专题07 线性代数背景下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：行列式背景
题型二：矩阵背景
题型三：向量组背景
【典型例题】
题型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）定义行列式运算： ，若函数 （，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.
(1)求函数的单调增区间；
(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
【解析】（1）由题意：，
∵，即，
∴，
∴的图象向右平移个单位后得，
此函数为奇函数，则，
∵，∴，
∴，
由，可得，
∴的单调增区间为；
（2）由上可得，
∴，
当时，；
当时，，
又，适合此式，
∴，
∴，
∴．
【典例1-2】（2024·高一·北京·期末）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，
（1）求下列行列式的值：
①；②；③；
（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；
（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
【解析】（1）①
②；
③.
（2）证明：若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，
∴必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，∴，
∵，∴，∴，∴与共线，
当且时，，∴与共线，
充分性得证.
综上，向量与向量共线的充要条件是.
（3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，①
同理，消去x，得：
，②
∴当时，即时，由①②得：
，，
∴当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，
且，.
【变式1-1】（2024·高二·全国·单元测试）我们用（，、、、）表示矩阵的第行第列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，.
（1）求；
（2）求关于，的关系式；
（3）设行列式，求证：对任意、，、、时，都有.
【解析】由于该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，，则矩阵中第一行的公差为1，第二行的公差为2，从而第三行的公差为3，即有第行的公差为，则有第一列的公差为1，第二列的公差为2，从而第列的公差为，
则由等差数列的通项公式，即可得到
所以（1）
所以（2）
（3）证明：由于行列式，
即有，
则
，
故对任意，，，，时，都有
题型二：矩阵背景
【典例2-1】（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
【解析】（1）由题意得.
若，则，即.
因式分解得.因为，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为，
第2对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为，
所以
所以.
（3）由题意知，证明
等价于证明，
注意到左侧求和式，
将右侧含有的表达式表示为求和式有
故只需证成立，
即证成立，令，
则需证成立，
记，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【典例2-2】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），则，即，
解得，
则，，，
，
故.
（2）（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取验证不成立，
整理得到，，
当时，，不成立；当时，；当时，；
现说明当时不成立：
设，，，则，，
故单调递增，，
设，，，，，
故单调递减，，，，，
故时，不成立，
综上所述：使成立的所有的正整数对为，.
【变式2-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．
(1)若数表，，且是，的生成数表，求；
(2)对，，
数表，，与满足第i行第j列的数对应相同（）.是，的生成数表，且．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若恒成立，求的最小值．
【解析】（1）由题意得，，
，，
所以．
（2）由题意得，
当，时，有①，
即，
（ⅰ）当时，，解得，
当时，由①得②，
得，
所以，
又，，，均符合上式，
所以，时，．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
所以对于，，有
，
由及知，
所以时，对于，，恒成立，
显然时，恒不成立．
下面证明：对于任意，不能恒成立．
记，
此时，
所以，
即当时，有成立，这与恒成立矛盾，
所以对于任意，不能恒成立，
综上，的最小值为．
【变式2-2】（2024·高二·北京·学业考试）已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.
①任意中有三个，一个3；
②存在，使中恰有三个数相等.
(1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）
(2)是否存在数表由生成？说明理由；
(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.
【解析】（1）数表是由生成；
检验性质①：
当时，，共三个，一个3；
当时，，共三个，一个3；
当时，，共三个，一个3；
任意中有三个，一个3；
检验性质②：
当时，，恰有3个数相等.
（2）不存在数表由生成,理由如下:
若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3，
则或-1，总有与的奇偶性相反，
类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；
因为中恰有2个奇数，2个偶数，
所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，
此时中至多有2个数相等，不满足性质②；
综上，不存在数表由生成；
（3）的所有可能的值为3，7，11.
一方面，当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
当时，可以生成数表；
另一方面，若存在数表A由生成，
首先证明：除以4余3；
证明：对任意的，令，
则，
分三种情况：（i）若，且，则；
（ii）若，且，则；
（iii）若，且，则；
均有与除以4的余数相同.
特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；
所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同.
注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.
其次证明：；
证明：只需证明；
由上述证明知若可以生成数表A，则必存在，
使得；
若，则，，，
所以，对任意，均有，矛盾；
最后证明：；
证明：由上述证明可得若可以生成数表A，
则必存在，使得，
，，
，
欲使上述等号成立，对任意的，，
则，，
经检验，不符合题意；
综上，所有可能的取值为3，7，11.
题型三：向量组背景
【典例3-1】（2024·高一·上海·阶段练习）对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量” 给出你的结论并说明理由；
(3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
【解析】（1）由题意可得：，则，解得：；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
（3）由题意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：，
设，则依题意得：，
得，
故，
，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故.
【典例3-2】（2024·高一·上海奉贤·期末）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”
(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；
(2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．
【解析】（1）由题意，而，，，
，
所以，解得，
所以的范围是；
（2）的等量关系是，证明如下：
由题意是向量组的“好向量”，
所以，则，即，
所以，同理，，
三式相加并整理得，
所以，
所以．
【变式3-1】（2024·高三·上海宝山·期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
【解析】（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
【过关测试】
1．（2024·高一·四川成都·期中）定义行列式运算： ，若函数（）的最小正周期是.
（1）求函数的单调增区间；
（2）数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
【解析】（1）由题意：，
∵，
∴，
由可得，
∴的单调增区间为．
（2）证明：由（Ⅰ）得，
∴，
①当时，；
②当时，，而，满足上式
∴，
则，
∴．
2．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．
（1）行列式，且，求证：数列是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若不是常数列，是等比数列，
①求和的通项公式；
②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．
【解析】证明:因为,
所以,,
因为,所以,即,
所以数列是等差数列.
①由(1)知数列是等差数列,设公差为(),设等比数列 的公比为,
因为成等比数列，成等差数列,
所以且,
所以,且,
结合化简可得且,
解得,
所以,,
故,.
②因为成等差数列,
所以,即,
由于,且均为正整数,
所以,,所以,
可得,即,
当时,,,所以不等式不成立,
当或时,成立,
当时,,即时,则有,
所以的最小值为6,当且仅当且或时, 取得最小值6.
3．（2024·高一·吉林延边·期中）已知定义在上的奇函数满足,且在上是增函数;又定义行列式; 函数（其中）
（1）证明: 函数在上也是增函数；
（2）若函数的最大值为，求的值；
（3）若记集合恒有，恒有,求满足的的取值范围.
【解析】（1）证明：任取，则
且在上是增函数 ，又为奇函数
故
即 函数在上也是增函数
（2）
的最大值只可能在,,处取
若，，则有，此时，符合题意
若，，则有,此时，不符合题意
若，，则有或
此时或, 不符合题意
综上所述：
（3）是定义在上的奇函数且满足
又在上均是增函数
由得：或
又恒有，恒有
所以恒有
即不等式在恒成立
由得：
此时
由得：
此时
综上所述：
4．（2024·湖北孝感·模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
消去，得，
当时，，则，
当时，由及，得，
所以，
因为，，
所以为公差为1的等差数列，为公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，
则
．
5．（2024·高二·陕西西安·期中）有个正数，排成矩阵（行列的数表）：，表示位于第行，第列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
【解析】（1）由题可知第4行公差为，由此可知
由第四列数据可知公比为：
（2），是首项为，公差为的等差数列，故
（3）因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以由（2）可知，故，设的前n项和为
①
②
得
6．（2024·高二·江苏苏州·期中）设2阶方矩阵，则矩阵A所对应的矩阵变换为：，其中，，其意义是把点变换为点，矩阵M叫做变换矩阵.
(1)当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求经过，的直线的方程；
(2)当变换矩阵，点经矩阵的作用变换后得到点，求实数m，n的值.
【解析】（1）由题可知：，
则，解得，所以.
同理可得，则，
所以经过，的直线方程为：，
即.
（2）由题可知：，
即有，得.
所以，.
7．（2024·上海·模拟预测）设A是由个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的矩阵构成的集合．记为A的第一行各数之和，为A的第二行各数之和，为A的第i列各数之和．记为、、、、…、中的最小值．
(1)若矩阵，求；
(2)对所有的矩阵，求的最大值；
(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值．
【解析】（1）依题意，，，，，，
所以.
（2）设矩阵，，且，
若任意改变矩阵A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成其相反数，得到新矩阵，则，且，
则不妨设，且由的定义知，，，
相加得：
，
因此，，当，时取“=”，
显然存在矩阵，使，
所以的最大值是1.
（3）设矩阵，，
，且，
由（2）知，不妨设，且，
由的定义知，，相加得：
，
因此，，当，，时取“=”，
此时，，
，
即存在矩阵，其中个1，使，
所以的最大值是.
8．（2024·高三·河南·期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若，，求；
②证明.
(2)记的面积为 ，证明：.
(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
【解析】（1）① 因为，，
则；
② 设，，则
，
将与互换，与互换，与互换，
可得，
故；
（2）因为 ，
故，
故要证，
只需证，
即证，
由（1），，，
故，
又， ，，
则成立，
故；
（3）由（2），
，
故，
故的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
9．（2024·高一·贵州·期末）如图一，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，请根据以下信息，处理问题（1）和（2）.信息一：为坐标原点，，若将顺时针旋转得到向量，则，且；信息二：与的夹角记为，与的夹角记为，则；信息三：；信息四：，叫二阶行列式.
（1）求证：，（外层“”表示取绝对值）；
（2）如图二，已知三点，，，试用（1）中的结论求的面积.
【解析】（1）如图所示.
∵，
又因为，，
∴
，
又∵，
∴.
（2）∵
∴
10．（2024·高二·上海浦东新·期中）对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”；
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求的范围；
（2）若，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由.
【解析】（1）由题意可得，，又，
即为，
解得，
即的范围是；
（2）是“向量”.
理由：，，
当为奇数时，，
，即有，
即；
当为偶数时，，
，即有，
即.
综上可得，是向量组的“向量”.
11．（2024·高一·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
【解析】（1）因为，
所以，
①，
②因为，，所以.
（2）任取，，计算内积，设这些内积之和为，
则，设的第个分量之和为，
又因为，故，所以
又，
所以，即，所以.
12．（2024·高一·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
【解析】（1）因为，，，
所以；
（2）设，
因为，，
所以，
因为，所以，
解，得，即.
13．（2024·高二·上海徐汇·期中）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”
（1）若是向量组的“长向量”，且，求实数的取值范围；
（2）已知，，均是向量组的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．
【解析】（1）由“长向量”定义得.
因为，所以,,，
∴，
∴，解得，
∴实数的取值范围为.
（2）,,的等量关系为.
证明:由题意可知,是向量组的“长向量”，即满足.
所以，即，
展开化简可得，
同理,也是向量组的“长向量”，
则，
，
三式相加并化简得:，
即,，
∴.
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【题型归纳目录】
题型一：行列式背景
题型二：矩阵背景
题型三：向量组背景
【典型例题】
题型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）定义行列式运算： ，若函数 （，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.
(1)求函数的单调增区间；
(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
【典例1-2】（2024·高一·北京·期末）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，
（1）求下列行列式的值：
①；②；③；
（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；
（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
【变式1-1】（2024·高二·全国·单元测试）我们用（，、、、）表示矩阵的第行第列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，.
（1）求；
（2）求关于，的关系式；
（3）设行列式，求证：对任意、，、、时，都有.
题型二：矩阵背景
【典例2-1】（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
【典例2-2】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．
(1)若数表，，且是，的生成数表，求；
(2)对，，
数表，，与满足第i行第j列的数对应相同（）.是，的生成数表，且．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若恒成立，求的最小值．
【变式2-2】（2024·高二·北京·学业考试）已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.
①任意中有三个，一个3；
②存在，使中恰有三个数相等.
(1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）
(2)是否存在数表由生成？说明理由；
(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.
题型三：向量组背景
【典例3-1】（2024·高一·上海·阶段练习）对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
(2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量” 给出你的结论并说明理由；
(3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．
【典例3-2】（2024·高一·上海奉贤·期末）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”
(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；
(2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．
【变式3-1】（2024·高三·上海宝山·期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
【过关测试】
1．（2024·高一·四川成都·期中）定义行列式运算： ，若函数（）的最小正周期是.
（1）求函数的单调增区间；
（2）数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
2．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．
（1）行列式，且，求证：数列是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若不是常数列，是等比数列，
①求和的通项公式；
②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．
3．（2024·高一·吉林延边·期中）已知定义在上的奇函数满足,且在上是增函数;又定义行列式; 函数（其中）
（1）证明: 函数在上也是增函数；
（2）若函数的最大值为，求的值；
（3）若记集合恒有，恒有,求满足的的取值范围.
4．（2024·湖北孝感·模拟预测）定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．
5．（2024·高二·陕西西安·期中）有个正数，排成矩阵（行列的数表）：，表示位于第行，第列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
6．（2024·高二·江苏苏州·期中）设2阶方矩阵，则矩阵A所对应的矩阵变换为：，其中，，其意义是把点变换为点，矩阵M叫做变换矩阵.
(1)当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求经过，的直线的方程；
(2)当变换矩阵，点经矩阵的作用变换后得到点，求实数m，n的值.
7．（2024·上海·模拟预测）设A是由个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的矩阵构成的集合．记为A的第一行各数之和，为A的第二行各数之和，为A的第i列各数之和．记为、、、、…、中的最小值．
(1)若矩阵，求；
(2)对所有的矩阵，求的最大值；
(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值．
8．（2024·高三·河南·期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若，，求；
②证明.
(2)记的面积为 ，证明：.
(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
9．（2024·高一·贵州·期末）如图一，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，请根据以下信息，处理问题（1）和（2）.信息一：为坐标原点，，若将顺时针旋转得到向量，则，且；信息二：与的夹角记为，与的夹角记为，则；信息三：；信息四：，叫二阶行列式.
（1）求证：，（外层“”表示取绝对值）；
（2）如图二，已知三点，，，试用（1）中的结论求的面积.
10．（2024·高二·上海浦东新·期中）对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”；
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求的范围；
（2）若，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由.
11．（2024·高一·山西大同·阶段练习）元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
12．（2024·高一·辽宁抚顺·开学考试）在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.
13．（2024·高二·上海徐汇·期中）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”
（1）若是向量组的“长向量”，且，求实数的取值范围；
（2）已知，，均是向量组的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．
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