探究勾股定理的逆定理的证明及应用
如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第8个结钉牢（拉直绳子），这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角 .
实验操作： 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5．
动手画一画
（1）这二组数都满足
吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
（3）提出你的猜想：
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
命题2与上节命题1的题设和结论有何关系
由上面的几个例子你有什么发现？
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
勾股定理
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c满足a2+b2=c2.
勾股定理的逆命题
互逆命题
△ABC≌ △ △A′B′C′
？
证明结论
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边
分别为a,b的Rt△A′B′C′
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
∴∠C= ∠C′=900 △ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
A
C
B
a
b
c
a2+b2=c2
直角三角形
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
(4) a:b: c=3:4:5;
解：
（4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为（3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
解：
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(3) a=1 b=2 c= ;
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；
9，40，41；等等
偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；
10，24，26；等等
解题小结：
勾股数：
像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股定理的逆定理
一
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
因为32+42=52，所以满足.
a2+b2=c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对的角为直角.
特别说明：
归纳总结
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
二
概念学习
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
1
2
勾股定理的逆定理的应用
三
例3 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的
问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船一个半小时后的航程及距离已知，如图.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船的航向所成角.
勾股定理逆定理
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.
归纳
例4 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
解：连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
所以△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
四边形问题中，对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
归纳
例5 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
（1）证明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形；
（2）解：设腰长AB=AC=x，
在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x-1)2+22，
解得
用到了方程的思想
例1 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积
A
D
B
C
3
4
13
12
连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
提示
例2 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积
A
D
B
C
3
4
13
12
连接AC.
解:
例3 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/小时，则可疑船只最早何时进入我领海？
东
北
P
A
B
C
Q
D
分析：根据勾股定理的逆定可得出△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求出PD的值，然后再利用勾股定理便可求出CD的长.
东
北
P
A
B
C
Q
D
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形。
设PQ与AC相交于点D，根据三角形
面积公式有BC·AB=AC·BD
即6×8=10BD，解得BD=24/5
在Rt△BCD中，
又∵该船只的速度为12.8海里/小时，∴需要6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
1. 在中，若，， ，则下列结
论正确的是( )
C
A. B.
C. D. 不是直角三角形
2. [2024娄底月考] 在下列四组数中，属于勾股数的是( )
B
A. 1，2，3 B. 9，12，15
C. 1，， D. 4，5，6
返回
3. [2024永州期末] 在由边长为1的小正方形组成的网格中，
下面的三角形是直角三角形的是( )
C
A. B. C. D.
4.已知的三边长分别是，，，则
最短边上的高是______.
返回
5. 给你一根长为 的木棒，现要你截取
三段，做一个直角三角形，应怎样截取（取整数，允许有余
料）？请你设计三种方案.
【解】方案一：截取,, 长的三段；
方案二：截取,, 长的三段；
方案三：截取,, 长的三段.
返回
6. 教材P15例4 如图，为 的边
上的一点，， ，
，，求 .
【解】 在 中，
，
为直角三角形，其中 ，
易得 是直角三角形，
，
.
返回
7. [2024长沙芙蓉区月考] 已知在中，，， 的
对边分别是，，.下列条件不能判断 是直角三角形
的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
8. [2024郴州期中] 若一组勾股数的其中两个为5和12，
则第三个勾股数是( )
A
A. 13 B. C. 13或 D. 不确定
易忽略勾股数必须是正整数而致错.
9. [2024长沙一模] 若三角形的三边长分别为，， ，且满
足 ，则这个三角形的形状是
( )
B
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法判断
返回
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
应用
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
谢谢观看！
