专题03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 抽象函数的定义域 1
题型02 抽象函数求值 3
题型03 抽象函数的解析式 6
题型04 抽象函数的单调性 10
题型05 抽象函数的奇偶性 15
题型01 抽象函数的定义域
【解题规律·提分快招】
抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抽象函数的定义域列不等式即可得解．
【详解】函数的定义域为，
所以,
解不等式得,
即函数的定义域为，
故选：D
2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数的定义域为，得，则，
即的定义域为，在函数中，由，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选：A
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域是，
所以函数的定义域是，
令，所以，
所以函数的定义域是.
故选：.
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，解得，
则函数的定义域为.
故选：B.
5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到，然后解不等式即可.
【详解】中，令，则，
所以中，
解得或.
故选：D.
题型02 抽象函数求值
【解题规律·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】利用赋值法即可求解.
【详解】令，则，解得，
令，则，故，
故选：D
2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】当，时，，所以；
令得，所以；
，，
，…，
.
故选：C.
3．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（ ）
A．1014 B．1012 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，由此计算得解.
【详解】依题意，对于，取，得，而，
因此，所以.
故选：B
4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别对、赋值，结合已知条件分别求出、、的值，即可得解.
【详解】令可得，即，解得，
令，可得，则，
令，可得，则，
令，可得，可得，
因此，.
故选：C.
5．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助赋值法令可得，即可得，再借助赋值法计算可得函数周期，利用所得周期计算即可得解.
【详解】因为，
所以当时，，又，所以．
又由，可得，
所以，
，
故函数是以4为周期的函数，所以．
故选：C．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得.
【详解】，，
令，得，又，，
，
再令，，，
.
故选：B
题型03 抽象函数的解析式
【解题规律·提分快招】
抽象函数的模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【余弦函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 【正切函数模型】 模型：若，则 模型3：若，则
【典例训练】
一、填空题
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可.
【详解】设，由，
代入可得，，解得，
.
故答案为：.（答案不唯一只要正确即可）
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
【答案】14
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
3．（23-24高三上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 .
【答案】 (答案不唯一)
【详解】取，
则，满足题意.
故答案为：(答案不唯一)
4．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
①，，；
②，且，.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求.
【详解】令,则,满足条件①；
，且，,满足条件②；
故答案为：（答案不唯一）
5．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ．
【答案】
【分析】通过令代入即可求解
【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立，
令，得，即．
故答案为：
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的单调性，结合及常见的函数特点即可得结果.
【详解】因为对任意，都有，即函数在内单调递减，
由于，即可取，
故答案为：（答案不唯一）.
7．（23-24高三上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.
【详解】令，则，
又，
所以，即，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
8．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由为奇函数可得的图象关于点中心对称，结合偶函数的性质可构造符合题意.
【详解】由为偶函数，知的图象关于轴对称；
由为奇函数，知的图象关于点中心对称，
据此构造函数，则是偶函数；
为奇函数，符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
题型04 抽象函数的单调性
【解题规律·提分快招】
抽象函数的性质 1.周期性：；； ；（为常数）； 2.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
【典例训练】
1．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性求出，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可；
【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数，
则，即②，
由①②可得，
因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，
由，可得，解得.
因此，不等式的解集是.
故选：A.
2．（湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由偶函数性质得出函数在上单调性，再由偶函数性质变形不等式，然后由单调性化简后求解．
【详解】函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，则在上单调递减，
化为，即，解得或，
故选：D．
3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.
【详解】令，则，且定义域为，
所以为奇函数，
因为函数在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
所以原不等式可转化为，
即，
由单调性可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题的关键.
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案.
【详解】在R上的奇函数在上单调递减，则在上单调递减，且，
，当时，，当时，，
由，得或或，
解得或或，因此或，
所以满足的的取值范围是.
故选：D
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围.
【详解】令，则，
由，可得，
即，.
因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数，
故，即.
因为，所以，即实数的取值范围是.
故选：B
6．（24-25高三上·甘肃天水·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题设条件可得以及，从而可得和，根据时，都有可得，从而可求的值后可得的值.
【详解】函数在上为非减函数，
①，③，
令，得；令，得.
又②.
令，得.
令，得；
令，得.
当时，都有，
.
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：抽象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据不等关系求确定的值，一般用“夹逼”的方法（如）.
7．（24-25高三上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，若且时，恒成立，，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得x的取值范围.
【详解】设，由，
得，所以，
令，则，
所以函数在上单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以对任意的，，
所以，函数为上的偶函数，且，
由，可得，即，
即，所以，即，解得.
故选：A
【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.
题型05 抽象函数的奇偶性
【典例训练】
1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断．
【详解】在中，
令，则，又，所以，
令得，所以，
所以是偶函数，
故选：B．
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为，
所以令，可得，
令，则，
所以，
则既不是奇函数又不是偶函数，
且，
所以是奇函数.
故选：C
3．（18-19高三·全国·课后作业）已知对任意x，，都有，且，那么 （ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
【答案】D
【分析】令，结合可求得的值，再令即可判断的奇偶性.
【详解】令，有，
因为，所以，
再令，得：，
所以，又，
所以是偶函数.
故选：.
【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键.
4．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性.
【详解】对于A， 令，则，得，
所以或，
当时，不恒成立，所以，所以A错误，
对于B，令，则，得，
所以，或，
由选项A可知，所以，所以B错误，
对于CD，令，则，由选项A可知，
所以，所以，
令，则，
所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，
故选：D
5．（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数满足，且，则（ ）
A． B．
C．不可能是奇函数 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】利用赋值法和举例法即可逐个选项进行判断.
【详解】对于A，取，得，
所以，A正确；
对于B，取，得，又，
所以，令，得，B正确；
对于C，若满足，C错误；
对于D，取（表示不超过的最大整数），则，
从而有，
当时，，D错误．
故选：AB
6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
【答案】C
【分析】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误；
B选项，令，结合定义域可判断选项正误；
C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误；
D选项，由ABC选项可解不等式.
【详解】A选项，在中，令，
得，解得；再令，
得，解得，故A正确；
B选项，令，得，所以，
又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确；
C选项，设，则，所以，
所以，
所以在上是增函数，因为是偶函数，
所以在上是减函数，从而，故C错误；
D选项，因为是偶函数，则，
又在上是增函数，所以，解得，故D正确．
故选：C．
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令，则，故，A选项错误；
令，则，故，B选项错误；
令，则，故为偶函数，C选项正确；
因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，原不等式可转化为，根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.
【详解】令，则，
所以不等式可化为，
即，因为是奇函数且在上单调递增，
所以，则，
所以在上恒成立，则，
即实数的取值范围是.
故选：A
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
【答案】C
【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.
【详解】因为，，
取，可得，又，所以；A对；
取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；
取，可得，又， ；
所以，D对；
故选：C.
4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造新函数，根据定义法确定函数的单调性，再由性质法判断奇偶性，结合奇偶性与单调性解抽象不等式.
【详解】由已知，，当时，都有，
设函数，
则，且，
所以，
即在上单调递减，
又函数是上奇函数，则是上的偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以即为，
所以，解得且.
故选：B.
5．（24-25高三上·河南驻马店·期末）设函数，则使成立的的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可.
【详解】因为函数定义域是，
，所以函数为偶函数.
当时，由复合函数的单调性可知单调递增.
由偶函数性质可知，函数在上单调递减.
所以等价于，
进而等价于，即，
所以，解之可得或.
故选：B.
6．（23-24高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
【答案】C
【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；
对于B，由，令，有，故B正确.
故选：C
7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由单调性的定义证明在上为减函数，记，求导利用函数的单调性求解即可.
【详解】任取，，且，设，，
由，得，
即，所以，
所以在上为减函数，
记，则，
记，所以，
所以在上单调递增且，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
所以恒成立，所以，即.
故选：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件结合单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性判断函数值的大小.
8．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数
【答案】C
【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.
【详解】令，则，
所以，因为当时，，
所以，
令，所以，
即，解得：，故A错误；
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则，即
令代换，则，即，
所以，令代换，所以，故B错误；
由将代入，
可得，化简可得，
所以为奇函数，故C正确；
令，则，解得：，，故D错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令，得到，令代换，得到，两式化简即可得出答案.
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】由，利用赋值法求解.
【详解】解：依题意，且，
令，得，故A选项正确.
令，则，，
即，故B选项正确
由于，故C选项错误.
令，得，
即，即，
所以为奇函数，故D选项正确.
故选：ABD
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．在上单调递增
【答案】ABD
【分析】分别赋值可判断AB，令可判断C，利用定义判断单调性，再由奇偶性判断D.
【详解】令，再令，得（1），
即，所以，故B正确；
令，得，
由（1）得，故A正确；
令，
即，故C不正确；
设，则，
则由的分析及题意可得，
即在上单调递减，又是偶函数，
在上单调递增，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：解抽象函数问题通常通过巧妙赋值解决，即采用赋值法解决.
11．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ）
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数为增函数
【答案】AC
【分析】利用赋值法可判断A；令，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用代换x，可判断D.
【详解】对于A，令，则，结合，
可得，
令，则，即，
而，故，A正确；
对于C，令，则，
即，该函数为奇函数，C正确；
对于B，结合C的分析，令，则，B错误；
对于D，由于，用代换x，可得，
该函数为减函数，D错误，
故选：AC
12．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
【答案】ACD
【分析】用赋值法，在已知等式中，令求得，判断A，直接令得，即，用反证法判断B，令，求得，再令，判断C，令求得，代入选项D中不等式，然后结合奇函数的性质与单调性可判断D．
【详解】在中，
令得：，又，∴，故A正确；
令得，∴，即，
若，则，与时，矛盾，故B错误；
令，得，即，又，∴，
再令得，即，∴是奇函数，C正确；
令得，即，
不等式即为，即，
时，，，单调递增，即，
又时，，，
对任意的，或，
∴恒成立，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，属于难题．解题方法是赋值法，即在抽象函数满足的等式中，对变量赋值，遵循“要什么赋值什么”的原则，一步步地赋值求得结论．
13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．是奇函数
C．是偶函数 D．
【答案】ABD
【分析】利用赋值法求得一些特殊点的值，然后利用函数奇偶性和周期性的定义判断A,B,C即可;然后利用函数的概念和性质计算选项D即可.
【详解】令，得，
令，得，故为奇函数，所以 选项B正确，选项C错误；
令，得
令，得
所以选项A正确；
令，得
所以
令，得
因为，
所以，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：赋值法常用的赋值有，两个变量相等，其中一个变量为0或1.也需要根据题意分析得到，比如这个题中的和.
三、填空题
14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
【答案】
【分析】利用赋值法可得函数解析式.
【详解】中，令，得；
令得，故，
则．
故答案为：．
15．（22-23高三上·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
【答案】（答案不唯一，符合条件即可）
【分析】由条件对，，可推测在上可能为对数函数，再由确定其解析式.
【详解】因为对，，；
所以在上可能为对数函数，
故满足条件①，又，
所以，
故符合上述条件的函数可能为：，
故答案为：（答案不唯一）.
16．（22-23高三上·河南开封·阶段练习）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由（1）（2）可设,由可求，从而可求解.
【详解】由（1）（2）可设,
由，
可得，
化简可得.
故的解析式可为.
取可得满足条件的一个.
故答案为:.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 抽象函数的定义域 1
题型02 抽象函数求值 2
题型03 抽象函数的解析式 3
题型04 抽象函数的单调性 5
题型05 抽象函数的奇偶性 7
题型01 抽象函数的定义域
【解题规律·提分快招】
抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）．
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型02 抽象函数求值
【解题规律·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（ ）
A．1014 B．1012 C．2024 D．2025
4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型03 抽象函数的解析式
【解题规律·提分快招】
抽象函数的模型 【反比例函数模型】 反比例函数：，则， 【一次函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则为奇函数； 模型3：若则； 模型4：若则； 【指数函数模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则； 模型3：若，则； 模型4：若，则； 【对数函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 模型3：若，则 模型4：若，则 模型5：若，则 【幂函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 代入则可化简为幂函数； 【余弦函数模型】 模型1：若，则 模型2：若，则 【正切函数模型】 模型：若，则 模型3：若，则
【典例训练】
一、填空题
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
3．（23-24高三上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 .
4．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
①，，；
②，且，.
5．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 .
7．（23-24高三上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
8．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 .
题型04 抽象函数的单调性
【解题规律·提分快招】
抽象函数的性质 1.周期性：；； ；（为常数）； 2.对称性： 对称轴：或者 关于对称； 对称中心：或者 关于对称； 3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期 4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
【典例训练】
1．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·甘肃天水·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，若且时，恒成立，，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型05 抽象函数的奇偶性
【典例训练】
1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
3．已知对任意x，，都有，且，那么 （ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
4．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
5．（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数满足，且，则（ ）
A． B．
C．不可能是奇函数 D．在上单调递增
6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C．为奇函数 D．
4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河南驻马店·期末）设函数，则使成立的的范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为上的减函数 D．为奇函数
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．在上单调递增
11．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ）
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数为增函数
12．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．是奇函数
C．是偶函数 D．
三、填空题
14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
15．（22-23高三上·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
16．（22-23高三上·河南开封·阶段练习）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
