(共37张PPT)
2.6.1 菱形的性质
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情景引入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
讲授新课
菱形的性质
一
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
一组邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中
的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上
有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
AO＝ AC，BO＝ BD.
因为AC＝6cm，BD＝12cm，
所以AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
所以菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)．
典例精析
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
归纳
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
思考：菱形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于菱形是平行四边形，因此
O
做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像是______， 点C的像是_____， 点D的像是_____，点B的像是_____，边AD的像是_____，边CD的像是_____， 边AB的像是_____，边CB的像是_____.
点C
点A
边CD
点D
点B
边AD
边CB
边AB
想一想：你能得到什么结论？
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
菱形的面积
二
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
所以S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
因为
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
所以13h＝120，得h＝ .
菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
归纳
例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
A
B
C
D
O
解：∵花坛ABCD是菱形，
下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？
图2-49
它们的邻边相等.
合作探究
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
结论
菱形的对角线互相垂直.
由此得到菱形的性质：
结论
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
由此得到：
结论
动脑筋
如图2-50，你能利用菱形的性质说明菱形ABCD的
面积 吗？
图2-50
∴
菱形的面积
等于两条对角线
长度乘积的一半.
图2-50
又 AC⊥DB（菱形的对角线互相垂直），
∵
，
例1 如图2-51，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD
的面积和周长.
举
例
图2-51
解 菱形ABCD的面积为
所以 AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25.
在直角三角形ABO中，
从而 AB = 2.5(cm).
因此，菱形ABCD的周长为
4×2.5=10(cm).
图2-51
1. [2024长沙芙蓉区期末] 菱形具有而平行四边形不具有的性
质是( )
C
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 四个角都相等
（第2题）
2. [2024南通期中] 如图，菱形
的对角线，交于点 ，
若 ，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在菱形中，， 分别是
，的中点，如果 ，那么菱形
的周长为( )
A
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
4.若菱形的边长为2,较长的一条对角线长为 ，则菱形两邻
角的度数比为______________.
（或）
返回
5.[2024福建] 如图，在菱形 中，
点，分别在边和 上，且
.求证： .
【证明】 四边形 是菱形，
， .
在和中，
.
返回
6.如图，已知菱形 的对角线相交
于点，延长至点，使 ，
连接 .
（1）求证： ；
【证明】 四边形 是菱形，
， .
又， .
四边形是平行四边形. .
（2）若 ，求 的大小.
【解】 四边形 是平行四边形，
.
又 在菱形中， ，
.
返回
（第7题）
7. 将两个完全相同的菱形按如图方式放
置，若 ， ，则
( )
D
A. B.
C. D.
返回
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
谢谢观看！(共43张PPT)
2.6.2 菱形的判定
第2章 四边形
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学生能够理解多边形、多边形的边、顶点、内角、外角等基本概念。
掌握多边形内角和公式与外角和定理，并能熟练运用它们进行相关计算。
学会判断一个多边形是否为凸多边形，以及理解正多边形的概念。
过程与方法目标
通过观察、测量、剪拼、推理等活动，培养学生的自主探究能力与逻辑推理能力。
经历多边形内角和公式的推导过程，体会从特殊到一般以及转化的数学思想方法。
情感态度与价值观目标
让学生在探索多边形知识的过程中，体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。
培养学生的合作交流意识，提高团队协作能力。
二、教学重难点
重点
多边形的相关概念，包括边、顶点、内角、外角等。
多边形内角和公式与外角和定理的推导及应用。
难点
多边形内角和公式的推导过程，如何引导学生将多边形问题转化为三角形问题。
灵活运用多边形内角和公式与外角和定理解决实际问题。
三、教学方法
讲授法：系统地讲解多边形的基本概念、内角和公式与外角和定理，确保学生掌握基础知识。
探究法：组织学生进行探究活动，如测量多边形内角和、剪拼多边形等，让学生在实践中发现规律，培养探究能力。
小组合作法：安排学生分组讨论多边形内角和公式的推导方法、解决复杂问题等，促进学生之间的交流与合作。
练习法：通过针对性的练习题，巩固学生所学知识，提高学生的解题能力和应用能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的多边形图片，如六边形的螺母、五边形的花坛、四边形的窗户等。
提问：同学们，在这些图片中，你们能发现哪些熟悉的图形？引导学生观察图形的边和角的特征，从而引出多边形的概念。
（二）知识讲解（20 分钟）
多边形的基本概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
介绍多边形的边、顶点、内角、外角等概念，并结合图形进行说明。例如，在一个四边形 ABCD 中，线段 AB、BC、CD、DA 是它的边，点 A、B、C、D 是它的顶点，∠A、∠B、∠C、∠D 是它的内角，与内角∠A 相邻的外角为∠BAE。
凸多边形与凹多边形：通过展示凸多边形和凹多边形的图片，让学生观察它们的区别，从而给出凸多边形的定义：如果整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形：给出正多边形的定义，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如正三角形、正方形、正六边形等
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
复习引入
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
四条边相等的四边形是菱形
一
小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
平行四边形的判定定理：
归纳总结
四边形ABCD
A
B
C
D
下列命题中正确的是 （ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形CDEF是菱形.
2
例1 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
归纳
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到的四边形是菱形.
归纳
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
同学们自己去解答吧
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
请补充完整的证明过程
E
F
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
二
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
平行四边形的判定定理：
归纳总结
例4 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
例5 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
菱形的性质与判定的综合运用
三
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
归纳
如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？
图2-52
合作探究
下面我们来证明这个结论.
∵AD=BC，AB=DC，
如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是菱形.
图2-53
又AB=AD，
四条边都相等的四边形是菱形.
由此得到菱形的判定定理1：
结论
举
例
已知：如图2-54，在四边形ABCD 中，线段BD
垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2.
求证：四边形ABCD是菱形.
例1
图2-54
证明 由于线段BD垂直平分AC ，
因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.
在△AOB和△COD中，有
∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC.
所以△OAB≌△OCD.
从而AB=CD.
因此四边形ABCD是菱形.
(四条边都相等的四边形是菱形)
所以BA=BC=DA=DC.
图2-54
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
过点O画两条互相垂直的线段AC
和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.
图2-55
动脑筋
如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
图2-55
我们来进行证明.
又由于DB是线段AC的垂直平分线，
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.
因此，DA=DC.
从而平行四边形ABCD是菱形.
图2-55
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
由此得到菱形的判定定理2：
结论
举
例
如图2-56，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求AB的长.
例2
图2-56
∴ AB=AD=5 .
解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ △DAO是直角三角形.
∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.
∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）
∴
又∵ AD=5，满足 ，
图2-56
（第1题）
1. 如图，在平行四边
形中，， ，将线段
水平向右平移个单位得到线段 ，
若四边形为菱形，则 的值为
( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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2. 如图,中,,将沿边 翻折,得到的
与拼成四边形,则能直接判定四边形
是菱形的依据是( )
B
（第2题）
A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 四边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
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3. [2024湘西州模拟] 依据所标数据，下列一定为菱形的是
( )
B
A. B. C. D.
4. 在四边形中， ，垂足为
，，要使四边形 为菱形，应添加的条件是
________________________.（只需写出一个条件即可）
（答案不唯一）
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5.如图，在中，，是 边
上的中线，点在的延长线上，连接 ，
过点作交的延长线于点 ，连接
，.求证：四边形 是菱形.
【证明】，是 边上的中线，
垂直平分， .
， .
， ，
.
又， .
.
.
四边形 是菱形.
判定菱形的方法：
1.若用对角线进行判定：先证明四边形是平
行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接
证明四边形的对角线互相垂直平分；
2.若用边进行判定：先证明四边形是平行四
边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四
边形的四条边都相等.
. .
. .
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6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形 ,下列作法中错误
的是( )
C
A. B. C. D.
【点拨】选项A,由作图可知是 的垂直平分线,
.设与的交点为,则.易知 ,
.
又, .
四边形 是平行四边形.
又, 四边形 是菱形,不符合题意;
选项B,由作图可知,, .
又, 四边形 是平行四边形.
又, 四边形 是菱形,不符合题意;
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
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