专题1集合下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：定义新概念
题型二：定义新运算
题型三：定义新性质
题型四：定义新背景
【方法技巧与总结】
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
【典型例题】
题型一：定义新概念
【典例1-1】（2024·高三·浙江·阶段练习）设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
【解析】（1）已知集合的非空子集有15个：
计算可得，即．
集合的非空子集有15个：
计算可得，即
（2）①集合共有个非空子集，的最大值为
②，
即证
不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为
集合是极异集合，，代表有个不同的正整数，
即，
所以中有个元素，由元素互异性可得
又，即可得，
因此数列的前项和.
【典例1-2】（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.
(1)若，直接写出所有满足条件的集合；
(2)若，且对任意，都有，求的最大值；
(3)若且对任意，都有，求的最大值.
【解析】（1）因为，则和的元素个数均为1，
又因为，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或.
（2）集合共有32个不同的子集，
将其两两配对成16组，
使得，则不能同时被选中为子集，故.
选择的16个含有元素1的子集:，符合题意.
综上，.
（3）结论:，令，集合符合题意.
证明如下：
①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集，
所以除外的子集至多有个，故.
②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类:
或，和或，
其中互不相同，互不相同且均不为1，2.
若，则，有
若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同，
因为中除2外至多还有2个元素，所以.
所以.
③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类：
，其中.
若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)，
所以.
若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5，
又中除1外无其它公共元素，所以.
所以.
综上，.
【变式1-1】（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.
(1)若集合，求的“集”；
(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；
(3)若存在“集”，且，求的最大值.
【解析】（1）
若，由题意可得，，，，即，此时，满足题意，
假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立；
若，则，∴或9或27，矛盾.故集合中无四个元素，所以集合.
（2）设集合，不妨设，
假设，即，则且，
由②知，注意到，故有，即，所以，
故，即，因为集合中有4个元素，故设，
由②可得：若，则，∴，矛盾；
若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾，
假设错误，故.
（3），，不妨设，
所以，，又，故，同理可得，
若，与（2）类似得，从而必有，
对任意的，有，即，所以，即.
若，即，，故，，，，
所以，即，从而必有，
对任意的，必有，即，所以，即.
综上，得，又时，有，符合题意，
所以的最大值为4
题型二：定义新运算
【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．
(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．
(2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？
(3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．
【解析】（1）由运算“”的定义知,.
（2）∵,即点在直线上,∴,得．
同理由,得．
由运算“”的定义知,．
所以可以确定，值为48.
（3）由,知,即,且,即.
由运算“”的定义知,,解得．
取,知,此时,即符合题意．
取,知,即也符合题意．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
1、（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
2、（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
3、（恒等元）存在，使得对任意，；
4、（逆的存在性）对任意，都存在，使得．
记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．
【解析】（1）
我们需证在普通加法下可构成一个群，需从以下四个方面进行验证：
①封闭性：对，则，封闭性成立；
②结合律：对，，结合律成立；
③恒等元：取，则对任意，．符合恒等元要求；
④逆的存在性：对任意，，且，满足逆的存在性．
综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群．
（2）首先提出，的“×”运算可以是复数的乘法：，理由如下．
即证明在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：
①封闭性：设，，其中，即．
则，
所以
，即，封闭性成立；
②结合律：设，，，其中，
即，结合律成立；
③恒等元：取，则对任意，，符合恒等元要求；
④逆的存在性：对任意，取其共轭，则，满足逆的存在性；
综上所述，在复数的乘法运算下构成一个群．
（3）所有阶数小于等于四的群都是阿贝尔群，理由如下：
若群的阶数为0，则为空集，与定义矛盾．所以的阶数为1，2，3，4．下逐一证明．
（1）若群的阶数为1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时是阿贝尔群；
（2）若群的阶数为2，设其元素为，其中是恒等元，则，符合交换律，故此时是阿贝尔群；
（3）若群的阶数为3，设其元素为，其中是恒等元，由群的封闭性，．
若，又，推出，则集合有两个相同的元素，
不满足集合的唯一性，矛盾，所以，
现要验证交换律，即．
若，有前知，且，所以，
与群的封闭性矛盾．所以，交换律成立，故此时是阿贝尔群；
（4）若群的阶数为4，设其元素为，其中是恒等元，
由群的封闭性，，由③的分析可知，且，
所以或．
若．由群中逆的存在性，群中存在一个元素使得，很明显，
所以或．
假设，即，又，推出则集合有两个相同的元素，
不满足集合的唯一性，矛盾，故只能；
先证交换律对成立，即．
若，则由，只能等于．
又因为，（和同理），
不满足群中逆的存在性，矛盾，所以．交换律对成立．
接下来只需证交换律对和也成立．
事实上，由和的对称性，只需证即可．
由群中逆的存在性，存在使得．
①若，则只需证．
若，由群的封闭性，，所以只能等于，
又因为，得，即，
但是任取的，该结论具有局限性，不对一般的成立，故矛盾．
即，此时交换律对成立．
②若．群中逆的存在性，存在使得，
又因为，所以只能等于，即，
由①可得：，即此时交换律对成立．
故群的阶数为4时，交换律成立，故此时是阿贝尔群．
综上所述，所有阶数小于等于四的群都是阿贝尔群．
【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．
(1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？
(2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
【解析】（1）设是A中任意两个元素，其中，
那么．
因为，所以，
故数集A对通常的乘法运算封闭．
（2）数集对通常的乘法运算不封闭，证明如下：
取，则，但，
故数集对通常的乘法运算不封闭.
题型三：定义新性质
【典例3-1】（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．
【解析】（1）由于和都不属于集合，所以不具有性质；
由于、、、、、、、、、都属于集合，2，4，，所以具有性质．
（2）令，，则 “与两数中至少有一个属于”，
不属于，属于
令，那么是集合中某项，不行，是0，可以．
如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．
所以令可以得到，
同理，令、，，2，可以得到，
倒序相加即可得到．
（3），，，具有性质，，，，
，则，
所以与中至少有一个属于，
由，有，故，，故．
，，故，3，，．
由具有性质知，，3，，．
又，
，，，，，即，2，，．（1）
由知，，，，均不属于，
由具有性质，，，，均属于，
，
，，，，，即．（2）
由（1）（2）可知，，，
即，3，，．
故，，构成等差数列．
【典例3-2】（2024·高二·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．
【解析】（1）对于集合，
根据定义可知，且符合定义，
所以具有性质；
（2）假设存在具有性质，根据定义易知中有4个元素且，
①若，则，没有4个元素，不符题意舍去；
②若，则，
而，不符题意舍去；
③若，则，
而，
故中至多包含3个元素，不符题意舍去；
④若，则，
而，不符题意舍去；
⑤若，则，没有4个元素，不符题意舍去；
综上可知：不存在具有性质的集合.
【变式3-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.
(1)集合具有性质，求的最小值；
(2)已知具有性质，求证：；
(3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
【解析】（1）由性质定义知：，且，
所以的最小值为6.
（2）由题设，且，
所以，
所以，得证.
（3）由（2）知：，
同（2）证明得且，故，又，
所以在上恒成立，
当，取，则，故，
当，则，即.
综上，集合中元素个数的最大值为7.
题型四：定义新背景
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【解析】（1）设这两个球形邻域分别为，，
为和的交集．
①若与不相交，则；
②若与相交，则
且
故或且．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为，，为和的交集．
①若与不相交，则，即可以看作零个球形邻域的并集；
②若与相交，则取，
令，构造球形邻域．
因为对于，有
故，这说明．
由于是中任取的一点，这说明，
继而
即可被表示为若干个球形邻域的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设，由（2）可知可看作若干个球形邻域的并集，
即
则，使得，故是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设是一个开集，由情况①得，使得，所以
即
故可被表示为若干个球形邻域的并集．必要性证毕．
【典例4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
【解析】（1）依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；
绕中心作的旋转变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换，
综上，.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.，，；
Ⅱ.，，，
，
所以；
Ⅲ.
，
而，所以；
Ⅳ.，
；
综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群.
②，，证明如下：
先证明：由于是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以.
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.
③的所有子群如下：
，
，，
，
【变式4-1】（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
【解析】（1）
集合表示平面上所有的点，
表示这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而可以看成正方体在平面上的截面内所有的点.
发现它是边长为2的正方形，因此.
对于，当时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分.
由对称性可知Q表示，，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点.
它是边长为的正方形，因此.
（2）记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，；
考虑集合的子集；
即为三个坐标平面与围成的四面体.
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为1的正方体，
即，
，
显然为两个几何体公共部分，
记，，，.
容易验证，，在平面上，同时也在的底面上.
则为截去三棱锥所剩下的部分.
的体积，三棱锥的体积为.
故的体积.
当由对称性知，.
（3）
如图所示，即为所构成的图形.
其中正方体即为集合P所构成的区域.构成了一个正四棱锥，
其中到面的距离为，
，.
由题意面方程为，由题干定义知其法向量
面方程为，由题干定义知其法向量
故.
由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H相邻两个面所成角为.
由图可知共有12个面，24条棱.
【过关测试】
1．（2024·高三·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
【解析】（1）因为，又，
但，所以集合不具有性质，
因为，又，
但，
所以集合具有性质.
（2）将集合中的元素分为如下个集合，
，
所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素，
所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为，
所以A不可能具有性质.
（3）先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以为例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选；选6则不选；选7则不选；
则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若只选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个.
给出如下选取方法：从中选取；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
2．（2024·北京丰台·一模）已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
【解析】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.
从而，，，.
（2）如果是一个“好数阵”，则，.
从而，.
故也是一个“好数阵”.
由于是偶数，故，从而.
这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下：
对，规定.
因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.
而
，
这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应.
对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故.
同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当.
最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或.
由于，故无论是还是，都有.
这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.
（3）若是“好数阵”，则有
，
所以，这表明一定是偶数.
若，设是“好数阵”，则，从而，
故.
由于，故，同理.
若，设，则，故，从而.
进一步有，而，故.
假设，设，则，故，则，.
由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾；
所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，；
若，则，从而.
若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，.
若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；
若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；
若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以.
对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，.
综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，，
其中，满足的有，，，.
综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，.
若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”.
3．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【解析】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
4．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
【解析】（1）设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.
（3）设.
为理想数集.
，且，使得.
对于，同样有.
下先证对元理想数集，有.
不妨设集合中的元素满足.即.
为理想数集，
，且，使得.
当时，，
当且仅当且时，等号成立；
当时，，当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
.
.当且仅当时，等号成立.
.
理数.
当且仅当或时，等号成立.
理数的最小值为.
5．（2024·高二·北京·阶段练习）对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．
(1)求与的值；
(2)用列举法写出集合；
(3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.
【解析】（1）依题意，，所以，.
（2）由，得，
因此属于不属于的元素为，属于不属于的元素为，
所以.
（3）依题意，对于集合，，
①若且，则，
②若且，则，
因此要使的值最小，3，5，9一定属于集合，
是否属于集合不影响的值，集合不能含有之外的元素，
所以当为集合的子集与集合的并集时，取得最小值.
6．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
【解析】（1）已知，，且，
所以，的所有情形有：、、、；
（2）设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
7．（2024·高三·北京·阶段练习）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：．
【解析】（1）由题意可得，的所有自邻集有：；
（2）对于的含5个元素的自邻集，
不妨设.
因为对于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或.
对于集合，，，，，
因为，所以，，2，3，4，5，
，
所以.
因为，，或.
所以，，
或，
所以对于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自邻集.
因为当为偶数时，，所以.
所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.
所以的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，
当时，，，
显然.
下面证明：.
①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，
因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为.
②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；
其中含有最大数为2的集合个数为，
含有最大数为3的集合个数为，，
含有最大数为的集合个数为.
则这样的集合共有个.
③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个.
综上可得，
所以，
故时，得证.
8．（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
【解析】（1）集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③
（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合，
令，解得，
显然，
所以集合是集合的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，，，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，
令，，，则由条件①得，
由条件②得，
由条件③得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，
所以，
因为，
所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.
9．（2024·高三·全国·竞赛）对集合，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设，证明：；
（ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
【解析】（1）因为表达式中恒定，所以的取值只和有关
则当都相同的时候相同
注意到最多只有种取法，因此的值域大小不大于，从而是有限集.
（2）（i）根据典范形式的唯一性，我们构造正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，
设的取值集合为，设，则是无交集合列且非0（因为定义在上）
根据题意，任意，取，有，所以，那么，所以是无交集合列
此时对任意，恰好存在一个小区间，使得，所以的取值集合最多有这个数，因为这些数可能相等，所以.
（ii）设是的最小值，是的最大值，那么，并且的端点数目有个，至多构成个区间
如果，其中分别为的端点，且之间没有其他端点，那么要么；要么
所以最多有种取值，所以
另一方面，令，取
并且取，容易验证恰好有种取值，
所以最大值为.
10．（2024·高三·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
【解析】（1）是，理由如下：
取复平面上的圆，
则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内．
而，
故复数i在复平面上对应的点在圆外．
因此，是的“可分离子集”．
（2）必要性：当时，令复数，
取复平面上的圆，
则在复平面上对应的点在圆周上，
又，
故1在复平面上对应的点在圆外．
由，
，
知．
故在复平面上对应的点在圆外．
因此，当时，是的“可分离子集”．
充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”．
假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外．
设圆心表示的复数为．再设．
由知
，
故．
由知
，
故．
进而，，
由知，
故，
进而．
这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．
即当时，不是的“可分离子集”，充分性证毕，
综上，是的“可分离子集”当且仅当.
11．（2024·高三·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值：
(3)若为满集，，求的最小值.
【解析】（1），
当时，取的子集为，则，
当时，取的子集为，则，
当时，取的子集为，则，
故为“满集”.
而，设为的两个子集，
若，则，
则，故，，矛盾，故不是“满集”.
（2）若，则，取，
依题意，存在设为的两个子集，使得，
则，
而或，若，则，
这与矛盾，故即，此时，
因，故对的任意真子集，总有，
故不成立，而时，，
故对的任意子集，总不成立，即不成立即.
（3）因为为满集，由（2）可得，
若，对于集合，考虑集合对的总数，
因为中的任意一个元素，可放置在中的任何一个，
故集合对的总数为，
由这些集合对得到的的不同个数最多为，
这与集合为满集矛盾.
所以，取，
此时，
下证：为满集.
证明：考虑集合
设，则，
，
若，则，
否则，设与中从左到右第一个不对应相等的项的下标，
则，不妨设，
若，
则
，
而
，
故，与矛盾，
若， 同理可得，与矛盾，
若，
则
而
，
故，与矛盾，
故中的元素两两相异.
中的最小值为0，最大值为，
故.
（i）任意的，则，
因为，
故，
构造集合如下：若，则，若，则，
故.
（ii）若，故，
由（i）中分析可得存在集合，使得，
其中，令，则.
由（i）（ii）可得为满集，故的最小值为.
12．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：
若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
(1)若，，，，，，求，及的值；
(2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当时，“好集”不存在.
【解析】（1）因为，，，
则，，
，，
所以.
（2）对任意，定义，
对任意，
因为，则，
可得，
对于任意，可得有2个元素，
若，则，满足“好集”的定义；
若，则，满足“好集”的定义；
综上所述：为“好集”，且，
即当时，存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5.
（3）显然，
先证：当时，对任意的 ，含有的“好集”只能是，
反证：假设存在“好集”，
则对于任意，可得，
则，可得，不满足“好集”的定义，
例如，则，可取，
则，即存在，使得，
结合可得：就相当于对0，1的顺序进行重组，
对于任意，可知均存在，使得，
当时，对任意，
定义，其中，
可知：对任意，其中，
可知，
反证：假设存在“好集”，
则对任意，以为基础构建“好集”，
对任意，
对任意的，均有，与之对应的项只能是和，
每个均有2种选择，共有种组合可能，
按照以上构建方法得到的元素，
可知对任意，均存在，使得，，
所以必然存在，
使得，
故假设不成立，所以当时，“好集”不存在.
13．（2024·高一·浙江杭州·期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
【解析】（1）族，都是集合的拓扑.
（2）（i）设，则，
故存在整数使，因此，得.
设，则存在整数使，故，
因此，得
（ii）因为，，所以，；
设为的任意子集，则，
，
因为，故；
，
因为，故.
14．（2024·高三·上海·期中）给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足：
（i），；
（ii）对任意x，，只要，就有．问：
(1)直接判断是否为减0集，是否为减1集；
(2)是否存在减2集 若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在减1集 若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，，，
所以是“减0集”，
同理因为，，，
所以不是“减1集”.
（2）假设存在“减2集”，
则，那么，
分以下两种情形来讨论：
情形一：当时，有，
注意到，所以中有一个是2，有一个是4，
所以集合中除1以外的最小元素为6，
但是，，
而这与集合是“减2集”矛盾.
情形二：当时，则或，
（因为若为负整数，则，即此时），
若，有，
注意到，所以中有一个是2，有一个是3，
所以集合中除1以外的最小元素为5，
但是，，
而这与集合是“减2集”矛盾；
若，有，
不妨设，，
且此时集合中除1以外的最小元素为，
但是，所以,
而这与集合是“减2集”矛盾.
综上所述：不存在集合是“减2集”.
（3）假设存在是“减1集”，.
假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素.
假设，则，但，因此，
假设，则，且，因此，
因此可以有,
假设，则，但，因此，
假设，则，且，因此，
可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，
又当时，，但，
所以A中元素应该小于7，
因此减1集可以有.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1集合下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：定义新概念
题型二：定义新运算
题型三：定义新性质
题型四：定义新背景
【方法技巧与总结】
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
【典型例题】
题型一：定义新概念
【典例1-1】（2024·高三·浙江·阶段练习）设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
【典例1-2】（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.
(1)若，直接写出所有满足条件的集合；
(2)若，且对任意，都有，求的最大值；
(3)若且对任意，都有，求的最大值.
【变式1-1】（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”.
(1)若集合，求的“集”；
(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：；
(3)若存在“集”，且，求的最大值.
题型二：定义新运算
【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则．
(1)若是直线上所有点的集合,计算的值．
(2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？
(3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
1、（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
2、（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
3、（恒等元）存在，使得对任意，；
4、（逆的存在性）对任意，都存在，使得．
记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．
【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．
(1)设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？
(2)设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
题型三：定义新性质
【典例3-1】（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．
【典例3-2】（2024·高二·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．
【变式3-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.
(1)集合具有性质，求的最小值；
(2)已知具有性质，求证：；
(3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
题型四：定义新背景
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【典例4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
【变式4-1】（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.
【过关测试】
1．（2024·高三·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
2．（2024·北京丰台·一模）已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
3．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
4．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
(3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
5．（2024·高二·北京·阶段练习）对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．
(1)求与的值；
(2)用列举法写出集合；
(3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.
6．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
(1)已知，写出所有的，使得；
(2)已知，若，并且，求的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
7．（2024·高三·北京·阶段练习）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：．
8．（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.
9．（2024·高三·全国·竞赛）对集合，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设，证明：；
（ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
10．（2024·高三·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
11．（2024·高三·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值：
(3)若为满集，，求的最小值.
12．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：
若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
(1)若，，，，，，求，及的值；
(2)当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
(3)求证：当时，“好集”不存在.
13．（2024·高一·浙江杭州·期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
14．（2024·高三·上海·期中）给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足：
（i），；
（ii）对任意x，，只要，就有．问：
(1)直接判断是否为减0集，是否为减1集；
(2)是否存在减2集 若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在减1集 若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．
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