专题12 直线与圆中的最值和范围问题
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题型01 与对称有关的三点共线最值问题 1
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题 5
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题 9
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题 14
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题 21
题型01 与对称有关的三点共线最值问题
【解题规律·提分快招】
1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值.
【详解】设点关于直线l的对称点为，
则有，解之得，则，
则的最小值为
故选：B
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将变形为，再根据其几何意义数形结合转化为直线上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之间距离最短可求最小值.
【详解】设点为直线上的动点，
由，
则其几何意义为与的距离和与的距离之和，
设点，
则点关于直线的对称点为点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】求得点关于直线的对称点坐标为，根据对称性可得，再结合圆的性质求最小值.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设点关于直线的对称点坐标为，
则，解得，
即对称点，则，
因为反射光线与圆交于点，则，
当且仅当三点共线且点为靠近的交点时等号成立，
又因为，所以光线从点A到点经过的最短路线长为．
故选：C．
4．（24-25高三上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值．
【详解】由可知圆心为，半径，
由题意，
所以当时，取最小值，
由点到直线的距离公式可得，
此时，
过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，
由于与关于直线对称，，与关于直线对称，
因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，
所以的最小值为.
故选：C
5．（2024·湖南益阳·三模）已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性求出圆的方程，设，求出的最小值，即可求出的最小值.
【详解】圆圆心为，半径，设，
则由对称性可知：，解得，则，
所以圆，
设，则，
所以当，即时，，
所以的最小值是.
故选：A
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】首先求点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求的最大值.
【详解】设，，
由，得，，
因为点在圆上，即，
则，
所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，
因为，，所以点在圆外，
所以的最大值为.
故选：C
2．（2024·广东茂名·二模）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可分析出点P在：，问题转化为两圆上两动点距离的取值范围即可得解.
【详解】由原点到直线：的距离为，
可知直线是：的切线，又动直线始终没有经过点，所以点在该圆内，
因为点为：上的动点，且，，
∴，又，
即的取值范围为，
故选：D
3．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值.
【详解】由题设，令，则，
所以，则，即，
又，即在圆外，，即在圆外，
由，当且仅当共线上等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
4．（23-24高三下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，，直线恒过点.
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
5．（24-25高三上·广东·期中）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出圆、圆的圆心和半径，根据题目圆幂定义可得可得根轴为直线，取关于对称的点，当，，三点共线时，取得最大值.
【详解】由题知，圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径.
设点为圆与圆的根轴上的任意一点，
则，
所以，
整理得，即圆与圆的根轴为直线.
取关于对称的点，则.因为，所以在上，
所以当，，三点共线时，取得最大值.
因为到的距离为，到的距离为，
所以，即的最大值为.
故选：A.
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值.
【详解】由得：，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，
当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切；
设过点的圆的切线为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
，则的最大值为.
故选：C.
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知且．则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将的最小值转化为线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小，根据最短路径问题求解.
【详解】
设原点关于直线的对称点为，过点向轴做垂线，垂足为，
与直线交于点，由的几何意义可知，
该式表示线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小，
由平面几何知识可知，该点取点的时候，最小，
最小值为，即点的纵坐标，
由点与原点关于直线对称可知，
所以的最小值为.
故选：C
3．（24-25高三上·四川南充·期中）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（ ）
A．圆的半径为2 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为5
【答案】B
【分析】对于A：将圆化为标准方程，即可圆心和半径；对于B：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解；对于C：设，可得，结合圆的性质求最值；对于D：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解.
【详解】对于A：，
因此该圆的圆心为，半径为，故A错误；
对于B：因为点是圆：上的动点，
设，可知直线与圆有公共点，
则，解得，
因此的最大值为，故B正确；
对于C：因为，设，
则，
由圆的性质可知：的最小值为，
所以的最小值为，故C错误；
对于D： 令，
可知直线与圆有公共点，则，解得，
所以的最大值为6，故D错误；
故选：B.
4．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出中点M的轨迹方程为圆，所求式子可转化为M到直线的距离，利用圆的性质即可得出最大值.
【详解】如图，
圆，圆心为点，设线段的中点为，
得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
即为可看作点到直线的距离，
同理，可看作点到直线的距离，
因此可看作点到直线的距离，
于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确．
故选：D
5．（24-25高三上·吉林·期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解.
【详解】可看成点到点的距离的平方，
点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，
问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小.
注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称，
观察图象知点P到直线的距离最短，，
最短距离为，所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题.
二、填空题
6．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案.
【详解】
相当于动点到的距离之和，
因为四边形为矩形，所以，
所以当为矩形对角线交点时，，
此时最小，最小为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小.
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直线过定点，在圆内，连接，当和垂直时，最小，由垂径定理得到答案.
【详解】，
令，解得，
故直线过定点，
又，故在圆内，
，故圆心，半径为4，
连接，当和垂直时，最小，
其中，
由垂径定理得.
故选：C
2．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得圆的标准方程为，
设圆心为，半径为，则，，
,所以由垂径定理可得，
故点在以为圆心，为半径的圆上，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为，
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先得到直线恒过定点，且定点在圆内部，然后由圆心到直线的距离最大时，弦长最小，为0时，弦长最大求解.
【详解】解：由题可得，圆，圆心，半径．
因为直线，即，
令的系数为0，即，解得，即直线恒过定点．
因为，所以定点在圆内部，
设圆心到直线的距离为，则弦长．
当时，弦长最大，即过点的最长弦长为圆的直径；
当最大时，（提示：当最大时，为圆心与弦的中点连线的长度），
此时弦长最小，最小值为．
综上，线段的长度的取值范围为．
故选：C．
4．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与圆，过动点分别作圆 圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆的性质结合已知条件得动点的轨迹为一条直线，进而求出圆的圆心到直线距离即可求解所求距离的最小值.
【详解】由题，，
因为，则，即，
化简得，即动点在直线上，
圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以到圆距离的最小值是.
故选：A.
5．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程.
【详解】由题意可知，.
故四边形的面积.
由圆得①，
圆心，半径，即.
要使四边形面积最小，即最小，
又，即求的最小值.
当直线与垂直时，最小.
直线的斜率，则方程为即.
联立得，即
.
中点，则四边形外接圆为②，
直线方程为①-②，即.
故选：C.
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期中）已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设知，.设为的中点，所以.求出点的轨迹方程.设点到直线的距离分别为，求出，得到.求出点到直线的距离，得出的范围即可解决.
【详解】由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以.
设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为.
其轨迹是以为圆心，半径为的圆.
设点到直线的距离分别为，
所以，
所以.
因为点到直线的距离为，
所以，即，
所以.所以的取值范围为.
故选：A.
7．（24-25高三上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果.
【详解】圆的圆心，半径为，
如图所示： ，
当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小，
，
所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离，
此时，
.
故选：B
8．（2025高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，设，则，利用两点间距离公式，求出的最大值即可求解.
【详解】
设圆的圆心为，半径为，则，半径，，
因为，所以只需最大，
设点是椭圆上任意一点，则，即，
所以，
当时，有最大值，所以，
所以的最小值为，即的最小值为.
故选：B.
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题
【解题规律·提分快招】
圆的标准方程，圆心为，半径为，
它对应的圆的参数方程：.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点在圆上，则的最大值是( )
A． B．10 C． D．
【答案】D
【分析】把圆化为标准方程，令，，利用两角和的正弦公式化简的解析式，再利用正弦函数的最值求得的最大值．
【详解】点在圆上，即点在圆上，
令，，则，
故的最大值为﹒
故选：D．
2．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程写出点的参数方程坐标，分别计算，再合并即得，最后利用余弦函数的值域即可求得其范围.
【详解】依题意，设点，
则
故
，
因，故易得.
故选：A.
3．（23-24高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得.
【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，
则以AB为直径的半圆为，
因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，即的取值范围为.
故选：B
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·期中）已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，求解即可.
【详解】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而，
所以，又圆的半径为2，
故圆上的点到直线的距离的最大值为．
故选：B.
2．（24-25高三上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.
【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，
易知，显然.
当且仅当重合时取得等号.
故选：C
3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论．
【详解】直线l方程变形为，
由得，即直线l过定点，
圆心为，半径为，
定点到圆心距离为，即定点在圆内部，
所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，
最短弦长为
故选：
4．（23-24高三上·海南海口·期中）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】D
【分析】依题意可得，即可得到点在圆上，又点到直线的距离，利用圆心到直线的距离求出的最小值，即可得解.
【详解】因为，所以，
所以点在圆上，圆心为，半径，
则点到直线的距离，
则，
要求的最小值，即求的最小值的平方，
又到直线的距离，
所以，所以
则的最小值为.
故选：D
5．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用直线与圆的位置关系先确定的最大时，P的位置，根据点到线的距离公式计算即可.
【详解】由圆，可知其圆心，半径为r，
由切线的性质易知，则取最大时，最小，即，
所以，
又的最大值为，所以此时，则的值为.
故选：D
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出，要使弦的最大值则，代入求解即可.
【详解】圆心到直线的距离为，
，
令线段中，则，即，
令线段中，则，即，
所以线段的两端点为，，
而，，
要使弦的最大值则，所以.
故选：B.
7．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解
【详解】
表示动点到定点和的距离之和，
因为点在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
故，
当且仅当三点共线时取等，
故的最小值为
故选：C
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解.
【详解】如图所示，连接，可得，且垂足为
要使得取得最小值，
即，
又由，
，
显然，当最小时，同时取得最小值，
所以，当时，且，
所以.
故选：B.
9．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．的最大值为3
【答案】A
【分析】判断以为直径的圆与直线线的位置关系即可判断A是否正确；求出满足的点的轨迹方程，在判断与直线关系是否有公共点即可；求出点关于直线的对称点为，利用三角形不等式可求出的最小值；利用三角形不等式即可判断.
【详解】对于A：构造以为直径的圆，其方程为.
因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以在直线不存在点，使得，故A错误;
对于B：设，由可得，
，
化简得，即，
所以圆心为，半径为，
可判断圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交
所以存在点，使得，故B正确；
对于C项：设关于直线的对称点为，
由可解得，即，
则，
所以，故C正确；
对于D项：当点与不共线时
当点与共线时，
此时点，故D正确.
故选:A.
10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.
【详解】由已知在以为直径的圆上，
所以，
又在圆上，
所以为圆的两条切线，
故
所以四边形面积，
圆的圆心坐标为，半径为，
所以，
所以，
而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为，
且点到直线的距离，
所以四边形面积的最小值为.
故选：B.
11．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可得，即可根据，根据三点共线即可得三点共线时，且垂直于直线时距离最小，即可根据点到直线的距离公式求解.
【详解】设，则，
令，则且，
所以，得对任意成立，
则，则，
当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，即点M到直线的距离，等于．
故选：A
12．（23-24高三下·河南开封·阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案.
【详解】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】B
【分析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．
【详解】因为，、，在圆上，，
因为，则是等腰直角三角形，
表示、到直线的距离之和的倍，
原点到直线的距离为，如图所示：
，，是的中点，作于，
且，，，
，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，
又，故的最大值为
的最大值为．
故选：B．
14．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图，
而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，
于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”，
显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，，
所以二元函数的最小值为7.
故选：C
二、填空题
15．（24-25高三上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 .
【答案】/
【分析】由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而直线恒过定点，则点M到直线距离的最大值为：即可求解．
【详解】解：由题意可知，点M的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，
如图所示：
直线，即，
则直线恒过定点，
则点M到直线距离的最大值为：．
故答案为：
16．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知O为坐标原点，直线与直线相交于点P，则的最大值为 ．
【答案】．
【分析】两直线方程联立消去参数得点轨迹方程，轨迹为圆，由到圆心距离加半径得所求最大值．
【详解】由，消去参数得，
所以点在圆上，圆心为，圆半径为1，
，所以，
故答案为：．
17．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】数形结合，点到直线距离的最大值转化为点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】如图，
点到直线的距离为：，
所以点到直线距离的最大值为：.
故答案为：.
18．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知P，Q，R是半径为2的圆C上的点，若，则的取值范围是 ．
【答案】[，]
【分析】用参数法，结合三角函数求值域，即可解决此题.
【详解】不妨设圆的圆心为原点，圆的标准方程为：，
则圆的参数方程为，其中.可设P（2cosθ，2sinθ），如图
根据圆的对称性，可取特殊点Q（1,），由于,则R（,），
所以
，
因为，所以的取值范围是：[，]．
故答案为： [，].
19．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的“曼哈顿距离”为，已知动点在圆上，定点，则两点的“曼哈顿距离”的最大值为 .
【答案】
【分析】设点，根据曼哈顿距离公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】由题意，设点，则两点的曼哈顿距离为，
当且仅当，时等号成立，
所以两点的曼哈顿距离最大值为.
故答案为：.
20．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据，结合对称，可得三点共线时取到最大值.
【详解】,
点分别是圆，圆上的动点，
可知：
所以，，
设关于轴的对称点为，则，
当三点共线时，取最大，最大值为，
所以，
故答案为：7
21．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知圆 是圆上的动点，则的最大值为 ；的最小值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】把变成代入圆方程，利用判别式不小于0求出最值即可，
利用原点到圆心的距离即可求得最小值．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
由得代入圆的方程整理得，
，，
所以的最大值是；
表示点与坐标原点的距离的平方, ，
，所以的最小值是．
故答案为: ;
22．（24-25高三上·江苏常州·期末）动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 .
【答案】
【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解.
【详解】圆的几何性质可知，，
四边形的面积为，，
所以
直线，过定点，直线过定点，
且两直线的系数满足，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为，
所以的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点P的轨迹.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 直线与圆中的最值和范围问题
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题型01 与对称有关的三点共线最值问题 1
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题 2
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题 4
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题 5
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题 6
题型01 与对称有关的三点共线最值问题
【解题规律·提分快招】
1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（24-25高三上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南益阳·三模）已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型02 点与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
2．（2024·广东茂名·二模）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
5．（24-25高三上·广东·期中）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型03 代数式的几何意义最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建福州·期中）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知且．则的最小值（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·四川南充·期中）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（ ）
A．圆的半径为2 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为5
4．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·吉林·期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
题型04 直线与圆的位置关系最值（范围）问题
【解题规律·提分快招】
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与圆，过动点分别作圆 圆的切线（分别为切点），若，则到圆距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期中）已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
8．（2025高三·全国·专题练习）已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型05 利用圆的参数方程解决相关最值、范围问题
【解题规律·提分快招】
圆的标准方程，圆心为，半径为，
它对应的圆的参数方程：.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知点在圆上，则的最大值是( )
A． B．10 C． D．
2．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·江苏徐州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽·期中）已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24高三上·海南海口·期中）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
5．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．的最小值为
D．的最大值为3
10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·河南开封·阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
14．（23-24高三上·山西运城·阶段练习）设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
15．（24-25高三上·河南洛阳·期末）已知O为坐标原点，点M满足，则点M到直线距离的最大值为 .
16．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知O为坐标原点，直线与直线相交于点P，则的最大值为 ．
17．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知动圆C的半径为，其圆心到点的距离为2，点P为圆C上的一点，则点P到直线距离的最大值为 ．
18．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知P，Q，R是半径为2的圆C上的点，若，则的取值范围是 ．
19．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的“曼哈顿距离”为，已知动点在圆上，定点，则两点的“曼哈顿距离”的最大值为 .
20．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为 .
21．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知圆 是圆上的动点，则的最大值为 ；的最小值为 ．
22．（24-25高三上·江苏常州·期末）动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 .
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