专题04 构造函数的应用
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题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等） 1
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原） 5
题型03 构造函数求参数的最值（范围） 9
题型04 构造函数证明不等式 13
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【常见同构形式】 （1）乘积模型： （2）商式模型： （3）和差模型：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得.
【详解】记，则，
可知在上单调递增，则，即，
可得；
又因为，则，即；
所以.
故选：B.
2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式变形为，构造函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系即可求解.
【详解】由已知，即.
设，则，.
，，.
当时，，
在上单调递增，所以.
故选：B.
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先通过数值放缩判断与及与的大小关系，然后构造函数，
利用导数研究函数的单调性，借助函数单调性判断与的大小关系.
【详解】因为，所以；
因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；
构造函数，则，
令，则，
显然在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
从而，故有，整理得，
所以，故．
故选：B
5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可．
【详解】令，求导得，，，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以，
所以，设，则，
记，则，记，
则，所以在上单调递增，
故时，，即，
所以在上单调递增，故时，，
即，所以在上单调递增，
故时，，即，所以，
又，所以，即，所以．
故选：A
6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对分别取对数并作商，再构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
【详解】由，得，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此；
令，求导得，当时，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
一、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型11.（1） （2）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设，则，故单调递增.
又，故可转化为，即，
由单调递增可得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：.
2．（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故选：B.
3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解.
【详解】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.
故选：D.
4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
故在上单调递减，
不等式可变形为
，
即，
所以且，解得.
故选：A
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，结合题意得，所以在上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
，即，
又，则，
所以，即，
所以，解得.
故选：.
题型03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】由条件得，构造函数，利用导数求出的最小值，从而得出答案.
【详解】，
当且仅当时，等号成立.
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
∴当且仅当时，取得最小值，且最小值为.
故选：A.
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】利用同构可得，再结合导数讨论新函数的单调性后可得的最小值.
【详解】因为，故，
而为上的增函数，故即，故，
设，则，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故，
故选：B.
3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知，若函数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】由函数，等价于即在R上恒成立，由可得，再分析函数的单调性，即可求出的最小值.
【详解】函数，等价于，
即在R上恒成立，
即，.则，
令，对其求导得，
当在上单调递减，当在单调递增，
所以
故选：B
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得在上单调递增，由此脱去不等式中，分离参数构造函数，利用导数求出最值即可得解.
【详解】由函数为偶函数，且在单调递减，得在上单调递增，
当时，，
令，，求导得，在上单调递增，
则，因此；令，，，
函数在上单调递减，则，因此，
所以的取值范围是.
故选：C
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可.
【详解】∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，
∴的最小值为，
故选：B.
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】变形得到，令，则，根据的单调性得到，分和两种情况，参变分离得到，构造，求导得到其单调性，求出最小值为，得到.
【详解】，
令，则，
因为在R上单调递增，所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由得到，其中，
令，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，
综上，.
故选：B
【点睛】关键点点睛：同构构造，从而令，得到，根据的单调性得到，再进行下一步求解.
7．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.
【详解】因为，由，得到，即，
令，则，因为，所以在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，
所以，可得，即在区间上恒成立，
令，则，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得到，
故选D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，构造函数，利用的单调性，将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.
题型04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，直接证明即可；对于B，使用导数工具证明即可；对于C，用导数说明不等式不成立即可；对于D，使用导数工具证明即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，设，则对有，
所以在上递增，从而对有，即，故B正确；
对于C，设，则，
由于对，显然的导函数，
故在上单调递增.
从而对有，所以在上单调递增，
所以，即，故C错误；
对于D，设，则对有，
所以在上单调递增，从而，故D正确.
故选：C.
2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.
【详解】对于A选项：令，，
，令 ，令，则，
即时，，单调递减，单调递减，
即时，，单调递增，单调递增，
有最小值，
所以在单调递增，故，
所以即，故A选项错误；
对于B选项：由A可知：，
要证，即需要证明：，即，
即，，
令，
，令
，令，则，
即时，，单调递减，单调递减，
即时，，单调递增，单调递增，
所以有最小值，
所以在单调递增，故，
所以成立，故B选项正确；
对于C选项：由得，
因为，所以，
所以，故C选项错误，
对于D选项：令，因为，
所以在上单调递增，所以，
所以存在使得，即，
故D选项错误；
故选：B.
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值．
(2)当时，证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线斜率，求的值；
（2）首先将所证明不等式两边取对数，变形为，再构造不等式，利用导数判断函数的单调性，即可证明.
【详解】（1），则．
因为曲线在点处的切线斜率为2，
所以，即．
（2）当时，，要证，即证，
两边同时取对数得，即证
令，
则．
所以在上单调递减，所以，
所以．
4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可；
（2）两个方法，方法一，先将放大到，然后利用导数证明即可；方法二，直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明即可.
【详解】（1）解，
令
得时，，当时，，
故单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
要证明，则只需证明，
令，
，
，
，当且仅当时，上式等号成立，
当时，在区间上单调递减，
，即，
当时，得证.
【方法二】证明：令，
，
，
，当且仅当时，上式等号成立，
，
又当时，在区间上单调递减，
，
当时，得证.
5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数单调转化为导数不小于0恒成立，分离参数后利用导数求最值即可；
（2）求函数导数，经过多次求导可知导函数存在隐零点，即可分析导数的正负求函数最小值，得到，再构造函数利用导数求的最小值得证 .
【详解】（1），由题得在上恒成立，
.
设，则.
设，则，
显然，当时，单调递增，当时，单调递减，
在处取得最小值，
，即在上单调递增，即
，经验证适合题意，
故实数的取值范围是.
（2）当时，，
.
令.
设，则，
，即在上单调递增.
又由，
在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，即，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，，
设，
恒成立，
在上单调递增，
.
【点睛】关键点点睛：复杂的导数问题就在于需要多次求导，不断变换研究对象，通过逐层研究得到所需要结论，这个过程需要思路清晰，过程严谨，求导及相关正负，单调性分析熟练，才能解决对应问题.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用参数作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得结论成立.
【详解】直接换元构造新函数 ，即，设，，则，
则，，可得，，
由于
构造函数，，
因为，所以在上单调递增，
故，即，
所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于x的方程有两个不等的实数根，，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.
（2）利用同构可得原方程即为有两个不同的实数根，结合构造法可证成立.
【详解】（1）由得，
，其中，
若，则在上恒成立，故在上为减函数，
故无最值；
若，当时，；
当时，．
故在上为增函数，在上为减函数，
故，无最小值．
综上：当，在上单调递减，无最值；
当，在上为增函数，在上为减函数，，无最小值．
（2）方程，即，
故．
因为为上的增函数，所以，
所以关于x的方程有两个不等的实数根，
即有两个不同的实数根．
所以，所以．
不妨设，故，
要证，即证，
即证，即证，即证．
设，则，
令，
故，所以在上为增函数，故，
所以在上为增函数，
所以，故成立．
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，再结合函数的奇偶性和特殊点的函数值，可解不等式.
【详解】令，则．
因为当时，，所以，
所以在上单调递增．
因为为奇函数，所以为奇函数．
因为，所以，所以，即，
所以，所以．
故选：D
【点睛】关键点点睛：在选择题中，解决此类与不等式有关的问题，构造合适的函数，是解决问题的关键.本题注意到有，即，所以根据导数的运算法则，可构造商的函数，之后的问题就好分析了.
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】分析可知，结合的单调性可得，，构建，利用导数求其单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为，则，
由题意可得：，
整理可得，即，
又因为在内单调递减，则在内单调递减，
可得，则，
构建，可得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以的最小值为.
故选：B.
3．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化已知条件，配凑为，构造函数，根据，以及在单调递增，求得，再构造函数，利用导数研究其最小值，即可求得的最小值，以及的最小值.
【详解】因为，故可得，且，故，
又，则；
若，则，，而，显然不成立，故，即；
令，则，故在单调递增；
则由，可得，又，故，
也即，解得，令，则，
时，时，
故在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，最小值，
也即，当且仅当时取得等号；故，当且仅当时取得等号，故的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考察导数中的同构问题，处理本题的关键是能够根据已知条件，配凑出，再构造函数，从而进一步求得更加明确的关系，进而求的最小值.
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意得函数在上单调递增,因为,所以,得,求解即可.
【详解】由得
则当时,得,
，
则当时,,得函数在上单调递增,
因为,所以,
由于是偶函数,则,
而函数在上单调递增,得,
得,
得,
故选：C.
5．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，利用导数研究的零点，易知的零点也是的零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造出函数，利用导数研究其最小值即可得.
【详解】当时，不等式恒成立，
设，，则，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，时，时，
故在上有两个零点，记为，
显然或时，时，
要使恒成立，则，也是的两个零点，
故，，
又，所以，所以，所以，
令，则，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数研究零点，得到的零点也是的零点，即可结合韦达定理得到，再构造相应函数，借助导数研究其最小值即可得解.
6．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化和，设，根据导数求出的单调性，比较和的大小，转化和，设，求出，令，利用导数求出的单调性，利用导数求出的单调性，比较和的大小.
【详解】，
设，则，
当时，在上单调递增，
，即，
，又，
设，
则，
令，
则，
在上单调递减，
当时，，
在上单调递减，
，，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数和进行大小比较.
二、多选题
7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性一一判定选项即可.
【详解】令，所以，
显然时，，即此时单调递减，
当时，，即此时单调递增，
则，且时，可作出函数大致图象如下：
因为，则，此时，由于不确定的关系，
由的单调性与图象可知的大小不确定，则A、B都有可能正确；
显然，所以，
，则C错误，D正确.
故选：ABD
8．（23-24高二下·河南·期中）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D.
【详解】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，时，，时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想.
三、填空题
9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知是R上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数得到的单调性，再将问题转化为，从而得解．
【详解】由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故答案为：．
10．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先通过对数运算得到，然后构造函数分析出的关系式，由此可将化简为关于的函数，借助的单调性可求出的最小值.
【详解】因为，所以，则，
于是，，所以，
构造函数，且，当时，，所以在上单调递增，
所以，于是，
又，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，故，当且仅当，即（舍去）时取到最小值，
所以，
故答案为：．
11．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得对任意恒成立，且，令函数，则对任意恒成立，对求导分析单调性，可得对任意恒成立，由可得出的范围.
【详解】由题意可得对任意恒成立，且.
令函数，则对任意恒成立.
，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
且当时，，当时，，
所以，即对任意恒成立.
因为，所以.
故答案为：.
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性.
（2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
13．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数的最小值，得到最小值大于或等于0即可.
（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.
（3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值.
【详解】（1）设，
则，
由，得；由，得.
所以函数在上递减，在上递增.
所以，所以恒成立.
即恒成立.
（2）由（1）得，（当时取“”）
所以.
设，
则，
由；由，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以（当时取“”）
因为，中，“”成立的条件不一致，
所以.
（3）由题意可知，，
即，
函数是增函数+增函数，所以单调递增，
所以，即，所以，
，
设，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程两边同构成，根据函数的单调性得到等式，这是解题的关键.
14．（2024·天津·二模）已知，
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程；
（2）利用导数，分类讨论函数的单调性；
（3）由极大值，求出的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式.
【详解】（1）当时，，则，
又，则切线的斜率，
所求切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，
．
①当时， ，在上单调递增．
②当时，
时，，函数在上单调递增；
时，，函数在上单调递减．
③当时，
时，，函数在上单调递增；
时，，函数在上单调递减．
综上可得，
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，当时，存在极大值，且极大值为，
则，即，
整理得，从而，设，则．
令，所以，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
而，所以的根为， 从而．
因此，即证成立，
也就是证，即证，
也就是证，设，即证．
设，
当时，，在上单调递减；
当时， ，在上单调递增．
，即恒成立，
恒成立．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若函数，且，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造，利用导数求函数的单调性与最值，则可判断与的大小关系；
（2）先求得， 再证，则可得，所以有，即，得证.
【详解】（1）解：设函数，
可得，
当时，，则在区间上单调递增，
所以，所以，所以.
（2）证明：设函数，
当时，，则恒成立，
则由，得，
又，所以，
因为，可得，
令，可得，
所以单调递增，即在区间上单调递增，
所以，
所以在区间上单调递增，
又，所以，同理得，
要证，
只需证，即证.
因为，所以，
设函数，则，
所以在区间上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，
所以，即.
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 构造函数的应用
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题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等） 1
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原） 2
题型03 构造函数求参数的最值（范围） 4
题型04 构造函数证明不等式 5
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【常见同构形式】 （1）乘积模型： （2）商式模型： （3）和差模型：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（ ）.
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
一、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型11.（1） （2）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知，若函数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值．
(2)当时，证明：，．
4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，证明：.
5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于x的方程有两个不等的实数根，，求证：．
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数，，若存在正数，，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二下·河南·期中）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题
9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知是R上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为 ．
10．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ．
11．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为 .
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
13．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)若，求的最大值．
14．（2024·天津·二模）已知，
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：．
15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若函数，且，证明：.
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