(共25张PPT)
4.1.1 变量与函数
第4章 一次函数
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解一次函数和正比例函数的概念，能准确识别给定函数是否为一次函数或正比例函数。
掌握一次函数的一般表达式
y=kx+b
（
k
，
b
为常数，
k
a
^
0
），明确
k
和
b
的意义。
会根据已知条件确定一次函数的表达式，能熟练画出一次函数的图象。
过程与方法目标
通过对实际问题中变量关系的分析，建立一次函数模型，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
在探究一次函数图象性质的过程中，经历观察、比较、归纳等活动，提高学生的数学思维能力和探究能力。
情感态度与价值观目标
感受一次函数在描述现实世界变量关系中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点
一次函数和正比例函数的概念。
一次函数表达式的确定及图象的画法。
一次函数的性质。
教学难点
理解一次函数与实际问题的联系，运用一次函数解决实际问题。
探究一次函数图象性质与
k
、
b
值的关系。
三、教学方法
讲授法：讲解一次函数的概念、表达式、图象及性质等基础知识，使学生形成系统的知识体系。
讨论法：组织学生对一次函数相关问题进行讨论，如在探究一次函数图象性质时，通过小组讨论，让学生分享观点，培养合作探究能力。
练习法：设计针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
直观演示法：利用多媒体课件展示一次函数图象的动态变化过程，直观呈现函数性质，帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的实例：
汽车以 60 千米 / 小时的速度匀速行驶，行驶路程
y
（千米）与行驶时间
x
（小时）之间的关系。
某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量
x
（千克）每增加 1 千克，弹簧长度
y
（厘米）增加 0.5 厘米，弹簧长度
y
与所挂物体质量
x
之间的关系。
引导学生分析这些实例中两个变量之间的关系，列出函数表达式：
对于汽车行驶问题，
y=60x
。
对于弹簧问题，
y=0.5x+3
。
提问：这些函数表达式有什么共同特点？从而引出本节课的主题 —— 一次函数。
学习目标
1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；
初步理解函数的概念，了解自变量与函数的意义;（重点）
2. 通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题的能力;
3.引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
变量与函数
一
我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化,那我们如何来研究各种运动变化呢
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
问题1 如图，用热气球探测高空气象.
当t=3min，h为650m
设热气球从海拔500m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
当t=2min，h为600m
当t=1min，h为550m
当t=0min，h为500m
（1）计时一开始，热气球的高度是多少？
（2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
（3）你能总结出h与t的关系吗？
500m
50m×1＝50m
50m×2=100m
50m×3=150m
50m×4=200m
…
50m×t=50tm
h=500+50t
（4）哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
保持不变的量
（常量）
热气球原先所在的高度500m
气球上升的速度50m/min
不断变化的量
热气球升空的时间tmin
气球升空的高度hm
（变量）
因别人变化而变化的量__________.
自我发生变化的量___________；
（5）热气球上升的高度h与时间t，这两个变量之间有关系吗？
t
h
结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
问题2 下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线.
O
(1)你发现哪些变量？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
为什么？
(3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在
什么时刻达到的？
(2)任意给出这一天中的某一时刻，如4.5h、20h，你能找到这
一时刻的用电负荷y MW（兆瓦）是多少吗？说明了什么？
时间、负荷
时间
负荷
因为负荷随时间的变化而变化.
能，分别为10000MW、15000MW，说明t的值一确定，y的值就唯一确定了.
这一天的用电高峰在13.5h达到18000MW，用电低估在4.5h达到10000MW.
1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为______，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数.
60
s=60t
t和s
s
t
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
情景引入
10
20
第1个问题中，某地一天中的气温随着时间的变化而变化，从图中可看出，4时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃
1. 图4-1是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃ ）是如何随时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？
合作探究
2. 当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，… 时，
正方形的面积S分别是多少？试填写下表：
边长 x 1 2 3 4 5 6 7 …
面积 S …
1
4
9
16
25
36
49
从第2题中，我们可以看出：正方形的面积随着它的边长的变化而变化.
在某个实际问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）
上述三个问题中
(1)时间t，气温T
(2)正方形的边长x，面积S；
(3)使用天然气的体积x，应交纳的费用y等都是变量.
每一方米天然气应交纳2.88元，2.88是常量.
变量、常量的定义
一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作：y=f(x).
这里的f(x)是英文 a function of x（x的函数）的简记. 这时把x叫作自变量，把y叫作因变量
对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
几个概念
1. 第一个例子中， 是自变量， 是
的函数.
说一说
时间t
气温T
时间t
2. 第二个例子中，正方形的边长是 ，
正方形的面积是边长的 .
自变量
函数
3. 第三个例子中， 是自变量，
是 的函数.
所用天然气的体积x
应交纳费用y
所用天然气的体积x
1. 司机王师傅到加油站加油，如图是所用的
加油机上的数据显示牌，其中的常量是( )
C
A. 金额 B. 数量
C. 单价 D. 金额和数量
返回
2. 你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为
电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用
温度都是25摄氏度左右.随着温度降低，电池中的化学物质活
性降低，从而导致电池不耐用.在这个变化过程中，自变量是
( )
A
A. 温度 B. 化学物质 C. 电池 D. 电瓶车
返回
3. 下列说法不正确的是( )
B
A. 长方形的长一定时，其面积是宽 的函数
B. 圆的周长公式中， 和 都是自变量
C. 高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程 是行驶的时
间 的函数
D. 等腰三角形的周长一定时，腰长是底边长 的函数
对函数定义理解不透彻而导致不能准确判断函数关系.
返回
4.[2024长沙期中] 函数的自变量 的取值范围是
____________.
分式有意义的条件:分母不为0.
5.[2024湖北] 铁的密度为，铁块的质量
（单位：）与它的体积（单位： ）之间的函数表达式
为，当时，____ .
79
返回
6.[2024西安雁塔区期中] 一辆汽车油箱内有油50升，从某地
出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩余油量为
（升），行驶路程为（千米），则随 的变化而变化.
（1）用含的代数式表示油箱内剩余油量 .
【解】 .
（2）这辆汽车行驶350千米时，剩油多少升？汽车剩油8升
时，行驶了多少千米？
【解】当时， ;
当时,可得，解得 .
答：这辆汽车行驶350千米时，剩油22升.汽车剩油8升时，行
驶了525千米.
返回
7. 教材P112练习某地某一时刻的地面温度为 ，
高度每增加，温度下降 ，有下列说法：
是常量；②高度是变量；③温度是变量；④该地某一高
度这一时刻的温度与高度的表达式为
其中正确的是( )
D
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
返回
变量与函数
常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
谢谢观看！(共29张PPT)
4.1.2 变量与函数
第4章 一次函数
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解一次函数和正比例函数的概念，能准确识别给定函数是否为一次函数或正比例函数。
掌握一次函数的一般表达式
y=kx+b
（
k
，
b
为常数，
k
a
^
0
），明确
k
和
b
的意义。
会根据已知条件确定一次函数的表达式，能熟练画出一次函数的图象。
过程与方法目标
通过对实际问题中变量关系的分析，建立一次函数模型，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
在探究一次函数图象性质的过程中，经历观察、比较、归纳等活动，提高学生的数学思维能力和探究能力。
情感态度与价值观目标
感受一次函数在描述现实世界变量关系中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点
一次函数和正比例函数的概念。
一次函数表达式的确定及图象的画法。
一次函数的性质。
教学难点
理解一次函数与实际问题的联系，运用一次函数解决实际问题。
探究一次函数图象性质与
k
、
b
值的关系。
三、教学方法
讲授法：讲解一次函数的概念、表达式、图象及性质等基础知识，使学生形成系统的知识体系。
讨论法：组织学生对一次函数相关问题进行讨论，如在探究一次函数图象性质时，通过小组讨论，让学生分享观点，培养合作探究能力。
练习法：设计针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
直观演示法：利用多媒体课件展示一次函数图象的动态变化过程，直观呈现函数性质，帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的实例：
汽车以 60 千米 / 小时的速度匀速行驶，行驶路程
y
（千米）与行驶时间
x
（小时）之间的关系。
某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量
x
（千克）每增加 1 千克，弹簧长度
y
（厘米）增加 0.5 厘米，弹簧长度
y
与所挂物体质量
x
之间的关系。
引导学生分析这些实例中两个变量之间的关系，列出函数表达式：
对于汽车行驶问题，
y=60x
。
对于弹簧问题，
y=0.5x+3
。
提问：这些函数表达式有什么共同特点？从而引出本节课的主题 —— 一次函数。
学习目标
1.了解并掌握函数表示法：列表法、解析法及图象法，理解
这三种表示法的优缺点;（重点）
2. 理解并掌握函数自变量范围的确定和函数值的求法；
3. 能用这三种表示函数的方法解决简单的实际问题.（难点）
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
用列表法、解析法与图象法表示函数
一
上一节课我们研究了三个问题，它们都反映了两个变量间的函数关系，回头看一下：
问题1：用热气球探测高空气象
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
问题2：绘制用电负荷曲线
问题3：汽车刹车问题
表示函数关系主要有三种方法：列表法、解析法、图象法
由此你发现了什么？
列表法
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
例如：问题1
解析法
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.
例如：问题3
图象法
如果把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它对应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象，用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.
例如：问题2
自变量的取值范围
二
在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数表达式有意义.
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=2x+4； （2）y=－2x2；
（3） （4）
解：（1）x为全体实数;
（2）x为全体实数；
（3）x≠2;
（4）x≥3.
下面我们来看一个实际问题
从函数的图象中获取信息
三
函数关系用图象表示，直观、形象，容易从中了解函数的一些变化情况．
例2 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：
（1）小强让爷爷先上多少米？
（2）山顶高多少米？谁先爬上山顶？
（3）小强需多少时间追上爷爷？
（4）谁的速度大？大多少？
O
解：由图象可知：
（1）小强出发0分钟时，爷爷已经爬山60米，因此小强让爷爷先上60米；
（2）山顶离山脚的
距离是300米，小强先爬上山；
（3）因为小强和爷爷路程相等时是8分钟，所以小强用了8分钟追上爷爷；
（4）小强爬山300米用了10分钟，速度为30米／分，爷爷爬山（300-60）米=240米，用了10.5分钟，速度约为23米／分，因此小强的速度大，大7米／分.
O
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
x≠0
x≠-1
x≥0
x为一切实数
x≥2
x为一切实数
问题：上节课我们学习了函数的概念，你能说出什么叫做函数吗？
一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应， 那么称y是x的函数．
情景引入
（1）中，是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？
用平面直角坐标系中的一个图形来表示．
（1）下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，可知气温T是时间t 的函数．
合作探究
（2）正方形的面积S与边长x的取值如下表，可知S是x的函数．
(2)中，是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的？
列一张表来表示．
1 4 9 16 25 36 49
（3）某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元，使用x （m3） 天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x．可知y是x的函数．
问题2：(3)中，是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x的函数关系的？
用一个式子y＝2.88x来表示．
函数的三种表示法：
y = 2.88x
图象法、
列表法、
公式法．
1 4 9 16 25 36 49
n个
周长 y
边长 1
用边长为1的等边三角形拼成图形，如图4-3所示，用y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数.
图4-3
动脑筋
(1) 填写下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y
边长 1
(2) 试用公式法表示这个函数关系.
(3) 试用图象法表示这个函数关系.
n个
周长 y
某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车
发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时
赶到了学校. 图4-5反映了他骑车的整个过程，结合
图象，回答下列问题：
举
例
例1
（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到
达学校？
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？
图4-5
1. 下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是( )
D
A. 用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随
着自变量而变化
B. 用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值
与因变量的对应值
C. 用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值
D. 任何函数关系都可以用上述三种方法来表示
返回
2. 2024年10月1日，某商场停车场的停车量
为2 000辆次（只有两轮电动车和小汽车），其中两轮电动
车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元
一次，若两轮电动车的停车量为辆次，停车场的总收入为
元，则与 的关系为( )
A
A. B.
C. D.
返回
3. 某科研小组在网上获取了声音
在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）
温度/ 0 10 20 30
声速/ 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是( )
C
A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B. 温度越高，声速越快
C. 当空气温度为时，声音可以传播
D. 温度每升高，声速增加
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4. [2024武汉] 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径
不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水
槽中水的深度与注水时间 的函数关系的是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】下层圆柱底面半径大，水面上升快，上层圆柱底面
半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对
应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二
段缓.故选D.
返回
5. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应
对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气
凝胶，该材料导热率与温度 的关系如下表：
温度 100 150 200 250 300
导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
根据表格中两者的对应关系，若导热率为 ，则温
度为_____ .
450
返回
6. 下列选项中不能表示是 的函数的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
函数的表示法
列表法、解析法和图象法
自变量的取值范围
使含自变量的等式有意义
使实际问题有意义
函数的表示方法——图象法
函数的图象
从函数的图象中获取信息
画函数图象
谢谢观看！
