(共38张PPT)
2.2.1平行四边形
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定
义和对边相等、对角相等的两条性质.（重点）
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.（难点）
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的
思维水平.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
情景引入
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2 你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD
记作 ABCD ( 要注意字母顺序).
1.定义:
A
B
D
C
归纳总结
语言表述：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的
平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
典例精析
解：∵DC∥GH ∥ AB，
DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
AEKG, ABHG, AEFD, GKFD,
K
BEKH, CHKF, BEFC, CDGH, ABCD.
用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
归纳
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
练一练
根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形ABCD.
D
A
B
C
平行四边形的边、角的特征
二
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证一证
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
B
C
D
归纳总结
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD和BC的长度相等.
理由如下：由题意知AB//CD,AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.
例2 如图，在 ABCD中.
(1)若∠A =32。,求其余三个角的度数.
A
B
C
D
∵四边形ABCD是平行四边形
解：
且 ∠A =32。(已知),
∴ ∠A = ∠C=32。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等).
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）,
∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补),
∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 32。=148。.
典例精析
(2)连接AC，已知 ABCD的周长等于20 cm，AC=
7cm，求△ABC的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD，BC=AD(平行四边形的对边相等).
又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知),
∴AB+BC= 10cm.
∵AC=7cm,
∴ △ABC的周长为AB+BC+AC= 17cm.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
例3 如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.
∴∠BAE=∠DCF.
∴ △ABE≌ △CDF.
∴ AB=CD，AB ∥ CD
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A
D
B
C
E
F
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，
∠D=______.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
练一练
16
2.在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=
5cm,AD＝9cm,则EC＝ .
C
4cm
A
B
D
E
平行线间的距离
三
例4 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A= ∠C，AD=CB.
又∠AED= ∠CFB=90°，
∴ △ADE≌△CBF（AAS）,
∴AE=CF.
思考 在上述证明中还能得出什么结论？
D
A
B
C
F
E
DE=BF
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
夹在两条平行线间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形.
归纳总结
两条平行线间的距离相等.
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m于A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
点到直线的距离
同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC
=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：S△ABC = AB BC,
= ×4 BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高等于6cm．
练一练
四边形
平行四边形
两组对边分别平行
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
如图2-11，在四边形ABCD 中，AD∥BC，
AB∥DC， 则四边形ABCD是平行四边形.
图2-11
平行四边形的边、角有怎样的数量关系？
A
B
C
D
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？
从拼图中可以得到什么启示？
平行四边形可以由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题.
在图2-13的□ABCD中，连接AC.
∴ ∠1=∠2 ， ∠4=∠3.
∴ AB∥DC ，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.
图2-13
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
又 AC =CA，
∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.
∴ △ABC≌△CDA.
又∠1+∠4=∠2+∠ 3.
即∠BAD=∠DCB.
结论
平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.
由此得到平行四边形的性质定理：
几何语言：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB＝CD，AD＝BC
（平行四边形的对边相等），
∠A=∠C, ∠B=∠D
（平行四边形的对角相等），
例1 如图2-14，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD =2cm，∠A =65°，∠E =33°，
求EF和∠BGC.
举
例
图2-14
（第1题）
1. 如图，在中，点，， 分别是
，，上的点，且 ，
， ，则图中平行四边形共有
( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. [2024贵州] 如图，的对角线与相交于点 ，
则下列结论一定正确的是( )
B
（第2题）
A. B.
C. D.
3. 在中，，，则 的周
长为( )
A
A. B. C. D.
返回
4. 在平行四边形中，，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
（第5题）
5. 如图，已知直线，点，， 在
直线上，点，，在直线 上，
，若 的面积为5，则
的面积为( )
C
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
返回
6.[2024烟台期中] 如图，在平行四边形 中，
，则____ .
60
（第6题）
返回
7.[2024长沙模拟] 如图，在平行四边形
中，，是 的平
分线.求证：
（1） ；
【证明】是 的平分线，
.
在和中，
.
（2） .
【证明】 四边形 是平行四边形，
.
.
又 ，
，
.
返回
（第8题）
8. 如图，在中，平分 且
交于点, ,则 的大小是
( )
C
A. B. C. D.
返回
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
夹在两条平行线间的平行线段相等；
两条平行线间的距离相等.
两组对角分别相等，邻角互补
谢谢观看！(共29张PPT)
2.2.2平行四边形
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透
转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
平行四边形的对角线的性质
一
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
怎样证明这个猜想呢？
已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证一证
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
应用格式：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
归纳总结
例1 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于四边形邻边边长之差．
归纳
例2 如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
例3 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴OE=OF.
思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
议一议
同例3易证明OE=OF还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
归纳
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又∵OA=OC,
例4 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥
BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
平行四边形的面积
二
例5 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
归纳
问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
还可结合全等来证哟.
平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
归纳
A
B
C
D
O
F
E
例6 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
归纳
同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
我发现OA=OC，OB=OD.
图2-16
我猜测点O 是每条对角线的中点.
从而 ∠1=∠2，∠3=∠4.
所以 △OAB≌△OCD.(ASA)
于是 OA=OC，OB=OD.
这个猜测对吗？下面我们来进行证明.
如图2-17，由于四边形ABCD是平行四边形，
因此AB=CD，且AB∥CD.
图 2-17
几何语言表示：
A
D
B
C
O
由此得到平行四边形的性质定理：
(3)平行四边形的对角线互相平分.
结论
A
C
D
B
O
●
老大
老四
老三
老二
M
老人分地合理吗？
解决问题
结论：平行四边形被两条对角线分成面积相等的四等份。
例1:如图2-18，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8. 试求△COD的周长.
∴
又∵ CD = 4.8，
∴ △COD的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8.
∵ AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
解
图2-18
举
例
3
5
4.8
例2:如图2-19，在□ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.
求证：点O是线段MN的中点.
图2-19
∵ AD∥BC，
∴ ∠MAO =∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
∴ △AOM≌△CON(ASA)
∴ OM= ON.
∵ AC，BD为□ABCD的对角线，
且相交于点O，
∴ OA = OC .
证明
∴ 点O是线段MN的中点.
1. [2024成都模拟] 如图，在中，对角线， 交
于点 ，下列结论一定成立的是( )
C
（第1题）
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在平行四边形 中，对角
线，相交于点 ，
，， ，则
平行四边形 的面积为( )
D
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
3.[2024长沙一模] 已知的对角线， 相交于点
，，，则 的周长为____.
16
返回
4. 教材P43例4 如图，在中，点 是对角线
，的交点，过点且垂直于点，交于点 .
（1）求证： ;
【证明】 四边形 是平行四边形，
, .
在和中,
.
（2）若,,求 的长.
【解】,, .
又,，, .
返回
5. 已知的周长为,对角线,相交于点 ,若
的周长比的周长多,则 的长度为( )
D
A. B. C. D.
返回
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形中相对的两个全等.
谢谢观看！(共38张PPT)
2.2.3平行四边形
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会
类比思想及探究图形判定的一般思路；（重点）
2.掌握平行四边形的判定定理1和2，能根据不同条件
灵活选取适当的判定定理进行推理论证.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？
情景引入
只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了
那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？
问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
B
A
活动 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段 DC，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
A
B
C
D
证明思路
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证一证
A
B
C
D
2
1
证明：连接AC.
∵AB∥CD， ∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA .
又∵AB= CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理1
B
D
C
A
总结归纳
典例精析
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB =CD，EB //FD．
又 ∵EB = AB ，FD = CD，
∴EB =FD ．
∴四边形EBFD是平行四边形．
例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝DB ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形．
猜想 将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
二
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA (公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
4
2
3
证一证
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理2
B
D
C
A
总结归纳
例3 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：
四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
典例精析
例4 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
C
A
B
F
E
D
D
C
A
B
E
A
B
C
F
D
E
从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB 出发，画出一个平行四边形呢？
图2-20
合作探究
如图2-20， 把线段AB平移到某一位置，得到线段DC， 则可知AB∥DC ，且AB=DC. 由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质: 两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC. 由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.
图2-20
实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图2-21，已知AB∥DC ， 且AB=DC ，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.
图2-21
结论
由此得到平行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
举例
已知：如图，在□ABCD的边BC，AD
上分别取一个点E，F，使得 ，
. 连结BF，DE.
求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC.
因此BE=FD.
又 BE∥FD，
∴四边形BEDF是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)
例1
如图2-23，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
图2-23
∴ ∠1=∠2.
下面我们来证明这个结论.
如图2-24，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC.
∵ AB=CD，BC=DA，AC=CA ，
∴ △ABC≌△CDA.
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形）.
则 AD∥BC.
图2-24
结论
由此得到平行四边形的判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
例2
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AB=DC ，AD=BC .
证明：
∵ △ABC≌△CDA ，
举例
（第1题）
1. 如图，在四边形中， ，
对角线与交于点 ,给出下列条件，
其中能使四边形 成为平行四边形
的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [2024永州月考] 如图，已知 ，用
尺规进行如下操作：①以点为圆心， 长
为半径画弧；②以点为圆心， 长为半径
画弧；③两弧在上方交于点，连接 ，
.可直接判定四边形 为平行四边形的
条件是( )
B
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
返回
3. 已知：四边形中， ，要
使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是_________
_______________（只需填一个你认为正确的条件即可）.
（答案不唯一）
4.如图，将 向右平移4个单位，得到
，连接，， ，则图中有___个
平行四边形.
3
返回
5.如图，在四边形中，， 是
延长线上一点，连接， ,且
， .求证：四边形
为平行四边形.
【证明】
， .
，， .
又， 四边形 为平行四边形.
返回
6. 下列条件： ，
；，； ，
；，.其中，能判定四边形
是平行四边形的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
7. 如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打
碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的
玻璃，他带了其中两块碎玻璃去商店，其编号应该是( )
D
（第7题）
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①③
（第7题）
【点拨】只有①③两块角的两边互相
平行，且中间部分相连，角的两边的
延长线的交点就是平行四边形的顶
点， 带①③两块碎玻璃，就可以确
定平行四边形的大小.
解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，
四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了.
返回
平行四边形的判定
判定定理1
判定定理2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
谢谢观看！(共34张PPT)
2.2.4平行四边形
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.利用对角线互相平分判定平行四边形;（重点）
2.平行四边形对角线互相平分的相关运用.（难点）
3.利用两组对角相等判定平行四边形;（重点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题1 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
角：
对角线：
思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧.
问题2 上面的两条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
复习引入
如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一
猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO,
∴AB∥ CD .
∴四边形ABCD是平行四边形.
证一证
同理可证AD∥ BC.
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
例1 如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
拓展探究 昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？
A
B
C
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法二：
D
O
A
B
C
方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
二
对于两组对角分别相等的四边形的形状,你的猜想是什么
平行四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD，
证明：
证一证
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
例2 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7cm
4cm
3cm
3cm
5cm
4cm
阅读思考
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
3cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.两组边相等四边形也不一定是平行四边形.
3cm
4cm
4cm
7cm
想一想：判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
工具：两支长度不相等的铅笔.
动手：能利用这两支笔摆出一个平行
四边形吗？试试看！
合作探究
A
B
C
D
O
已知:四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
试说明：四边形ABCD是平行四边形.
以上活动事实，蕴含了一个怎样的数学结论？
平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是
平行四边形.
∵OA=OC，OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行 四边形）
B
D
A
C
O
思考：
归纳：
几何语言：
例1.已知：如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点O，点E、F在BD上，且OE=OF.
C
B
O
D
A
F
E
求证：四边形BFDE也是平行四边形.
典例精析
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
又∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
例2.已知：如图，在四边形ABCD中，
∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
归纳：
证明：∵ ∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D，
∠A+∠ B+∠ C+∠ D=360°，
∴ ∠A+∠ B=360°/2=180°.
∴AD//BC,
同理，AB//DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
1. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种
方法：如图所示，将两根木条, 的中点重叠并用钉子固
定，则四边形 就是平行四边形，这种方法的依据是
( )
A
（第1题）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
返回
2. [2024河北] 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分 的
外角，点是的中点，连接并延长交 于点
，连接 .
求证：四边形 是平行四边形.
证明：， .
，， ，
___.
又， ，
___ .
四边形 是平行四边形.
续表
若以上解答过程正确，①，②应分别为( )
D
（第2题）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
3.已知四边形的对角线相交于点，若， ，
那么当___，___时，四边形 是平行四边形.
5
4
返回
4.如图，平行四边形的对角线相交于点，直线 经过
点，分别与，的延长线交于点， .
求证：四边形 是平行四边形.
【证明】 四边形 是平行四边形，
,, .
, .
.
四边形 是平行四边形.
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理1）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
谢谢观看！
