(共27张PPT)
2.1 .1 多边形
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等。
多边形内角和公式的推导
从三角形内角和为 180° 入手，让学生思考四边形的内角和。引导学生通过连接四边形的一条对角线，将四边形分割成两个三角形，从而得出四边形内角和为 2×180° = 360°。
对于五边形，同样引导学生尝试连接对角线，将其分割成三角形。学生可能会发现可以分割成三个三角形，所以五边形内角和为 3×180° = 540°。
依次类推，对于 n 边形，从一个顶点出发可以引出（n - 3）条对角线，这些对角线将 n 边形分割成（n - 2）个三角形。所以 n 边形内角和公式为（n - 2）×180°。
多边形外角和定理
以三角形为例，先复习三角形外角和为 360°。然后在四边形中，让学生分别画出每个顶点处的一个外角，计算这四个外角的和。
引导学生发现，无论多边形的边数是多少，其外角和始终为 360°。通过让学生思考每个内角与它相邻外角的和为 180°，n 边形内角和为（n - 2）×180°，设 n 边形外角和为 S，可得 n×180° - （n - 2）×180° = S，化简后得到 S = 360°，即多边形外角和定理。
学习目标
1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.运用多边形的外角和解决问题.（重点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
情境引入
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.如图所示.
多边形所有外角的和叫做这个多边形的外角和.
概念学习
多边形的外角和
一
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180°=900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=5个平角
－五边形内角和
=5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知某正多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.
六
正八
例1 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
解 设多边形的边数为n，
则它的内角和等于(n-2)· 180°.
由题意得
(n-2)· 180°=5×360°，
解得 n=12.
因此这个多边形是十二边形.
典例精析
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都
是7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意得
7x+2x=180，
解得 x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得
解得n=9.
答：这个多边形是九边形.
例3 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．
解：由题意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图（a）（b）中的电动伸缩门.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图（c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是利用了三角形的稳定性.
（a）
（b）
（c）
例1 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
举
例
解 设多边形的边数为n，
则它的内角和等于(n-2)· 180°.
由题意得
(n-2)· 180°=5×360°，
解得 n=12.
因此这个多边形是十二边形.
三角形具有稳定性， 那么四边形呢？用4 根木条钉成如图2-8 的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？
图2-8
我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了， 这说明四边形具有不稳定性.
在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图2-9 （a）中的电动伸缩门、图2-9 （b）中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图2-9 （c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.
图2-9
（a）
（c）
（b）
1. 下列图形中属于多边形的有( )
A
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个
返回
2. [2024株洲模拟] 下列说法不正确的是( )
D
A. 正多边形的各边都相等
B. 正多边形的各内角都相等
C. 在一个边数为 的多边形中，从一个顶点引出的对
角线可以将该多边形分割成 个三角形
D. 正多边形的各对角线相等
返回
3. 湖南烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志
性建筑，于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身
的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是
( )
C
A. B. C. D.
返回
4. 教材P36练习 从多边形一条边上的一点
（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2 024个三角形，则
这个多边形的边数为( )
B
A. 2 021 B. 2 025 C. 2 024 D. 2 026
5.[2024巴中] 从五边形的一个顶点出发可以引___条对角线.
2
返回
6.[2024深圳期末] 如图所示的地面是由正六边形和四边形两
种地砖镶嵌而成的，则 的度数为______.
返回
7.[2024长沙望城区期末] 如图，已知在
五边形中，，求 的值.
【解】 ，
.
五边形的内角和为 ，
在五边形 中，
，即 .
返回
（第8题）
8. [2024长春模拟] 如图，三个正方
形的一些顶点处标出了角的度数，
则 的值为( )
D
A. 30 B. 39 C. 40 D. 41
9. [2024娄底月考] 从六边形的一个顶点出发，可以画 条对
角线，它们将六边形分成个三角形，则 ( )
C
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
返回
10. 如图为长方形 ，一条直线将该长方形分割成两个多
边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则 不可
能是( )
C
（第10题）
A. B. C. D.
返回
多边形的外角与外角和
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
四边形
具有不稳定性
外角的定义
谢谢观看！(共35张PPT)
2.1 .2 多边形
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.了解并掌握多边形及有关概念;
2.对角线条数与多边形的边数的关系;（重点）
3.理解正多边形及其有关概念;（重点）
4.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情景引入
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼——五角大楼
多边形的定义及相关概念
一
问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
问题1 什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
内角：多边形相邻两边组成的角
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
顶点
边
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
如图所示.
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
总结
典例精析
多边形的对角线
二
A
B
C
D
E
定义：
多边形中连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
注意
三角形
六边形
四边形
八边形
……
五边形
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形
从同一顶点引出的对角线的条数
分割出的三角形的个数
0
1
2
3
5
n-3
1
2
3
4
6
n-2
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.
将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线 条.
归纳总结
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
正多边形
三
定义：
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.
判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
注意
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和是180°.
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
多边形的内角和
四
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
组成多边形的各条线段叫作多边形的边.
相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.
连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.
例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.
在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形.
多边形根据边数可以分为三角形，四边形，
五边形，……
图2-2
五边形 5 3
（5-2） × 180°
六边形 6
七边形 7
图形 边数
可分成三角形的个数
多边形的内角和
五边形
六边形
八边形 8
… … … …
n边形 n
4
（6-2） × 180°
（7-2） × 180°
5
（8-2） × 180°
6
n-2
（n-2）×180°
五边形
六边形
七边形
八边形
如图2-4，n边形共有n个顶点A1，A2，A3，…，An.
与顶点A1不相邻的顶点有(n-3)个，因此从顶点A1出发有(n-3)条对角线，n边形被分成了(n-2)个三角形.
n边形的内角和等于这(n-2)个三角形的内角和，因此n边形的内角和等于(n-2)·180°.
图2-4
结论
n边形的内角和等于(n-2)· 180°
由此得出：
如图2-5，在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）·180°.
图2-5
例1（1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1980°，
它是几边形？
举
例
解 （1）十边形的内角和是
(10-2)×180°= 1440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2 )×180°= 1980°，
解得n = 13.
所以这是一个十三边形.
例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方
法求五边形和六边形内角和吗
内角和为180° ×3 = 540°.
内角和为180° ×4 = 720°.
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
1. 四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化
的是( )
C
A. 边长 B. 周长
C. 某些角的大小 D. 内角和
2. [2024遂宁] 佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术，得到
了一个内角和为 的正多边形图案，这个正多边形的每
个外角为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 图①是我国
古代建筑中的一种窗格，其中冰裂
纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始
消融，形状无一定规则，代表一种
自然和谐美.图②是从图①冰裂纹窗
C
A. B. C. D.
格图案中提取的由五条线段组成的图形，则
( )
返回
（第4题）
4. 如图，将三角形纸片剪掉一
角得到四边形，设 与四
边形 的外角和的度数分
别为 ， ，则正确的是
( )
A
A. B.
C. D. 无法比较 与 的大小
5.[2024重庆] 如果一个多边形的每一个外角都是 ，那么
这个多边形的边数为___.
9
返回
6.[2024长沙期末] 已知正边形的内角和为 ，边长为2.
（1）求正 边形的周长；
【解】由题意可得 ，解得 .
正边形的周长为 .
（2）若正边形的每个外角的度数比正 边形每个内角的度
数小 ，求 的值.
正边形每个内角的度数为 ，
正边形的每个外角的度数为 .
, 的值为5.
返回
7. 小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分
（虚线部分），得到了一个新多边形.若新多边形的内角和是
其外角和的2倍，则对应的图形是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第8题）
8. 小聪利用最近学习的
数学知识，给同伴出了这样一道题：如
图，假如从点 出发，沿直线走6米后向
左转 ，接着沿直线前进6米后，再向
A
A. B. C. D.
左转 ， ，如此下去，当他第一次回到点 时，发现自己
走了72米，则 的度数为( )
【点拨】 第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成
一个正多边形，
正多边形的边数为 .
又 多边形的外角和为 ， .
（第8题）
返回
多边形的内角
定义
前提条件是在一个平面内
正多
边形
定义既是判定也是性质
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3）
谢谢观看！
