(共31张PPT)
3.3.1轴对称和平移的坐标表示
第3章 图形与坐标
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
教学目标
知识与技能目标
理解平面直角坐标系的相关概念，包括坐标轴、原点、象限等。
能够准确地在平面直角坐标系中描出点的位置，并能根据点的位置写出其坐标。
掌握图形在坐标平面内平移、对称等变换后点的坐标变化规律。
过程与方法目标
通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手能力和空间观念。
经历从实际问题抽象出数学模型的过程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
在合作交流中培养学生的团队协作精神，体验成功的喜悦。
二、教学重难点
教学重点
平面直角坐标系的概念及点的坐标表示。
图形变换与坐标变化的关系。
教学难点
理解坐标平面内点的坐标的意义，以及根据图形变换确定点的坐标变化。
运用坐标知识解决较复杂的图形问题。
三、教学方法
讲授法：讲解平面直角坐标系的基本概念、点的坐标表示方法以及图形变换与坐标变化的规律，使学生获得系统的知识。
探究法：组织学生通过自主探究、小组合作等方式，探索图形在坐标平面内的变换规律，培养学生的探究能力和合作精神。
直观演示法：利用多媒体课件、图形教具等进行直观演示，帮助学生更好地理解抽象的数学概念和图形变换过程。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中与坐标有关的实例，如地图上用经纬度确定地点位置、电影院的座位号等，引导学生思考这些实例中是如何确定位置的。
提出问题：在数学中，我们如何用一种简洁、准确的方法来确定平面内点的位置呢？从而引出本节课的课题 —— 图形与坐标。
（二）知识讲解（20 分钟）
平面直角坐标系的概念
教师在黑板上画出两条互相垂直且有公共原点的数轴，水平的数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
讲解平面直角坐标系的构成要素，强调坐标轴上的单位长度通常是一致的，但在实际应用中可根据需要进行调整。
引导学生观察平面直角坐标系，将坐标平面被两条坐标轴分成的四个部分分别命名为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，并说明坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标表示
在平面直角坐标系中，任意一点 P 的位置可以用一对有序实数 (x,y) 来表示，其中 x 称为点 P 的横坐标，y 称为点 P 的纵坐标。
教师通过在黑板上举例，如点 A (3,2)，说明先在 x 轴上找到表示 3 的点，过该点作 x 轴的垂线，再在 y 轴上找到表示 2 的点，过该点作 y 轴的垂线，两条垂线的交点即为点 A。
让学生进行练习，在平面直角坐标系中描出给定坐标的点，并写出一些点的坐标，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
学习目标
1.探索图形坐标变化的过程.（重点）
2.掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察与思考
请写出右边两面小旗各个点的坐标.
A(2,6)
B(5,4)
C(2,4)
D(2,0)
轴对称与坐标变化
一
如右图所示的平面直角坐标系中，
第一、二象限内各有一面小旗.
(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？
关于y轴成轴对称
(2对应点A与A1的坐标有什么共同特点？其他对应的点也有这个特点吗？
纵坐标相等，横坐标互为相反数
(2，6)
(-2，6)
想一想如果关于x轴对称呢？
(2)在这个坐标系里画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与原来的点的坐标有什么关系？
横坐标相等，纵坐标互为相反数
(2，6)
(2，-6)
关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同， 纵坐标互为相反数．
关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同， 横坐标互为相反数．
总结归纳
典例精析
1
2
3
4
5
6
7
8
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
9
10
5
例1：在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0,0)， (5,4) ，(3,0)，
(5,1) ，(5,-1)， (3,0)， (4,-2) ，(0,0)，你得到了一个怎样的图案？
x
–1
y
坐标变化为：
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(-x,y) (0,0) (-5,4) (-3,0) (-5,1) (-5,-1) (-3,0) (-4,-2) (0,0)
将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以－1 ，则图形怎么变化？
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
-4
-5
5
y
x
两个图形关于y轴对称
将各坐标的纵坐标都乘以－1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？
坐标变化为：
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(x,-y) (0,0) (5,-4) (3,0) (5,-1) (5, 1) (3,0) (4, 2) (0,0)
1
2
3
4
5
6
7
8
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
y
x
与原图形关于x轴对称
归纳总结
1、关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x , y)
(-x , y)
2、关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x , y)
(x , -y)
横坐标相同，纵坐标互为相反数
横坐标互为相反数，纵坐标相同
想一想
图形的点的坐标变化与图形的变化有怎样的关系？
1.横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ________成轴对称.
2.纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ______成轴对称.
x轴
y轴
1.点A（2，- 3）关于x轴对称的点的坐标是 .
2.点B（ - 2，1）关于y轴对称的点的坐标是 .
3.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ ）
A.关于原点对称 B.关于 x轴对称
C.关于 y轴对称 D.不能构成对称关系
4.点（m，- 1）和点（2，n）关于x轴对称，则m n等于( )
A.- 2 B.2 C.1 D.- 1
(2，3)
(2，1)
B
B
5. 已知A、B两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3），
则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上点C反射后经过点B(1,0)，则光线从A点到B点经过的路线长是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
B
B
情景引入
引言：老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗 学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标．
用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，这节课我们就来学习用点表示轴对称．
（1）分别作出点A关于x轴，y轴的对称点A′，A″，并写出
它们的坐标；
（2）比较：点A与A′的坐标之间有什么关系？点A与A″呢？
如图3-18，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2）.
图3-18
合作探究
A（3，2）
A′（3，-2）
A（3，2）
关于x轴对称
A（3，2）
A″（-3，2）
关于y轴对称
横坐标 纵坐标
不变
互为相反数
互为相反数
不变
一般地，在平面直角坐标系中，点（a，b）关于
x轴的对称点的坐标为（a，-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）.
做一做
如图3-19，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，2）， C（5，2）.
（1）作出△ABC关于y轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标；
（2）作出△ABC关于x轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标.
图3-19
如图3-20，分别作出点A，B，C关于y轴的对称点
A1，B1，C1，并连接这三点，则△A1B1C1即为所
求作的图形.此时其顶点坐标分别为A1（-2，4），
B1（-1，2），C1（-5，2）；
（1）
图3-20
●
A1
●
B1
●
C1
类似（1）的作法，可作出△ABC关于x轴的轴对称
图形△A2B2C2，其顶点坐标分别为A2（2，-4），
B2（1，-2），C2（5，-2）.
（2）
●
A1
●
B1
●
C1
●
A2
●
B2
●
C2
举
例
例1
如图3-21，求出折线OABCD 各转折点的坐标
以及它们关于y 轴的对称点O′， A′， B′，
C′， D′的坐标， 并将点O′， A′， B′，
C′， D′依次用线段连接起来.
图3-21
折线OABCD各转折点的坐标分别为O（0，0），
A（2，1），B（3，3），C（3，5），
D（0，5），它们关于y 轴的对称点的坐标
是O′（0，0） ， A′（-2，1） ，
B′（-3，3） ，C′（-3，5）， D′（0，5）.
将各点依次连接起来，得到图3-22.
解
想一想，如果要
在平面直角坐标系中
画一个轴对称图形，
怎样画才较简便？
图3-22
1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点 的坐
标是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的
小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，如图
所示.若， 两处桂花树的位置关于小路对称，
在分别以两条小路为轴, 轴的平面直角坐标
系内，若点的坐标为，则点 的坐标
为( )
A
A. B. C. D.
返回
3. 将图中各点的横坐标不变，纵坐标分别乘以 ，所得图
形为( )
B
（第3题）
A. B. C. D.
返回
4.在平面直角坐标系中有两个图形成轴对称，若点 和
点 是两图形上的一对对称点，则图形上另一点
的对称点 的坐标为_______.
5.若点与点关于 轴对称，则
____.
13
返回
6. 教材P96例1 如图，四边形 的顶点坐标分别为
，，， ，请作出四边形
关于 轴的对称图形，并写出其顶点坐标.
【解】四边形关于 轴的
对称图形如图所示.
由题意可知,, ,
, .
返回
7.已知点和点关于轴对称，且均不在 轴上，
试求 的值.
【解】 点和点关于轴对称，且均不在 轴上，
，， .
原式 .
返回
轴对称的坐标表示
关于坐标轴对称
作图——关于轴对称变化
谢谢观看！(共31张PPT)
3.3.2轴对称和平移的坐标表示
第3章 图形与坐标
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
教学目标
知识与技能目标
理解平面直角坐标系的相关概念，包括坐标轴、原点、象限等。
能够准确地在平面直角坐标系中描出点的位置，并能根据点的位置写出其坐标。
掌握图形在坐标平面内平移、对称等变换后点的坐标变化规律。
过程与方法目标
通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手能力和空间观念。
经历从实际问题抽象出数学模型的过程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观目标
感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
在合作交流中培养学生的团队协作精神，体验成功的喜悦。
二、教学重难点
教学重点
平面直角坐标系的概念及点的坐标表示。
图形变换与坐标变化的关系。
教学难点
理解坐标平面内点的坐标的意义，以及根据图形变换确定点的坐标变化。
运用坐标知识解决较复杂的图形问题。
三、教学方法
讲授法：讲解平面直角坐标系的基本概念、点的坐标表示方法以及图形变换与坐标变化的规律，使学生获得系统的知识。
探究法：组织学生通过自主探究、小组合作等方式，探索图形在坐标平面内的变换规律，培养学生的探究能力和合作精神。
直观演示法：利用多媒体课件、图形教具等进行直观演示，帮助学生更好地理解抽象的数学概念和图形变换过程。
练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中与坐标有关的实例，如地图上用经纬度确定地点位置、电影院的座位号等，引导学生思考这些实例中是如何确定位置的。
提出问题：在数学中，我们如何用一种简洁、准确的方法来确定平面内点的位置呢？从而引出本节课的课题 —— 图形与坐标。
（二）知识讲解（20 分钟）
平面直角坐标系的概念
教师在黑板上画出两条互相垂直且有公共原点的数轴，水平的数轴称为 x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
讲解平面直角坐标系的构成要素，强调坐标轴上的单位长度通常是一致的，但在实际应用中可根据需要进行调整。
引导学生观察平面直角坐标系，将坐标平面被两条坐标轴分成的四个部分分别命名为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，并说明坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标表示
在平面直角坐标系中，任意一点 P 的位置可以用一对有序实数 (x,y) 来表示，其中 x 称为点 P 的横坐标，y 称为点 P 的纵坐标。
教师通过在黑板上举例，如点 A (3,2)，说明先在 x 轴上找到表示 3 的点，过该点作 x 轴的垂线，再在 y 轴上找到表示 2 的点，过该点作 y 轴的垂线，两条垂线的交点即为点 A。
让学生进行练习，在平面直角坐标系中描出给定坐标的点，并写出一些点的坐标，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
学习目标
1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律;（重点、难点）
2. 使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化，初步建立空间观念．
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
观察与思考
问题：你会下象棋吗 如果下一步想“马走日”“象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？
平面直角坐标系中点的平移
一
你还记得什么叫平移吗？
图形平移的性质是什么？
在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移.
1.新图形与原图形形状和大小不变，但位置改变;
2.对应点的连线平行且相等.
A
1
3
5
2
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
3
4
2
-1
5
-2
-3
-4
-6
-5
6
1
根据左图回答问题：
1.将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度，得到点A1( ___ , ___ );
2.将点A(-2,-3)向左平移
2个单位长度，得到点A2(____ , _____)；
A1
-4
-3
3
-3
A2
你发现了什么
y
x
A
1
3
5
2
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
3
4
2
-1
5
-2
-3
-4
-6
-5
6
O
1
3.将点A(-2,-3)向上平移4个单位长度，得到点A3( , )；
4.将点A(-2,-3)向下平移2个单位长度，得到点A4( , ).
A3
A4
-2
1
-2
-5
你发现了什么
y
x
左、右平移纵坐标不变,横坐标变,变化规律是左减右加；
一个图形在平面直角坐标系中进行平移,其坐标就要发生相应的变化, 可以简单的理解为:
上、下平移横坐标不变,纵坐标变,变化规律是上加下减.
平面直角坐标系中图形的平移
二
3
2
1
-2
-1
-3
4
y
A
B
C
-4
A1
C1
B1
A2
C2
B2
如图， △ ABC在坐标平面内平移后得到△A1B1C1.
1.移动的方向怎样？
3.如果△ ABC向下平移4个单位，得到△ A2B2C2，写出各点的坐标，它们有怎样的变化
2.写出△ ABC与△ A1B1C1各点的坐标，它们有怎样的变化？
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
x
解：（1）向右平移5个单位；
（2）A(-1，3)，B(-4，2)，
C(-2，1)，A1(4，3)，
B1(1，2)，C1(3，1)；
平移后的对应点的横坐标
增加了5，纵坐标不变；
(3) A2(-1，-1)，
B2(-4，-2)，
C2(-2，-3)；
平移后的对应点的横坐标
不变，纵坐标减少了4.
3
2
1
-2
-1
-3
4
y
A
B
C
-4
A1
C1
B1
A2
C2
B2
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
x
归纳总结
(1)原图形向左（右）平移a个单位长度：(a>0)
向右平移a个单位
(2)原图形向上（下）平移b个单位长度：(b>0)
原图形上的点P(x,y)
向左平移a个单位
原图形上的点P (x,y)
P1(x+a,y)
P2(x-a,y)
向上平移b个单位
原图形上的点P(x,y)
向下平移b个单位
原图形上的点P(x,y)
P3(x,y+b)
P4(x,y-b)
A
B
C
-4
-5
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-1
-2
-3
o
x
y
(-3,2)
(-2,-1)
(3,0)
5.如图，△ABC上任意一点P(x0,y0)经平移后得到的对应点为P1(x0+2,y0+4)，将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.求A1、B1、C1的坐标.
P(x0,y0)
P1(x0+2,y0+4)
B
B1
A1
C1
解：A（-3,2）经平移后得到（-3+2,2+4），即A1(-1,6);
B（-2,-1）经平移后得到（-2+2,-1+4），即B1(0,3);
C（3,0）经平移后得到（3+2,0+4），即C1(5,4).
C
O
1．什么叫做平移？
2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移.
平移后图形的位置改变，形状、大小不变.
情景引入
如图3-23，在平面直角坐标系中，
A（1，2）分别沿坐标轴方向作以下变换， 试作点A的像， 并写出像的坐标.
（1）点A向右平移4个单位，像为点A1；
（2）点A向左平移3个单位，像为点A2；
（3）点A向上平移2个单位，像为点A3；
（4）点A向下平移4个单位，像点为A4.
图3-23
合作探究
A（1，2）
A1（5，2）
一般地， 在平面直角坐标系中，将点（a，b）
向右（或向左） 平移k 个单位，其像的坐标为（a+k，b）
（或（a-k， b））； 将点（a， b）向上（或向下）
平移k个单位，其像的坐标为（a， b+k）（或（a， b-k））.
A2 （-2，2）
A3 （1，4）
A4 （1，-2）
不变
向右平移4个单位
向左平移3个单位
向上平移2个单位
向下平移4个单位
不变
不变
不变
不变
不变
不变
不变
不变
不变
坐标变化
横坐标 纵坐标
加4
减3
加2
减4
不变
不变
不变
不变
（1）将线段AB向上平移2个单位， 作出它的
像A′B′， 并写出点A′， B′的坐标；
（2）若点C（x，y） 是平面内的任一点，
在上述平移下， 像点C′（x′， y′）
与点C （x，y）的坐标之间有什么关系？
动脑筋
图3-24
如图3-24，线段AB 的两个端点坐标分别为
A（1，1）和B（4，4）.
（1）将线段AB 向上平移2 个单位， 则线段AB 上
每一个点都向上平移了2 个单位， 由点A， B
的坐标可知其像的坐标是A′（1， 3），
B′（4， 6）. 连接点A′， B′， 所得线段
A′B′即为所求作的像，如图3-24.
图3-24
（2）同理可求出，像点C′与点C之间的坐标关系为
x′= x，
y′= y+2.
举
例
例1
如图3-25， △ABC 的三个顶点坐标分别为
A（3，3）， B（2，1），C（5，1）.
（1） 将△ABC 向下平移5个单位，作出它的像，
并写出像的顶点坐标；
（2） 将△ABC 向左平移7个单位，作出它的像，
并写出像的顶点坐标.
图3-25
根据平移的性质，将△ABC 向下或向左平移k 个
单位，△ABC的每一个点都向下或向左平移了k个
单位，求出顶点A， B， C的像的坐标，作出这些
像点，依次连接它们，即可得到△ABC的像.
分析
解
（1）将△ABC 向下平移5 个单位，
则横坐标不变，纵坐标减5，
由点A，B，C的坐标可知其像
的坐标分别是A1（3，-2），
B1（2，-4）， C1（5，-4），
如右图所示.
A1（3，-2）
●
B1（2，-4）
●
C1（5，-4）
●
依次连接点A1，B1，C1，即
可得△ABC的像△A1B1C1.
将△ABC 向左平移7 个单位， 则横坐标减7，
纵坐标不变， 由点A，B， C的坐标可知其像
的坐标分别是A2（-4，3）， B2（-5，1），
C2（-2，1）. 如图3-26所示.
（2）
B2（ -5，1）
●
A2（ -4 ，3）
●
C2（ -2 ，1）
●
依次连接点A2，B2，C2 ， 即可得△ABC 的像△A2B2C2 .
图3-26
P(x,y)
P(x, y-b)
P(x, y+b)
向上平移
个单位
b
向下平移
个单位
b
P(x-a,y)
P(x+a,y)
向右平移
a个单位
向左平移
a个单位
1. [2024衡阳期末] 若点 向下平移2个单位得到对应点
，则点 的坐标是( )
B
A. B. C. D.
2. [2024洛阳一模] 将点平移到点 处，下列
平移方法正确的是( )
C
A. 向右平移3个单位，向上平移5个单位
B. 向左平移3个单位，向下平移5个单位
C. 向右平移3个单位，向下平移5个单位
D. 向左平移3个单位，向上平移5个单位
返回
3. 在直角坐标系中，把点 先向右平移1个单位，再向
上平移3个单位得到点，若点 的横坐标和纵坐标相等，则
( )
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.如图，在平面直角坐标系中， 的三个
顶点坐标分别为，， ，若将
向左
平移3个单位得到，则点的对应点 的
坐标是______.
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5. 如图，在平面直角坐标系中，四
边形的四个顶点分别为 ，
，， .将四边形
平移得到四边形，此时点 的
对应点为 .
（1）若边上一点经过上述平移后的对应点为 ，
用含，的式子表示点 的坐标为_____________；
（2）画出平移后的四边形 .
【解】如图，四边形
即为所求.
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6. 如图，， 两点的坐标分别为
，，若将线段 平移至
，则 的值为( )
D
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
在平面直角坐标系内，把一
个图形各个点的横坐标都加上
（或减去）一个整数 ，相应的新图
形就是把原图形向右（或向左）平移
个单位；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个整数
，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移 个单位.
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7. 已知坐标平面内的点 ，现在把原点先向下
平移4个单位，再向左平移3个单位，则点 在新坐标系中的
坐标为( )
C
A. B. C. D.
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平移的坐标表示
沿x轴平移
沿y轴平移
纵坐标不变
横坐标加上一个正数，向右平移
横坐标减去一个正数，向左平移
横坐标不变
纵坐标加上一个正数，向上平移
纵坐标减去一个正数，向下平移
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