专题09 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
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题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 3
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 5
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 8
题型05 三角函数图像与性质的综合应用 10
题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【解题规律·提分快招】
1、的单调性 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 .
9．（23-24高三上·安徽·开学考试）写出函数，的一个单调递增区间为 .
10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为 ．
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
【解题规律·提分快招】
1、的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3、函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（ ）
A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为
3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数 ，其中正确的是 （ ）
A． 的最小正周期为 ；
B． 的图象关于直线 对称；
C． 的图象关于点 对称；
D． 在区间上单调递增.
4．（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数有下列结论：
①最小正周期为；
②点为图象的一个对称中心；
③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是；
④若的导函数为，则函数的最大值为.
则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③④
6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
7．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3 B．9 C．3或9 D．
10．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．在上单调递减 B．是图象的一个对称中心
C．是的一个对称轴 D．的值域为
二、填空题
11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ．
12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若是偶函数，则实数的值为 .
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 .
14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的值域为，则 ．
15．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 .
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【解题规律·提分快招】
1、的平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．（24-25高三上·吉林·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山东淄博·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
9．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．
D．函数的图象的对称轴方程为
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【解题规律·提分快招】
1、根据图像求解析式一般步骤 ①根据最高最低点求出A ②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分 ③通过带最高或最低点算出φ
【典例训练】
一、多选题
1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上有两个极值点 D．点是曲线的一个对称中心
2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递增区间为
3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
4．（24-25高三上·河南·期中）函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（ ）
A． B．
C．的图象关于轴对称 D．在上的最小值为
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时，
6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴方程为
C．函数在区间上有2024个零点
D．函数与的图象关于点对称
题型05 三角函数图像与性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·广东·模拟预测）已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上恰有2024个零点
二、多选题
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，其中相邻的两个极值点的距离为，且经过点，则（ ）
A．
B．
C．时，的值域为
D．时，与的交点数为个
三、填空题
5．（2024·北京西城·二模）已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； .
6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为
（2）当且仅当时，该函数取得最大值
（3）该函数是以为最小正周期的周期函数
（4）当且仅当时，.
上述命题中正确的序号是 .
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，为了得到（为的导函数）的图象，则只需要将函数图象上的点（ ）
A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的
D．向左平移个单位长度，纵坐标不变
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数的图像与轴的两个相邻交点的距离是，若将的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（ ）
①函数的最小正周期是；
②函数的图象关于直线对称；
③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；
④当时，
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A． B．
C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
二、多选题
13．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．在上单调递增 D．关于直线对称
14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数与，下列说法正确的是（ ）
A．将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象
B．与的图象存在相同的对称中心
C．与在区间上单调性相同
D．当时，与的图象有且仅有个交点
15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为
D．
16．（2024·全国·模拟预测）已知，若，使得，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．在上恰有4个零点，则
D．当时，函数的值域为
三、填空题
18．（24-25高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ．
19．（24-25高三上·河北承德·期中）已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为 ．
20．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ．
21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为 .
22．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则的值是 .
23．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用
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题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 7
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 18
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 24
题型05 三角函数图像与性质的综合应用 32
题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性
【解题规律·提分快招】
1、的单调性 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
则函数的单调递增区间为，，
故选：C
2．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.
【详解】因为函数的周期为，
所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB，
当时，，
因为在上单调递增，故C正确，D错误.
故选：C
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象，如图所示，
可得函数在区间上单调递减.
故选：C.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据辅助角公式化简，结合单调性与周期的关系可得，进而可得，由整体法求解函数的单调增区间，对进行取值，即可求解.
【详解】，周期，
因为函数在上单调递增，则解得，
此时，
则.
函数的单调递增区间满足，即，
当时，，不符合，舍去，
当时，，此时，解得.
当时，，不符合题意舍去，
综上可知最大值为
故选：C
5．（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，，根据的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数的概念可得.
【详解】函数的定义域为，因为，
故是偶函数；
当时，，此时，
对于，令，得，
令，得，
又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误；
当时，，
由②可知，在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，最小值为，
当时，，，
令，得，
令，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，最小值为，
故，，，故③正确；
由③可知，
又，
故④正确；
故选 ：C
二、填空题
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ．
【答案】（开区间，半开半闭区间也正确）
【分析】根据正弦函数的性质结合条件即得.
【详解】依题意，因为函数在上单调递减，
令，解得，
所以的单调递减区间是．
故答案为：．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是
【答案】和
【分析】，求得在的单调递增区间即可.
【详解】，
故的单调递增区间即为的减区间，
由，得，
又，所以或，
所以函数在的单调递减区间是和.
故答案为：和.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果.
【详解】因为，所以，
易知
当时，，
当时，，
可得函数的值域为.
故答案为：
9．（23-24高三上·安徽·开学考试）写出函数，的一个单调递增区间为 .
【答案】，或，等
【分析】根据函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间公式得出结果.
【详解】因为，所以为偶函数，
由，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由对称性可知在上单调递增.
故答案为：，或，等.
10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得.
【详解】
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性
【解题规律·提分快招】
1、的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3、函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对A，其最小正周期为，故A错误；
对B，设，且，解得，
其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确；
对C，其最小正周期为，故C错误；
对D，设 ，定义域为，关于原点对称，
则，则其为偶函数，故D错误.
故选：B.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（ ）
A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数化简为，即可判断奇偶性和周期性.
【详解】因，
故为奇函数，且最小正周期为.
故选：A.
3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数 ，其中正确的是 （ ）
A． 的最小正周期为 ；
B． 的图象关于直线 对称；
C． 的图象关于点 对称；
D． 在区间上单调递增.
【答案】D
【分析】根据三角函数万能恒等变换化简，然后结合三角函数图象的性质逐项判断.
【详解】根据三角函数万能变换公式，,
选项A：的最小正周期为 ；
选项B：令 所以 的图象关于点 对称；
选项C：令所以的图象关于直线 对称；
选项D：，根据正弦函数的图象性质，在区间上单调递增.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A；分别取，，结合函数符号排除CD.
【详解】由题意可知：的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当时，，所以，排除D；
当时，，所以，排除C．
故选：B．
5．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数有下列结论：
①最小正周期为；
②点为图象的一个对称中心；
③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是；
④若的导函数为，则函数的最大值为.
则上述结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的性质判断①，②，③，然后求导，利用辅助角公式判断④即可.
【详解】由题可知最小正周期为,故①正确；
根据正弦型函数的性质可知，的对称中心横坐标满足，
显然，故②不正确；
因为，所以，
由复合函数的单调性可知，当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，有最大值为1
，
所以要使在区间上有两个实数根
则，故③错误;
由题得，
所以
其中，所以的最大值为，故④正确.
故选：C
6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出，根据最值求出，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.
【详解】，其中，
因为函数的最小正周期为，
所以，解得，
因为函数的最大值为，
所以，解得（舍去），
所以，
因为，
所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误；
因为，
所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误.
故选：C.
7．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得.
【详解】由可得，
则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标.
对于函数，其最小正周期为，
当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,
当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.
类似可得函数在区间上的图象变化情况.
如图分别作出和在上的图象如下.
由图可知，两函数在上的图象关于直线对称，
故两者的交点与也关于直线对称，
故
即函数的所有零点的和为
故选：C.
8．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解.
【详解】，其中，且，
则有，解得，即，
则，即，
画出与图象如图所示：
由图可知，曲线与的交点个数为.
故选：B.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（ ）
A．3 B．9 C．3或9 D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为或9，分类讨论验证单调性即可得结论.
【详解】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此．
由知的图象关于直线对称，则①．
由知的图象关于点对称，则②．
②①得，令，则，
结合可得或9．
当时，代入①得，又，所以，
此时，因为，故在上单调递增，符合题意；
当时，代入①得，，又，所以，
此时，因为，
故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去．
综上，的值为3．
故选：A.
10．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．在上单调递减 B．是图象的一个对称中心
C．是的一个对称轴 D．的值域为
【答案】D
【分析】先根据最小正周期为，求出，确定的解析式，画出函数图象，判断函数的奇偶性，对称性，求出一个周期内函数值的范围，然后对选项中的结论逐一分析即可得结论.
【详解】函数的最小正周期为，所以，
从而
即，其图象如图所示，
由图象知先减后增，故A错误；
，
不是的一个对称中心，，故B错误；
，
不是的一条对称轴，因此答案C错误；
时，此时，
因为是偶函数，所以时，
又因为函数的最小正周期为，所以的值域为，D正确.
故选：D.
二、填空题
11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ．
【答案】（答案不唯一，符合均为正确答案）
【分析】求出，求出即可求出对称轴方程.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，所以，所以，
令，所以，
所以.
故答案为：.
12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若是偶函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由函数是偶函数，则，代入计算并验证即可求出.
【详解】函数是偶函数，则,
,
化简可得.
当时，则
所以，则，
所以函数是偶函数，则.
故答案为：
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 .
【答案】/
【分析】由得，令，则，有两个不同的解，易得关于对称，所以，即得，由可得答案.
【详解】由，得，
则在上有两个不同的解.
当时，，
令，则，有两个不同的解.
易得关于对称，
所以，即，
所以，即，所以，
所以
.
故答案为：.
14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的值域为，则 ．
【答案】2
【分析】令，由的奇偶性，得到，进而得到，即求得的值.
【详解】令，的定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数，，
，，即.
故答案为：2.
15．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 .
【答案】 0 16
【分析】代入计算可得第一空，利用图象的对称性可求所有实数解的和.
【详解】，
而，
，故的对称中心为，
在平面直角坐标系中，画出和在上的图像，
由图象可得的图象在上共有4个不同的交点，
它们的横坐标的和为，
故答案为：0；16
题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【解题规律·提分快招】
1、的平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换规律可得函数的解析式，进而可得函数值.
【详解】函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
得到函数，
再把所有点的横坐标变为原来的后得到函数，
所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数．
【详解】，
所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，
故选：D．
3．（24-25高三上·吉林·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，即，整体法求出函数的值域.
【详解】，
图象向左平移个单位长度，得到，
上，，
则在上的值域为.
故选：C.
4．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据函数的性质求的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
函数的图象关于直线对称，
所以，得,
所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为.
故选：A
5．（24-25高三上·山东·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依次由各选择支函数根据平移变换求出的解析式，再代值验证对称性可知.
【详解】对于选项A，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，故图象不关于点中心对称，故A错；
对于选项B，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，故图象不关于点中心对称，故B错；
对于选项C，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，可知图象关于点中心对称，故C正确；
对于选项D，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，
故图象不关于点中心对称，故D错.
故选：C.
6．（24-25高三上·山东淄博·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据图像变换可得，构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析零点.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得，
再将的图象向左平移个单位长度，
可得，即，
令，则对任意恒成立，
可知函数在上单调递增，且，
所以函数的零点的个数为1.
故选：B.
7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解.
【详解】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有，
则，又，则，
则，
当时，，
由函数在区间上单调递增，则有，
则有，解得，
则当时，，又，故.
故选：B.
二、多选题
8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项．
【详解】函数
．
选项A：，故最大值为2，A正确；
选项B：时，不单调递增，故B错误；
选项C：时，，可知当以及时，
即以及时，在上有2个零点，故C正确；
选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误.
故选：AC．
9．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．
D．函数的图象的对称轴方程为
【答案】ACD
【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解．
【详解】对于A，由已知得，
由，得为偶函数，故A正确；
对于B，C，可得，故C正确；
对于D，令，，可得，故D正确.
故选：ACD.
题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【解题规律·提分快招】
1、根据图像求解析式一般步骤 ①根据最高最低点求出A ②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分 ③通过带最高或最低点算出φ
【典例训练】
一、多选题
1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上有两个极值点 D．点是曲线的一个对称中心
【答案】BC
【分析】利用余弦函数的性质，结合图象求得可判断A，利用整体法，结合余弦函数的性质可判断BC，利用代入检验法可判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为经过点，
所以，即，
又的图象在点附近呈递增状，
则，即，所以，故A错误；
对于B，由选项A可得，
由，得，
而在上单调递增，故在上单调递增，故B正确；
对于C，由，得，
而在上单调递增，在上单调递减，
所以在有两个极值点，则在上有两个极值点，故C正确；
对于D，因为，
所以点不是曲线的对称中心，故D错误.
故选：BC.
2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】先利用图象求出的解析式，然后利用三角恒等变形公式化简，对于A选项，直接求周期；对于B选项，令求对称轴；对于C选项，求出的范围，再利用余弦求范围；对于D选项，令可求单调递增区间.
【详解】对于函数，
由图可知，函数的最小正周期为，则，
所以，
又，所以，
解得，又，所以，则，
所以
，
对于A选项，的最小正周期为，A 正确；
对于B选项，对于，令，解得，
函数的对称轴方程为，B错误；
对于C选项，当时，，所以，
即在上的值域为，C正确；
对于D选项，令，
解得，
即的单调递增区间为，D正确.
故选：ACD.
3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
【答案】BD
【分析】根据图象结合周期性和最值求，即可判断AB；可得、的解析式，
直接代入运算判断对称性，即可判断CD.
【详解】设的最小正周期为，
则，即，
且，则，解得，故B正确；
则，
因为，可得，
又因为，则，
可得，解得，故A错误；
所以，
对于选项C：因为，
所以的图象关于点对称，故C错误；
对于选项D：令，
因为（为最小值），所以的图象关于直线对称，故D正确；
故选：BD.
4．（24-25高三上·河南·期中）函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（ ）
A． B．
C．的图象关于轴对称 D．在上的最小值为
【答案】ABD
【分析】由图象可得的周期，由周期与的关系求，由，结合求，结合函数图象变换及正弦型函数的对称性判断C，求的范围，结合余弦函数的性质判断函数的单调性，由此求其最小值，判断D.
【详解】A：由题意得的周期为，又，
所以，故 A 正确；
B：因为，所以，又
所以，又，观察图象可得，
所以，故B正确；
C：由B知，
所以，
所以 的图象不关于轴对称，故C错误；
D：由 ，得，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时，
【答案】ABD
【分析】A选项，由图象可得，从而求出；B选项，由计算出，解得；C选项，求出，根据得到C错误；D选项，得到，数形结合得到，解得，D正确.
【详解】A选项，由图象可知和为相邻的两个最大值点和最小值点，
设的最小正周期为，则，故，
又，故，A正确；
B选项，因为，所以，
因为，所以，解得，B正确；
C选项，，
故，
由于，故，
显然不为奇函数，C错误；
D选项，时，，
在上恰有4个零点，故，
解得，D正确.
故选：ABD
6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴方程为
C．函数在区间上有2024个零点
D．函数与的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】首先根据图象求得，即可得，再结合正余弦函数的性质依次判断各项的正误.
【详解】由图象知，设的最小正周期为，则，解得，
由图得，又，所以，故，
从而；
A，，正确；
B，由，得，
所以函数图象的对称轴方程为，错误；
C，由，得，故，即，，
故在区间上有零点2025个，错误；
D，若函数与的图象关于点对称，则恒成立，
即，又，，
则，应用和差化积公式可得，
故，得，
所以函数与的图象关于成中心对称，正确．
故选：AD
【点睛】关键点点睛：对于D，假设存在，整理得，进而找到满足要求的点为关键.
题型05 三角函数图像与性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】整理，其中，由图中最值可得，利用对称轴和相邻零点的距离求得，根据顶点求得，进而可得，即可求解.
【详解】，其中，
令，设其周期为，结合题中的图可知①，，则，
所以，把点的坐标代入，
得，则，
所以，则②，
由①②及，，得.
故选：A.
2．（2024·广东·模拟预测）已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.
【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为，可得，又，可得，
由函数经过点，则，即，
又，可得，所以，
因为函数的最小正周期为，
所以函数的最小正周期为，
所以在函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，
故选：A.
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．直线是曲线的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上恰有2024个零点
【答案】C
【分析】对于A，用周期性定义验证即可；对于B,用对称性定义验证即可；对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.结合换元和二次函数，正弦函数最值问题求解即可；对于D,先研究函数在上的零点个数，再用周期性拓广即可.
【详解】对于A,因为与不恒相等，所以不是的周期，故A错误；
对于B,又与不恒相等，故B错误；
对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.
①当时，，令，
则，易知在区间上的最大值为，最小值为，
②当时，,令，
则，知在区间上的最大值为，最小值为，
综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确；
对于D,先研究函数在上的零点个数，由C可知,当时，令得，
又因为，在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点.
同理可得当时函数也只有唯一零点.所以函数在上恰有2025个零点.故D错误.
故选:C.
二、多选题
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，其中相邻的两个极值点的距离为，且经过点，则（ ）
A．
B．
C．时，的值域为
D．时，与的交点数为个
【答案】AB
【分析】选项A，根据极值点的距离可得，可求出，即可判断选项A的正误；选项B，利用函数过点，代入解析式得，结合及特殊角的三角函数值，可得，即可判断选项B的正误；选项C，由选项A和B，可得函数解析式，再根据自变量范围可得，即可判断选项C的正误，选项D，作出函数和图像，数形可得交点个数，即可示解.
【详解】对于选项A，由已知相邻两个极值点的距离为，可得，
又，解得，所以选项A正确；
对于选项B，由函数经过点，得到，即，
又，可得，所以选项B正确；
对于选项C，由选项A和B知，，当时，，
则，所以，所以选项C错误；
对于选项D，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
所以在上，函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，
如图所示，由图可知，两函数图象有个交点，所以选项D错误；
故选：AB.
三、填空题
5．（2024·北京西城·二模）已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； .
【答案】 2
【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得.
【详解】设，，
由得：，，
又，，解得.
此时的小正周期，
，在区间上单调递减，
和分别为单调递减区间的起点和终点，
当时，，
，，
又，，
综上所述：，.
故答案为：2，.
6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为
（2）当且仅当时，该函数取得最大值
（3）该函数是以为最小正周期的周期函数
（4）当且仅当时，.
上述命题中正确的序号是 .
【答案】（4）
【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断即可.
【详解】因为，
对于（3），当时，，
当时，，所以函数为周期函数，
作出函数的图象（图中实线）如下图所示：
结合图形可知，函数的最小正周期为，（3）错；
对于（1），由图可知，函数的值域为，（1）错；
对于（2），由图可知，当且仅当或时，
函数取得最大值1，（2）错；
对于（4），由图可知，当且仅当时，，（4）对.
故答案为：（4）.
一、单选题
1．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换得，利用正弦函数的单调性逐项判断即可.
【详解】
对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减，
因此函数在区间上不单调，AB错误；
对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减，
因此在区间上单调递减，C错误，D正确.
故选：D
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】先利用最小正周期求出的值，再根据正弦函数的图象和性质求解最小值即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
当时，，
由正弦函数的图象和性质可知当即时，取最小值，
故的最小值为.
故选：C
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，为了得到（为的导函数）的图象，则只需要将函数图象上的点（ ）
A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的
D．向左平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】B
【分析】由导数求出的解析式，并化为“”型函数，然后由图象变换得结论．
【详解】，则
所以将函数图象上的点向左平移个单位长度，纵坐标不变可得的图象.
故选：B．
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心.
【详解】因为为偶函数，
所以，又，所以，
所以，
由，解得，
所以的对称中心为.
故选：B.
5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】B
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可.
【详解】对于A，由图可知，，函数的最小正周期，
故A正确；
由，，知，
因为，所以，所以，，
即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，
所以，故B不正确；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象，
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：B.
6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可.
【详解】因为函数为奇函数，即，
且函数的定义域为，所以，，
可得，解得，
所以，，
则为奇函数，合乎题意.
因此，.
故选：A.
7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据直线方程，结合两点斜率公式，求出，得到最小正周期，求出，再将代入，求出，得到解析式，再代值计算即可.
【详解】连接，与轴交于点，由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.设，由，得，所以的最小正周期满足，解得，即，解得，
所以.
因为点是图象的一个最高点，所以，结合，解得，
所以，所以.
故选：D.
8．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数定义域是
C．函数最大值 D．函数的最小正周期为
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项.
【详解】设，由可得，
所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数不是偶函数，A错B错；
当时，则
，
当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对；
因为，
结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错.
故选：C.
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数的图像与轴的两个相邻交点的距离是，若将的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，结合函数的周期求出，即可求出解析式，再根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】因为，
又函数的图象与轴的两个相邻交点的距离是，
所以，解得，所以，
将的图象向左平移个单位长度得到，
将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，
即.
故选：A
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得表达式，先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围.
【详解】由函数的部分图象可知，，
因为，所以，
又，所以，解得，
由可得，所以，
将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，令，由，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
因为关于的方程在上有两个不等实根，
即与的图像在上有两个交点，
即与在上有两个交点，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
11．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（ ）
①函数的最小正周期是；
②函数的图象关于直线对称；
③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；
④当时，
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】由图象知：，解得，故①错误；
所以，解得.
将代入得，
所以，即，
又因为，所以，.
当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故②正确；
把函数图像上的点横坐标缩短为原来的，
得到，故③正确；
当时，，
，，故④错误.
所以说法正确的是②③.
故选：C.
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A． B．
C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
【答案】D
【分析】根据周期性求出，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质判断即可.
【详解】依题意，又，所以，解得，
所以，
又函数过点，所以，所以，
又，所以，
所以，故A、B错误；
又，所以不是的对称轴，故C错误；
，所以是图象的一个对称中心，故D正确.
故选：D
二、多选题
13．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为 B．
C．在上单调递增 D．关于直线对称
【答案】BCD
【分析】利用三角函数图象的变换先得的解析式，利用三角函数的性质一一判定选项即可.
【详解】易知，
显然的最小正周期为，故A错误；
而，故B正确；
当时，，显然此时单调递增，故C正确；
当时，，此时取得最大值，即关于直线对称，故D正确.
故选：BCD.
14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数与，下列说法正确的是（ ）
A．将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象
B．与的图象存在相同的对称中心
C．与在区间上单调性相同
D．当时，与的图象有且仅有个交点
【答案】ACD
【分析】根据三角函数图像平移，正弦函数的对称中心和单调性，以及化简求值，即可逐个选项判断.
【详解】对于A，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，
再将向左平移个单位，得的图象，A正确；
对于B，的图象对称中心的横坐标满足，
又的图象对称中心横坐标满足，，
解得，两个方程无公共解，
所以两个函数图象不存在相同的对称中心，选项B错误；
对于C，令，则，
则与在区间上均单调递增，故选项C正确；
对于D，令，得或，
解得或，
所以时，零点有，共有个，选项D正确.
故选：ACD
15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为
D．
【答案】ABD
【分析】A由图象可确定，即可判断选项正误；BD验证是否满足选项描述即可判断选项正误；C解方程，验证相邻根的差值即可判断选项正误.
【详解】由图可得，，
，因，取，
对于A，，故A正确；
对于B，，
则，
，
即，故B正确；
对于C，令
或，得或，其中，
分别取，得相邻的三个根为，
则相邻根的差值即的图象与直线的相邻两交点间的距离为或，故C错误；
对于D，，
，
则，故D正确.
故选：ABD
16．（2024·全国·模拟预测）已知，若，使得，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由辅助角公式可得，后由图象可得范围，即可得答案.
【详解】，
因为，使得，所以，
令，作出函数在上的图象，如图所示：
①当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为，
此时取得最小值，，所以；
②当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为，
此时取得最大值，.
则，故只有BC选项满足条件.
故选：BC．
17．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．在上恰有4个零点，则
D．当时，函数的值域为
【答案】ABC
【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令，可得，以为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得，结合正切函数分析求解.
【详解】对于选项A：因为，
由图象可知：函数的最小正周期，
且，则，解得，可得，故A正确；
对于选项B：由图可知：当时，函数取到最大值，
则，
整理可得，解得，
则，
所有为偶函数，故B正确；
对于选项C：令，可得，
因为，则，
若在上有4个零点，
则，解得，故C正确；
对于选项D：因为，
又因为，则，可得，
所以函数的值域为，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
18．（24-25高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【详解】，
要求的单调递增区间，即求的单调递减区间，
令，解得，
令，又，故函数的单调递增区间为．
故答案为：.
19．（24-25高三上·河北承德·期中）已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为 ．
【答案】
【分析】根据辅助角公式可得，即可根据对称求解，进而根据求解.
【详解】，，
令，则，
得，所以，
所以，
令，则，得，由可得．
故答案为：．
20．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ．
【答案】
【分析】先根据条件确定函数周期，进而确定的值，再求对应的函数值.
【详解】因为，
又因为在区间上恰有两个极值点，且，
所以的最小正周期，即，
所以．
故答案为：
21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换求出，进而结合诱导公式和辅助角公式可得，进而即可求得最大值.
【详解】将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，
此时函数解析式为，
再向左平移个单位长度，得，
则
，
所以的最大值为.
故答案为：.
22．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则的值是 .
【答案】
【分析】根据三角恒等变换的化简可得（其中），根据三角函数图象的对称性建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】因为
（其中），
且函数图象关于直线对称，
所以，
整理得，解得.
故答案为：
23．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为 .
【答案】6
【详解】由函数相邻两条对称轴之间的距离为，得，故.
又因为，即，
所以或，所以或，
因为，所以，
故，
因为，故，结合正弦函数的图象可知，
函数在上的零点个数为6.
故答案为：6.
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