北京市丰台区2024~2025学年度第二学期综合练习（一）
高三数学参考答案
2025.03
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
2
A
C
D
A
C
B
B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.2
12.0:(-0,1]
13.1,-2,4(答案不唯一)
14.2,2
15.②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.(本小题13分)
解：(1)在△ABC中，因为b-a2-c2=-1。
ac,
7
由余弦定理cosB=
a2+c2-b2
2ac
得cosB=
14
因为B∈(0，)，
所以sinB=-cos'B=5V5
14
5分
(Ⅱ)选择条件①：
因为C=2
,所以smc=y3
cosC=-1
2
由题意得S=)absin C-155
2
所以ab=15(1).
因为cosB=
11
5V5
14
sinB
14
所以sinA=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C
5W5
111V3
(+i4x2
141
高三数学参考答案第1页（共8页）
33
14
由正弦定理a
sinA sin B
得、3
65
(2),
由(1)(2)解得a2=9,
所以a=3.
13分
选择条件②：
电题直得sac咖8=15W明
4
所以ac=21(1).
因为b=5,且b2-a2-c2=-
7
ac,
所以a2+c2=58.
又(a+c)2=a2+c2+2ac=100,
所以a+c=10(2)
由(1)(2)解得a=3或a=7.
.13分
17.(本小题14分)
解：(I)在△ABC中，因为AB=2,BC=4,∠ABC=60°，
所以AC2=AB2+BC2-2AB×BC×c0sB=4+16-2×2×4×=12
所以AC=2V5
又AC2+AB2=BC2,
所以AC⊥AB
又因为平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,
ACC平面ABCD,
所以AC⊥平面PAB.
5分
高三数学参考答案第2页（共8页）
(I)分别取AB,BC中点O,E,连接OP,OE,
所以OE∥AC,
因为AC⊥AB,
所以OE⊥AB、
又因为△PAB为等边三角形，
所以OP⊥AB
因为AC⊥平面PAB,OPC平面PAB,
所以AC⊥OP
又因为OE∥AC,
所以OE⊥OP
所以OB,OE,OP两两垂直.如图建立空间直角坐标系O-z,
则A(-1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,N3),E0N3,0)
所以BP=(-1,05),AD=BE=(-1,N5,0),PD=PA+AD=(-2,N5,-√3)
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
n·BP=0,
-x+V5z=0,
则
即
n BE=0,
-x+5y=0.
令y=1,则x=√5，z=1.于是n=(N3,l,)
设直线PD与平面PBC所成角为日，则
sin0-cosPD
所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为6
14分
18.(本小题13分)
解：(I)上表中的7趟车次中，列车运行时长不超过10小时的有4趟，
设事件A=“从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，这趟列车
的运行时长不超过10小时”，
则P(A)=7
3分
高三数学参考答案第3页（共8页）15,己知函数f(x)=e-acosx.给出下列四个结论：
①当a=1时，∫x)在区间(-，0)上单调递增：
②对任意实数a,f(x)都没有最小值：
③当a≠0时，设f八)的零点从大到小依次为x,2,,,则对任意正整数i,都有
x,-1<π：
④对任意实数a,m,存在实数。，当1>时，恒有f(-)+f(0)>m.
其中所有正确结论的序号为_
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.(本小题13分)
在△ABC中，b-a2-c2=-
ac.
7
(I)求sinB;
(Ⅱ)若△ABC的面积为
55
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个
作为已知，使得△ABC存在，求a.
条件0：C=行
条件②：b=5:
条件③：sinA-sinC=l.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的
条件分别解答，按第一个解答计分
17.(本小题14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB为等边三角形，AD∥BC,
AB=AD=BC=2,∠ABC=60°.
2
(I)求证：AC⊥平面PAB:
(Ⅱ)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值，
高三数学第4页（共6页）
18.(本小题13分)
京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输
最为繁忙的高速铁路之一，某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：
注：以下高铁车次均能准点到达
上午(00：00至11：59)》
下午(12：00至23：59)
07:26
G335
17:49
12:26
G339
22:51
北京西
广州喇
北京西
广州南
10小23分
10小时25分
08:00
G77
15:35
14:00
G81
21:43
北京西
广州南
北京西
广州南
7小时35分
7小时43分
08:32
G1579
19:12
20:13
G897
06:071
北京西
广州南
北京西
广州南
10小时40分
9小时54分
10:00
G79
17:17
北京西
广州南
7小时17分
(【)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趙列车的运行
时长不超过10小时的概率：
(Ⅱ)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中
甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的
选择互不彩响.
()记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，
求X的分布列和数学期望：
()甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
19.（本小题15分)
⊙知椭圆E:+冷@>6>0，以E的两个焦点与短袖的一个端点为顶点的=
角形是等腰直角三角形，且而积为1.
(I)求椭圆E的方程：
(Ⅱ)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于不同的两点M,N.过M作直线x=1的垂线，
垂足为Q.求证：直线NQ过定点.
高三数学第5页（共6页）
