专题01 柯西不等式与权方和不等式
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题型01 二维形式下的柯西不等式 1
题型02 三维形式下的柯西不等式 2
题型03 权方和不等式 3
题型01 二维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式
【典例训练】
一、单选题
1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
3．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
4．（2024高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
题型02 三维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
柯西不等式的扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
1．（2024高三下·浙江·阶段练习）若，则的最小值为 ．
2．（2024高三下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为 .
3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
4．已知，且，实数满足，且，则的最小值是 ．
二、解答题
5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.
(1)若，求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围.
6．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，，对应的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若为边中点，，求的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值.
题型03 权方和不等式
【解题规律·提分快招】
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立.
【典例训练】
一、填空题
1．已知正实数、且满足，求的最小值 .
2．（2024高三·全国·专题练习）的最小值为 .
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
一、单选题
1．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
2．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
3．已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．设非负实数，，满足，则的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
5．（24-25高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．已知正实数、且满足，求的最小值 .
7．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
8．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
9．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，则的取值范围是 ．
四、解答题
10．（23-24高三下·山东·期中）在中，对应的边分别为.
(1)求；
(2)奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
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题型01 二维形式下的柯西不等式 1
题型02 三维形式下的柯西不等式 4
题型03 权方和不等式 10
题型01 二维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式
【典例训练】
一、单选题
1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据,令代入公式,结合已知条件,,即可得到结果.
【详解】因为,
令,又,,,
所以,
当且仅当即时等号成立,
即,
故选:D.
2．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.
【详解】根据题意，有，
而，当且仅从时等号成立.
同理，当且仅当式等号成立，
记题中代数式为M，于是
，
等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2．
故选：B.
3．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知整理得
，
由柯西不等式得
，
当时取等号，
所以，即，
解得，所以的最小值为.
故选：C．
二、多选题
4．（2024高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果.
【详解】由得：，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号），
即当时，，
，解得：，可能的取值为.
故选：BCD.
三、填空题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可.
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，则，
所以，最小值为，此时．
故答案为：.
题型02 三维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
柯西不等式的扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
1．（2024高三下·浙江·阶段练习）若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用柯西不等式可直接求得结果.
【详解】由柯西不等式得：，
即，（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
2．2024高三下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴,当且仅当时等号成立，即，
∵
，当且仅当时等号成立，可取
故答案为：9
3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
【答案】3
【分析】运用柯西不等式计算即可.
【详解】解:由柯西不等式可知
由能成立.
故答案为：3.
4．已知，且，实数满足，且，则的最小值是 ．
【答案】/0.25
【分析】在平面直角坐标系中，令，由此求出与的坐标，再用x，y表示出，然后借助柯西不等式求解作答.
【详解】在平面直角坐标系中，令，设，则，
，解得，则，依题意，不妨令，，
而，则，有
，
当且仅当，即时取“=”，而，则，当且仅当时取“=”，
因此，，当且仅当且，即且时取“=”，
所以当，，时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
二、解答题
5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.
(1)若，求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)3
(2)9
(3)
【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可；
（2）构造应用柯西不等式计算即可；
（3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解；
【详解】（1）因为柯西不等式可得，
又因为，
所以，即得.
当且仅当取最小值3；
（2）因为柯西不等式可得，
又因为，
所以，
即得，化简得，
当且仅当取最大值9；
（3）因为，
所以，所以，
所以，
因为柯西不等式可得，
又因为，，所以，令，
所以，
即得，当且仅当取最小值24；
所以m的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点.
6．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，，对应的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若为边中点，，求的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出.
（2）利用余弦定理及基本不等式求出，再由，将两边平方，根据数量积的运算律求出的最大值；
（3）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理，
所以，即，
若，等式不成立，则，可得，
因为，所以.
（2）
由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为为边中点，所以，
所以
，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
（3）.
又，
所以.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以即，则.
令，则
因为，解得，当且仅当时等号成立.
所以.则.
令，则在上递减，
当即时，有最大值，此时有最小值.
题型03 权方和不等式
【解题规律·提分快招】
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立.
【典例训练】
一、填空题
1．已知正实数、且满足，求的最小值 .
【答案】
【分析】设，，，由权方和不等式计算可得.
【详解】设，，，
由权方和不等式，可知，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
2．（2024高三·全国·专题练习）的最小值为 .
【答案】/
【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值.
【详解】
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解.
【详解】，
，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值为.
故答案为：
一、单选题
1．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由得，运用柯西不等式有，进而得解.
【详解】解：实数x、y满足，
，
，
，
当且仅当时取等号，
的最小值是.
故选：A.
【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.
2．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
3．已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意得，则，进而由柯西不等式可得最大值.
【详解】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，当即时，取等号.
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在得出之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.
二、多选题
4．设非负实数，，满足，则的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】AC
【详解】利用柯西不等式可取最值.
【分析】由柯西不等式可知：
，
故即，
当且仅当时，取到最大值．
的最小值为，证明如下．
根据题意，，
于是，解得，
于是当时，取得最小值．
故选：AC
5．（24-25高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果.
【详解】由得：，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号），
即当时，，
，解得：，可能的取值为.
故选：BCD.
三、填空题
6．已知正实数、且满足，求的最小值 .
【答案】
【分析】设，，，由权方和不等式计算可得.
【详解】设，，，
由权方和不等式，可知，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当时取等号
故答案为：60
8．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
==，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
9．（23-24高三下·全国·强基计划）已知，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据柯西不等式可得，即可得，根据不等式性质结合两点间距离公式可得，即可得结果.
【详解】因为，
则，且，可得，
当且仅当，，时，等号成立；
又因为，则，
可得．
且，
设点和标准单位圆面内点，则，
又因为，可得，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：所求的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
10．（23-24高三下·山东·期中）在中，对应的边分别为.
(1)求；
(2)奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式 柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值；
（2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
因为，所以，
故，又，所以；
（2）①设，由，得，
从而，即；
②.
又，
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）
【点睛】关键点点睛：本题关键是仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解.
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