4.4 用待定系数法确定一次函数表达式一次函数表达式 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
4.4 用待定系数法确定
一次函数表达式
第4章 一次函数
湘教版数学8年级下册（公开课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解和掌握用待定系数法求一次函数的解析式，了解待定系数法的思维方式与特点;（重点）
2. 明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实;
《一次函数》教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解一次函数和正比例函数的概念，能准确识别给定函数是否为一次函数或正比例函数。
掌握一次函数的一般表达式 \(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\) 为常数，\(k 0\)），明确 \(k\) 和 \(b\) 的意义。
会根据已知条件确定一次函数的表达式，能熟练画出一次函数的图象。
过程与方法目标
通过对实际问题中变量关系的分析，建立一次函数模型，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
在探究一次函数图象性质的过程中，经历观察、比较、归纳等活动，提高学生的数学思维能力和探究能力。
情感态度与价值观目标
感受一次函数在描述现实世界变量关系中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
在小组合作学习中，培养学生的团队协作精神和交流表达能力。
二、教学重难点
教学重点
一次函数和正比例函数的概念。
一次函数表达式的确定及图象的画法。
一次函数的性质。
教学难点
理解一次函数与实际问题的联系，运用一次函数解决实际问题。
探究一次函数图象性质与 \(k\)、\(b\) 值的关系。
三、教学方法
讲授法：讲解一次函数的概念、表达式、图象及性质等基础知识，使学生形成系统的知识体系。
讨论法：组织学生对一次函数相关问题进行讨论，如在探究一次函数图象性质时，通过小组讨论，让学生分享观点，培养合作探究能力。
练习法：设计针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
直观演示法：利用多媒体课件展示一次函数图象的动态变化过程，直观呈现函数性质，帮助学生理解抽象概念。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的实例：
汽车以 60 千米 / 小时的速度匀速行驶，行驶路程 \(y\)（千米）与行驶时间 \(x\)（小时）之间的关系。
某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量 \(x\)（千克）每增加 1 千克，弹簧长度 \(y\)（厘米）增加 0.5 厘米，弹簧长度 \(y\) 与所挂物体质量 \(x\) 之间的关系。
引导学生分析这些实例中两个变量之间的关系，列出函数表达式：
对于汽车行驶问题，\(y = 60x\)。
对于弹簧问题，\(y = 0.5x + 3\)。
提问：这些函数表达式有什么共同特点？从而引出本节课的主题 —— 一次函数。
（二）知识讲解（20 分钟）
一次函数的概念
给出一次函数的一般形式 \(y = kx\(k\)，\(b\) 为常数，\(k 0\)）。强调 \(k\) 不能为 0，若 \(k = 0\)，则函数变为 \(y = b\)，是一个常数函数。
举例说明：\(y = 2x + 1\)，\(y = -3x - 5\) 等都是一次函数。让学生判断一些函数是否为一次函数，如 \(y = \frac{1}{x}\)，\(y = x^2 + 1\) 等，加深对概念的理解。
当 \(b = 0\) 时，一次函数 \(y = kx + b\) 变为 \(y = kx\)（\(k\) 为常数，\(k 0\)），此时称 \(y\) 是 \(x\) 的正比例函数。如 \(y = 5x\) 就是正比例函数。说明正比例函数是特殊的一次函数。
一次函数表达式的确定
讲解：确定一次函数表达式，就是要确定 \(k\) 和 \(b\) 的值。通常需要已知两个条件，将其代入 \(y = kx + b\) 中，得到关于 \(k\) 和 \(b\) 的方程组，解方程组即可求出 \(k\) 和 \(b\) 的值。
举例：已知一次函数图象经过点 \((1,3)\) 和 \((2,5)\)，求该一次函数的表达式。
设该一次函数表达式为 \(y = kx + b\)，把点 \((1,3)\) 和 \((2,5)\) 分别代入可得方程组 \(\begin{cases}k + b = 3\\2k + b = 5\end{cases}\)
用第二个方程减去第一个方程消去 \(b\)，得 \(k = 2\)，把 \(k = 2\) 代入 \(k + b = 3\)，得 \(b = 1\)。所以该一次函数表达式为 \(y = 2x + 1\)。
一次函数的图象
讲解：一次函数 \(y = kx + b\) 的图象是一条直线。通常我们通过描点法来画一次函数图象，一般取两个点即可确定这条直线。
对于正比例函数 \(y = kx\)，通常取 \((0,0)\) 和 \((1,k)\) 这两个点。例如画 \(y = 2x\) 的图象，当 \(x = 0\) 时，\(y = 0\)；当 \(x = 1\) 时，\(y = 2\)，在平面直角坐标系中描出这两个点，然后过这两点画直线即可。
对于一般的一次函数 \(y = kx + b\)，通常取 \((0,b)\) 和 \((-\frac{b}{k},0)\) 这两个点（\(k 0\)）。如画 \(y = 3x - 2\) 的图象，当 \(x = 0\) 时，\(y = -2\)；当 \(y = 0\) 时，\(3x - 2 = 0\)，解得 \(x = \frac{2}{3}\)，即取点 \((0,-2)\) 和 \((\frac{2}{3},0)\)，然后过这两点画直线。
（三）探究活动（15 分钟）
探究一次函数图象的性质
教师利用多媒体课件展示不同 \(k\) 和 \(b\) 值的一次函数图象，如 \(y = 2x + 1\)，\(y = -3x + 2\)，\(y = x - 3\) 等。
组织学生分组讨论：观察这些图象，当 \(k\gt0\) 时，图象的上升或下降趋势如何？当 \(k\lt0\) 时，图象的上升或下降趋势又如何？\(b\) 的值对图象与 \(y\) 轴的交点位置有什么影响？
小组讨论结束后，各小组代表发言，分享本小组的探究结果。教师进行总结归纳：
当 \(k\gt0\) 时，一次函数 \(y = kx + b\) 的图象从左到右上升，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大；当 \(k\lt0\) 时，一次函数 \(y = kx + b\) 的图象从左到右下降，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。
当 \(b\gt0\) 时，图象与 \(y\) 轴交于正半轴；当 \(b = 0\) 时，图象经过原点；当 \(b\lt0\) 时，图象与 \(y\) 轴交于负半轴。
探究一次函数与实际问题的联系
给出实际问题：某商店销售一种成本为每千克 40 元的水产品，若按每千克 50 元销售，一个月可售出 500 千克，销售价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克。设销售单价为 \(x\) 元，月销售利润为 \(y\) 元。
引导学生分析问题，找出变量之间的关系，列出函数表达式：
每千克的利润为 \((x - 40)\) 元，月销售量为 \([500 - 10(x - 50)]\) 千克，所以 \(y = (x - 40)[500 - 10(x - 50)]\)，化简得 \(y = -10x^2 + 1400x - 40000\)。虽然这是一个二次函数，但可通过分析让学生体会函数在实际问题中的应用。
让学生思考如何利用一次函数知识来解决类似问题，如假设销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 10 千克，让学生尝试列出函数表达式并分析其性质。
（四）例题讲解（10 分钟）
例 1：已知一次函数 \(y = (m - 2)x + 3\)，当 \(m\) 为何值时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大？
分析：根据一次函数性质，当 \(k\gt0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。在函数 \(y = (m - 2)x + 3\) 中，\(k = m - 2\)，所以 \(m - 2\gt0\)，解得 \(m\gt2\)。
解：当 \(m\gt2\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。
例 2：已知一次函数图象经过点 \((0, - 1)\) 和 \((1,1)\)，求该一次函数表达式。
分析：设一次函数表达式为 \(b\)，把两点坐标代入可求 \(k\) 和 \(b\) 的值。
解：设该一次函数表达式为 \(y = kx + b\)，将点 \((0, - 1)\) 和 \((1,1)\) 代入得 \(\begin{cases}b = -1\\k + b = 1\end{cases}\)，把 \(b = -1\) 代入 \(k + b = 1\)，得 \(k - 1 = 1\)，解得 \(k = 2\)。所以该一次函数表达式为 \(y = 2x - 1\)。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
回顾与思考
判断：下列函数关系式中的 y 是不是 x 的一次函数.
（1）y = - x ； （ ）
（2）y = 2x - 1 ； （ ）
（3）y = 3( x-1) ； （ ）
（4）y - x = 2 ； （ ）
（5）y = x2 . （ ）
√
√
√
√
×
用待定系数法求一次函数解析式
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
总结归纳
怎样求一次函数的表达式？
1. 设一次函数表达式；
2. 根据已知条件列出有关方程;
3. 解方程；
4. 把求出的k，b代回表达式即可.
这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.
例 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
典例精析
解：设y=kx+b(k≠0)，
由题意得14.5=b, 16=3k+b,
解得 b=14.5 ; k=0.5.
所以在弹性限度内，
当x=4时，y＝0.5×4＋14.5
=16.5（厘米）.
即物体的质量为4千克时，
弹簧长度为16.5厘米.
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确
的是 （ ）
A．k=2　　　B．k=3　　　C．b=2　　　D．b=3
D
y
x
O
2
3
2. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
　(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
2
-18
-42
l
解：设直线l为y=kx+b,
　　∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2），
∴2=-2×0+b,
∴b=2,
∴直线l的解析式为y=-2x+2.
3. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0,2)，求直线l的解析式.
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与
其下滑时间t(秒)的关系如图所示.
(1)下滑2秒时物体的速度是多少？
(2)v与t之间的函数关系是什么类型？
(2, 5)
正比例函数
情景引入
如图4-14，已知一次函数的图象经过P（0，-1），
Q（1，1）两点. 求这个一次函数的表达式.
图4-14
合作探究
解：设y=kx+b ，将（0，-1），（1，1）代入得
k·0 + b = -1，
k + b = 1.
｛
｛
解这个方程组，得
k=2，
b=-1.
所以，这个一次函数的表达式为y = 2x- 1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法。
温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.
水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为
212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度
度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系
近似地为一次函数关系，你能不能想出一个
办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
例1
举
例
用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设
C = kF + b，
解
由已知条件，得
212k + b =100，
32k + b = 0 .
｛
解这个方程组，得
因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为
某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数图象如图4-15所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？
例2
举
例
图4-15
解这个方程组，得
所以 y = -5x + 40.
（1）求y关于x的函数表达式；
（1） 解
设一次函数的表达式为y = kx + b ，由于
点P （2，30）， Q（6，10）都在一次
函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得
2k + b =30，
6k + b =10.
｛
（2）解 当剩余油量为0时， 即y=0 时，
有 -5x + 40 = 0，
解得 x = 8.
所以一箱油可供拖拉机工作8 h．
（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？
2.确定一次函数 的表达式：
需要一次函数 的两组对应变量值(图象上两点的坐标).
1.确定正比例函数 的表达式：
只需要正比例函数 的一组变量对应值(图象上除原点外一点的坐标)即可.
1. 点在正比例函数的图象上，则 的值
为( )
D
A. B. 15 C. D.
2. [2024广州期中] 直线 在直角坐标
系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式
为( )
A
A. B.
C. D.
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3. “千帕”和“毫米汞柱 ”都是表示
血压的单位,前者是法定的国际计量单位,而后者则是过去一
直广泛使用的惯用单位.请你根据下表所提供的信息,判断下
列各组换算正确的是( )
千帕 10 12 16 …
毫米汞柱 75 90 120 …
C
A. B.
C. D.
【点拨】由题表可知,千帕与毫米汞柱之间的换算满足一次函
数关系,用, 分别表示千帕与毫米汞柱,则可设千帕与毫米汞
柱之间的表达式为,则 解得
,
A.当时,,即 ,故
本选项错误;
B.当时,,即 ,
故本选项错误;
C.当时,,即 ,故本选项
正确;
D.当时,,即 ,故
本选项错误.故选C.
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4.已知与成正比例，且当时， ，那么当
时， ___.
3
5.[2024长沙天心区月考] 已知，其中与 成正
比例，与成正比例，且当时，；当
时， .
（1）求关于 的函数表达式；
返回
【解】与成正比例，与成正比例, 设
，，则 ，根据
题意，得
解得
.
（2）若点在这个函数图象上，求 的值.
【解】把，代入，得，
解得 .
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用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于k、b的方程组；
1. 设所求的一次函数表达式为y=kx+b；
3. 解方程，求出k、b;
4. 把求出的k，b代回表达式即可.
谢谢观看！