专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用
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题型01 函数的单调性及其应用 1
题型02 奇偶性及其应用 6
题型03 周期性及其应用 14
题型04 对称性及其应用 21
题型05 原函数与导函数的双函数型 27
题型06 函数性质的综合应用 35
题型01 函数的单调性及其应用
【解题规律·提分快招】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在上单调递增比较和的大小，根据和的大小比较和的大小，根据在上单调递减比较与的大小，根据与的大小比较和的大小.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，
又，所以，又因为函数在上单调递减，
所以，因为，
所以，综上，.
故选：C.
2．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可.
【详解】解：因为当时，单调递增；
当时，单调递增；
又因为单调递增，且，
所以，
解得.
故选：C.
3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.
【详解】由或.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又函数在上单调递增，所以.
即的取值范围为：.
故选：D
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间上单调递减.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性和单调性，将函数值不等式转换为自变量不等式，解得的取值范围.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，
则等价于，即，
即，解得，
即原不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由函数奇偶性的概念及函数解析式直接判断单调性，即可求解.
【详解】对A函数为奇函数.且当时，单调递增；
根据奇函数的性质，在上也单调递增，在上为增函数，故A正确；
对B函数的定义域为函数为非奇非偶函数，故B错误；
对C函数不是奇函数，故C错误；
对D为奇函数，
且均随的增大而增大，即在上为增函数，故D正确.
故选：AD
6．（24-25高三上·四川眉山·期中）若函数，则满足的的取值范围可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用得为上的奇函数，求导可得恒成立，为上的增函数，利用奇函数的性质把不等式等价变形，结合函数的单调性可解不等式.
【详解】∵，定义域为，
∴，
∴为上的奇函数.
∵，当且仅当，即时，等号成立.
∵时，，
∴恒成立，即为上的增函数.
由得，
∴，解得或，即的取值范围为.
故选：BD.
三、填空题
7．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得.
【详解】当时，因，为减函数，故；
当时，因，为减函数，故.
依题意，该函数存在最小值，需使，解得.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（2024高三·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则 ．
【答案】3
【分析】先应用常数分离化简解析式，再结合正弦函数及指数函数的单调性得出函数单调性进而确定函数最值计算求解.
【详解】，
因为，所以是增函数，
所以是增函数，所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以．
故答案为：3.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】.
【分析】根据题意当，，则可转化为，可求得参数的取值范围.
【详解】因为，，
依题意，，即，得.
所以所求实数的取值范围为.
故答案为：.
10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，若对，都有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分情况结合图像可求得结果.
【详解】当时，，
若，则是开口向上，顶点为的抛物线，
若，则在上单调递增，当趋于时，趋于，
，
此时对，不成立；
当时，，
若，则，
若，则在上单调递增，
，
此时对，不成立；
当时，，
若，则是开口向下，顶点为的抛物线，
若，则在上单调递增，
，
此时对，成立；
综上的取值范围是，
故答案为：.
题型02 奇偶性及其应用
【解题规律·提分快招】
奇偶函数的性质 （1）偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 对称区间的单调性相反； （2）奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 对称区间的单调性相同； 奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如下所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象分别判断的奇偶性，零点以及特殊值，排除即可.
【详解】因为，所以四个选项中的定义域为，
对于A，由图知，的部分图象关于y轴对称，所以是偶函数，
而，所以是奇函数，故A错误；
对于B，由图知，的图象与轴有四个交点，所以至少有四个零点，
令，得，所以只有两个零点，故B错误；
对于D，由图知，，而中，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到，，再根据函数的单调性即可判断.
【详解】为偶函数，，
，，
，定义在上的函数在内为减函数，
，即，
故选：B．
3．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由奇偶性可知关于对称，且在上单调递增，利用对称性以及单调性对选项逐一判断可得结论.
【详解】根据题意由是偶函数可得关于对称，
又任意的，，都有成立，可得在上单调递增；
由
所以可得，即，可得A错误；
又，即，即B错误；
同理，即，可得C错误；
，即，可得D正确.
故选：D
4．（24-25高三上·宁夏·期中）奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质，先推出上的单调性，分别解，即可.
【详解】根据奇函数的性质，奇函数在上单调递减，则在上仍然递减.
当时，，在上单调递减，故，则；
当时，注意到，于是，在单调递减，故，则.
综上，.
故选：D
5．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式可判断为奇函数，再由函数值的符号可得结论.
【详解】易知函数的定义域为，
根据
，
可得为奇函数，图象应关于原点成中心对称，可排除AD，
根据函数可得，
当时，此时，
故选：B.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据函数与的奇偶性，可推导出函数的周期，利用周期得，，再由为奇函数即可得解.
【详解】由题意得.
又因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，
所以，即的周期为4.
所以.
又因为，所以.
故选：C.
二、多选题
7．（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数，若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性得出参数得，再分类讨论结合三角函数为偶函数计算得出参数.
【详解】由题意知为奇函数，
则，得或，
经验证，不符合题意；
则，要使为奇函数
时，的解析式为“奇偶”的结构，则为偶函数，
所以，可得，所以，
当时，，当时，，
所以AC满足题意，验证得BD不满足题意．
故选：AC．
8．（24-25高三上·江苏南通·期中）设为上的增函数，满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】选项A，根据条件，通过赋值，即可求解；选项B，由，得到，进而得到，而又由可得，得到，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件得，，再利用，得到当时，，再结合的单调性，即可求解；选项D，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，从而有，再结合条件，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，令，得到，
又，令，得到，所以，故选项A正确，
对于选项B，因为，得到，所以，
又，所以，
又由可得，所以，
又的定义域为，定义域关于原点对称，所以为奇函数，故选项B正确，
对于选项C，因为，令，得到，由选项A知，
又由选项B知，且为奇函数，则当时，，
所以当时，不存在，使成立，
当，因为为上的增函数，则（其中表示不超过的最大整数），所以选项C错误，
对于选项D，令，则，由，得到，
所以当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，当且仅当时取等号，
由选项B知，又为上的增函数，
所以，当且仅当时取等号，故选项D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，关键在于结合条件得到当时，，再利用的单调性，当，有（其中表示不超过的最大整数），即可求解；选项D，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系得到，结合条件，得到，即可求解.
9．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数的定义域为的图象关于对称，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出判断A；由点关于的对称点是推理判断C；用换代入，结合C推理判断B；由选项B结合已知可得，再累加计算判断D.
【详解】对于A，由为奇函数，得，则，
由的图象关于对称，，因此，A错误；
对于C，点关于的对称点是，由的图象关于对称，
得点在函数的图象上，，C正确；
对于B，由为奇函数，得，则，
于是，即点在函数的图象上，
则点在函数的图象上，因此，即，B正确；
对于D，由，得，而，
则，因此
，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：抽象函数性质的综合性问题，主要采取代换、迭代的方法研究性质或求值，本题关键在于灵活运用的图象关于对称，以及奇函数的对称性进行灵活代换.
三、填空题
10．（2024高三·全国·专题练习）若为偶函数，则
【答案】1
【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以.
，，
即，解得.
故答案为：1.
11．（24-25高三上·北京·开学考试）写出一个同时具有下列性质的函数 .
①函数是偶函数；
②当时，单调递减.
【答案】
【分析】据性质①可得知函数的对称轴为直线，结合性质②可得一个以直线为对称轴且开口向下的二次函数.
【详解】①函数是偶函数，则图像关于轴对称，故函数对称轴为直线，
②当时，单调递减，
结合这两点性质可得到函数满足对称轴为，以及在区间上单调递减即可，
是开口向下的二次函数，满足以上条件.
故答案为：.
12．（2024高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 ．
【答案】2
【分析】先化简函数，再结合奇函数的性质得出函数值即可.
【详解】，
令，,为奇函数，所以关于对称,
所以关于对称，
所以．
故答案为：2.
题型03 周期性及其应用
【解题规律·提分快招】
周期性技巧
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．10 C．4 D．2
【答案】B
【分析】利用周期性求值即可.
【详解】由，得，
∴函数是周期函数，且4是它的一个周期.
又当时，，
∴，
故选：B.
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.
【详解】由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
3．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ）
A．4 B．2 C． D．0
【答案】D
【分析】由函数是上的奇函数，得到，再由，得到求解.
【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以.
又对任意，都有成立，
令，得，即，
所以，则，
所以，则，
故，
所以.
故选：D
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数为偶函数，且满足，得出周期为2，根据性质计算即可.
【详解】函数为偶函数，且满足，可得，
，即有，
可得的周期为2，当，，可得：
.
故选：C.
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 由已知得出函数图象的对称中心，函数是奇函数，从而得出函数为周期函数，得最小正周期，利用周期性及奇偶性可化简计算函数值．
【详解】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
因为，
故函数的周期为4，则，而，
所以由可得，而，
所以，解得.
故选：D.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据函数与的奇偶性，可推导出函数的周期，利用周期得，，再由为奇函数即可得解.
【详解】由题意得.
又因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，
所以，即的周期为4.
所以.
又因为，所以.
故选：C.
7．（2024·吉林·三模）已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用与的奇偶性推得是周期函数，从而结合题设条件即可得解.
【详解】是偶函数，，
则，从而，
又是奇函数，则，
，进而，
所以是周期为的周期函数，
又当时，，则，
所以.
故选：D.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】首先根据是奇函数，为偶函数，求得是以6为周期的周期函数，然后分别求解 .
【详解】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，
所以，且，
则，即，
所以，即是以6为周期的周期函数.
又，，
所以，
，
，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用条件中的奇偶性进行推理可得周期，结合选项可得答案.
【详解】因为为R上的奇函数，所以；
因为为偶函数，所以，故B正确；
由可得，所以；
因为，其结果不一定为零，故A不正确；
由得，所以，故C正确；
由得，所以周期为4，
所以，因为从题目无法得出，故D不正确；
故选：BC.
10．（24-25高三上·吉林·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．若，则
【答案】ABD
【分析】对A：由是奇函数可得，即可得解；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：由，计算即可得.
【详解】对A：由是奇函数，则，又定义域为，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B：由，则，
故，故周期为，故，故B正确；
对C：，令，有，
故，故C错误；
对D：由，
则
，故D正确.
故选：ABD.
11．（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．当时，
【答案】ABD
【分析】根据题设得，进而有，结合已知区间单调性，即可判断A、B；将自变量代入，结合对数的运算性质求函数值判断C；由得，再由即可判断D.
【详解】对于A：因为是奇函数，所以，且图象关于原点对称，
因为是奇函数，所以，
令，得，以代替得，
再以代替得，正确．
对于B：由知，在上单调性与在上相同，
由题意，在上单调递减，又是上的奇函数，
所以在上单调递减，又函数的图象连续，
所以在上单调递减，则在上单调递减，正确．
对于C：因为，所以，即，
所以
，不正确．
对于D：当时，，
所以，，
所以当时，，正确．
故选：ABD
12．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．关于直线对称 D．当时，
【答案】BCD
【分析】A项特值可得；B项由定义证明；C项证明成立即可；D项由对称性分析当时，是否成立即可.
【详解】A项，，
，
得，所以不是偶函数，故选项A错误；
B项，，
所以是以为周期的周期函数，故选项B正确；
C项，
，
所以关于直线对称，故选项C正确；
D项，由关于直线对称，
只需看当时，是否成立.
当时，，，，
，所以，即；
又因为，
所以，
所以，即，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
题型04 对称性及其应用
【解题规律·提分快招】
1.中心对称结论： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 2.轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称； 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·开学考试）函数的图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，再根据幂函数的性质及函数平移规则得解；
【详解】因为，由向上平移一个单位得到，
又关于对称，所以关于对称；
故选：B
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解.
【详解】由题意，所以的周期为4，
且关于直线对称，
而，
所以.
故选：A.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．8100
【答案】A
【分析】首先得出关于中心对称，然后即可利用这一性质求解.
【详解】，
所以，即关于中心对称，
所以.
故选：A.
4．（24-25高三上·安徽六安·期中）函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据是偶函数可得关于对称，再根据函数单调性求解即可.
【详解】是偶函数可得，即关于对称，.
又在上单调递减，则在上单调递增.
故有或，解得或.
故选：C
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】根据已知得函数的周期为4，再结合函数是奇函数得出，进而计算一个周期函数值和为0，最后计算求值.
【详解】由得，函数的周期为4，
又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即，
因为，令可得
令得：，所以，
故.
故选：A.
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据函数的对称性以及周期性，即可结合选项逐一求解.
【详解】根据可得可得对称，故B错误，
由可得为周期函数，且周期为4，
对于A，无法确定，故A错误，
对于C，．C正确，
对于D，由于关于对称且周期为4，故，
无法确定和的关系，因此无法确定是函数的对称轴，故D错误，
故选：C
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数满足，且的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，即可得到，从而求出、、的值.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，，
又，所以，则，故B错误；
由，所以，所以，
又，所以，则，故D正确；
由于只有，无法得知、的值，故A、C错误.
故选：D
8．（24-25高三上·山东·期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和.
【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4，
因为是上的奇函数，所以，即关于点对称，
于是，，
由，取得，即，
则，因此，取，得，
于是，
因此，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性.
二、多选题
9．（24-25高三上·新疆省直辖县级单位·开学考试）已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．的一个周期为
【答案】ACD
【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】对于A，由定义域为且函数为奇函数，可得，A选项正确；
对于B，由，可得，则函数关于直线对称，B选项错误；
对于C，由以及奇函数性质可知，
可得，即可得，即C选项正确；
对于D，根据C中的结论可知，
即可得，函数的一个周期为，D选项正确；
故选：ACD.
10．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．关于点对称 D．
【答案】ACD
【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定C正确，B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确．
【详解】由对于任意都满足，
令，则，所以A正确；
令，可得，即，
所以函数关于点对称，所以C正确，B错误；
又由为偶函数知关于直线对称，即，
可得，则，所以，
所以函数的周期为，令，则，
可得，
，
所以，所以D正确．
故选：ACD．
11．（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得.
【详解】因为所以所以，
取，由可知，，故A错误；
取，由知，，
所以，故B正确；
令，由知，，即，
又因为，所以，故C错误；
由得，，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，故D正确.
故选：BD
题型05 原函数与导函数的双函数型
【解题规律·提分快招】
原函数与导函数的性质
性质1 若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称
性质2 奇函数的导数为偶函数
性质3 若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称
性质4 偶函数的导数为奇函数
性质5 若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称
偶函数的导数为奇函数
性质6 若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T
性质7 若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点
【典例训练】
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数满足，且，则（ ）
A．的周期为4 B．
C．为函数图象的一条对称轴 D．的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】运用函数关系式，先求出函数周期，然后利用赋值法求值，进而得到对称轴和对称中心求解即可.
【详解】因为定义在上的函数满足，所以，
所以是以8为周期的周期函数，A错误；
因为，当时，，又因为，
所以，所以，，B正确；
因为为偶函数，所以为函数图象的一条对称轴，又因为周期为8，
则为函数图象的一条对称轴，C正确；
因为，所以，所以的图象关于点对称，
又因为的周期为8，所以的图象关于点对称，D正确．
故选：BCD.
2．（24-25高三上·河南·期中）定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C．当时， D．在上单调递减
【答案】ABC
【分析】利用函数的对称性判断A；求出函数的值域判断B；利用偶函数的性质，结合题中条件求得的解析式判断C；举反例判断D.
【详解】对于A，由，得的图象关于点对称，A正确；
对于C，当时，，则，
即当时，，
当时，，则，
因此当时，，C正确；
对于B，由，且为偶函数，得，
即，则，即函数是周期函数，周期为4，
由选项C知，函数在上的最小值为，最大值为1，
因此时，，B正确；
对于D，由B的解析可知，函数在上不单调，D错误.
故选：ABC
3．（2024·湖北·一模）已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为周期函数
B．
C．的图像关于点中心对称
D．
【答案】ACD
【分析】根据表达式化简计算可得，即A正确，因为偶函数在原点处的取值不确定，可判断B错误，由对称中心定义可判断C正确，利用累加法计算可得D正确.
【详解】对于A，由可得，即的周期为2，A正确.
对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误，
对于C，因为为偶函数，所以，
可得，
因此关于点中心对称，即C正确；
对于D，，，
累加可得，所以，即D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求解对称中心问题时，要充分利用定义将表达式化简得出相应结论即可.
4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心为
B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】先应用函数为奇函数代入化简得出对称中心判断A，根据函数为偶函数结合赋值法判断B,特殊值法判断C，赋值法得出函数值判断D.
【详解】对于A，因为为奇函数，所以，
即，所以，
所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B，在中，令，得，得，
因为函数为偶函数，所以，
所以，所以，
令，则，所以，得，所以B正确，
对于C，因为函数的图象关于点对称，，
所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误，
对于D，在中令，则，
令，则，因为，所以，
因为，所以，所以D正确，
故选：ABD．
5．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为4的周期函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】分析函数的性质，确定各选项的正确与否，即可得到答案.
【详解】由可知，函数的图象关于点对称，故A正确；
由为偶函数，所以.
由；
由；
所以，故函数是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，故C错误；
在中，令，得；令得，又，所以；令得：.
又函数是周期为4的周期函数，
所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数基本性质的综合应用，关键是理解奇偶函数的性质的外延，还要掌握一些常见的结论.
6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是R上的减函数 B．不等式的解集为
C．若是奇函数，则 D．的图象关于点对称
【答案】ABC
【分析】A选项，根据在R上单调递增，且恒成立，得到A正确；B选项，先计算出，从而得到，由函数单调性得到不等式，求出解集；C选项，由得到，求出；D选项，根据得到对称中心.
【详解】A选项，在R上单调递增，且恒成立，
故是R上的减函数，A正确；
B选项，，
故，所以，
由A知，是R上的减函数，故，解得，
故等式的解集为，B正确；
C选项，若是奇函数，则，
由B选项知，，故，解得，C正确；
D选项，由B选项知，，故的图象关于点对称，
由于与不一定是同一个点，D错误.
故选：ABC
【点睛】函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2025个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
【答案】BCD
【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
又为奇函数，所以，
即，则函数的图象关于点对称，
则，所以，故C正确；
所以，，
即，所以函数是周期函数，周期为，
，故A错误；
又，所以函数的图象关于点对称，
因此函数与的交点也关于点对称，
则，故D正确，
故选：BCD.
8．（2024高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心
D．方程仅有6个实数解
【答案】CD
【分析】根据奇偶函数的性质，结合函数周期性的定义、对称性的性质，运用数形结合思想逐一判断即可.
【详解】为奇函数，，
即，的图象关于点对称.
为偶函数，，即，
的图象关于直线对称.
由，，得，
，即是周期为8的周期函数.
对于A，，A错误；
对于C，，即，
的图象关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如图所示，
由图象可知，在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，
结合图象可知，与共有6个交点，即有6个实数解，D正确.
故选：CD
【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性判断函数的最小正周期，运用数形结合思想、转化思想进行求解是解题的关键.
9．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】由得到，再结合，确定，进而通过的对称性、周期性逐项判断即可.
【详解】①，
②，
由②可得：③，
①③联立可得：④，
所以的图象关于点对称，A错；
由④，又为偶函数，所以，
所以，两式相减可得：，
又，，结合
所以，B对，
，由，可知：，
所以，所以，C错；
由，可得，结合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正确.
故选：BD
10．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用已知抽象函数关系式和奇偶性定义可推导得到的周期性和对称性，由此可知ABC的正误；根据周期性可求得的值，由此可计算得到D正确.
【详解】对于A，，
，，
，即是周期的周期函数，
，A正确；
对于C，为奇函数，，
即，关于点中心对称，C正确；
对于B，，令，则，
，又，，B错误；
对于D，且关于点中心对称，，
，，
又，，图象关于轴对称，
又关于点中心对称，的图象关于轴对称；
当时，，，，，
，
，
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下：
（1）若，则关于直线成轴对称；
（2）若，则关于成中心对称.
题型06 函数性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知为上的奇函数，为的导函数，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．2025
【答案】C
【分析】的图象既关于点对称，又关于轴对称，那么据此可推断出的周期.
【详解】，求导得，即①，
因为为上的奇函数，则，求导得，
所以是上的偶函数，所以，
结合①式可得，，
所以，两式相减得，
所以是周期为4的周期函数，所以，
由①式，令，得，所以．
故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为的函数满足，的导函数为连续函数，函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用函数的图象关于对称、关于点中心对称可得的周期，根据周期可得答案．
【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称，
且．由，，得，
所以函数的图象关于直线对称．根据图象变换规律，
由的图象关于点中心对称，得的图象关于点中心对称，
又函数为连续函数，所以．
由于的图象既关于直线对称，又关于点对称，则是周期函数，周期为
所以，故．
故选：A
3．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于对称 B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，由，将与作差，利用条件证明其值为即得；
对于B，易得，由赋值即得；
对于C，结合的奇偶性与对称性求出周期，利用计算即得；
对于D，利用函数的周期性与奇偶性推得函数的周期性与奇偶性，利用计算即得.
【详解】对于A，因，则，
由，
因，
故，
则得的图象关于对称，故A正确；
对于B，由A项已得的图象关于对称，则，
由，可得，则，故B正确；
对于C，因为奇函数，故也是奇函数，图象关于对称，
因的图象关于对称，故函数的周期为，
又，则，解得，故C错误；
对于D，因为奇函数，且周期为，则，
由，因，
故，即函数为偶函数；
由，可得，
因的周期为，则，求导得，
即函数的周期为.
于是，，
故得，即D正确.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.
解题思路在于根据选项内容，采用相应策略，如对称轴判断，可考虑构造证其值为0；对于与导函数有关的值的判断，一般需要将原函数求导，并结合原函数的奇偶性和周期性，推导导函数的相应性质并应用解题.
4．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
所以为偶函数，故B错误；
又对两边求导，得，
即，所以是偶函数，故D错误；
由，可得，
由，可得，
所以，即，即得，
所以是周期为4的函数，则，两边求导，得，
所以是奇函数，故A正确；
由，可得，即，
又由，可得，
所以，即为偶函数，所以为偶函数，故C错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对函数对称性及两边求导的应用.
5．（2024·山西吕梁·二模）已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由为奇函数，结合导数运算，由为奇函数，得到，通过整理可得，进而分析得到,,从而得出结果.
【详解】为奇函数，.
即，两边求导得，
则，可知关于直线对称，
又为奇函数，所以，
即，可知关于直线对称，
令，可得，即，
由，可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知为的周期.
可知,,
所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，为的导函数，若函数为奇函数，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．的周期为2 D．
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义得，则函数的图象关于点中心对称，进一步得，则可判断A，C；对两边求导，得，即可判断B，对两边求导，得，则可判断D.
【详解】因为为上的奇函数，所以，即，
所以函数的图象关于点中心对称，即．又函数为定义在上的奇函数，所以，
由题意知，由可知，即，
则有，又，故，故A正确，C错误；
对两边求导，得，即，则的图象关于直线对称，故B正确；
对两边求导，得，则的周期为2，则，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若函数的定义域为，均有，则函数的图象关于点中心对称．
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．的周期为4 D．
【答案】BCD
【分析】根据为奇函数可得关于对称，即可判断A,根据为奇函数，可得关于点判断B，根据求导，结合对称性可的周期性，即可判断CD.
【详解】对于A，由为奇函数可得，
故关于对称，故A错误，
对于B，由于为奇函数，故，故关于点对称，B正确，
对于C，由和可得，
令，故，故，因此，
结合关于对称可得，
故的周期为4，C正确，
对于D，由于，故，
且，由于，令，则，
，故D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：根据以及求导法则可得，结合得，即可得，进而结合函数的对称性可得周期.
8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合函数的对称性、周期性以及利用导数法则求导，通过已知条件找出和的周期性，再利用赋值对选项逐个判断即可.
【详解】由，则①，又②，
①②得③，则④，
则④③可得，即，
故是周期为的函数，则，
由的图象关于直线对称，则⑤，
由③，故可得，
所以，故A正确；
由⑤可得，即，
由③可得，可得，故B错误；
由②可得，又，
则两式相减可得，，
则可得，即，故C正确；
由，则，又，则，
由，则，又，则，
由，则，又，则，则
由，则，
由，则，则，
则，
由，则是周期为的函数，
故，
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数的运算，本题的关键是以题中条件等式为桥梁，寻找的性质.
一、单选题
1．（24-25高三上·青海·期中）已知是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．9 D．25
【答案】A
【分析】由已知可得，可得，可求值.
【详解】由是奇函数，得．
令，得．
所以．
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】由已知得解得.
故选:C.
3．（2025高三·全国·专题练习）函数的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】函数的定义域为，
，故为偶函数，
则其图象关于轴对称，排除A；
又，排除C，D.
故选：B
4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简即可得对称中心.
【详解】因为，
所以函数的图象关于点对称.
故选：C
5．（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.
【详解】由已知，
即，
令，可知，即，
又函数的周期为，
则，
故选：C.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解即得.
【详解】由函数在上单调递增，得或，解得或，
实数的取值范围是.
故选：D
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性判断AB，由，在区间上，，判断C，由奇偶性结合在区间上，，判断D.
【详解】对于A,，其定义域为，有，
则函数为奇函数，不符合题意，故A错误；
对于B，，其定义域为，
有，则函数为奇函数，不符合题意，故B错误；
对于C，，在区间上，，不符合题意，故C错误.
对于D，，则为偶函数，
且在区间上，，符合题意，故D正确.
故选：D.
8．（24-25高三上·北京·期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数定义得，可得的对称轴为直线，结合单调性即可得到结果.
【详解】∵是偶函数，
∴，即，
∴，即，故选项B正确.
由得的对称轴为直线，
由在单调递增得在上单调递减，
∴，，的正负不确定，选项A，C，D错误.
故选：B.
9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数是奇函数可知关于对称，再由函数的平移关系可得出答案.
【详解】因为函数是奇函数，所以关于对称，
函数向右平移一个单位得到函数的图象，
所以函数关于对称，
函数向上平移一个单位得到函数的图象，
所以函数的图象关于对称.
故选：B.
10．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，即，
又关于原点对称，则，有，
所以的周期为4，故.
故选：A
11．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性和对称性求解即可；
【详解】∵函数的图象关于直线对称，则，
又在上单调递减，故在上单调递增，
，，
即
故选：C．
12．（24-25高三上·天津南开·期末）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义即可求解.
【详解】，
则，
则，
故，得，
当时，定义域为关于原点对称，且，满足题意，
故，
故选：B
13．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数，则（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】由已知，得，则，即可求得结果.
【详解】因为函数，所以，
所以，
所以.
故选：C.
14．（2024高三·江苏·专题练习）已知定义在上的偶函数满足．则（ ）
A．4545 B．4552 C．4553 D．4554
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.
【详解】，，
周期，又为偶函数，，，
，，．
故选：D
15．（2024高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数，若是奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2 0192
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可判断函数的周期为4，即可利用周期性求解.
【详解】因为是偶函数，所以，则.
又是奇函数，所以，所以，
所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，所以.
故选：B
16．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．2024
【答案】C
【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值.
【详解】因为，所以两边求导，得，
即①
因为为定义在上的奇函数，则，
所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，
所以，结合①式可得，，
所以，两式相减得，，
所以是周期为4的偶函数，
所以.
由①式，令，得，所以.
故选：C.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的图象关于直线对称可得，函数为奇函数，则，可得，计算可求得.
【详解】因为函数的图象关于直线x＝2对称，则，可得
因为函数为奇函数，则，所以，
所以，故，即，
故f(x)是以4为周期的周期函数．
因为函数为奇函数，则，
故，
其他三个选项由已知条件 不能确定结果是否为0．
故选：A.
18．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D．
【详解】解：对于A，令，
则，
所以为偶函数，即是偶函数，故A正确；
对于B，令，
则，
所以是偶函数，即是偶函数，故B正确；
对于C，取，则在R上单调递减，
则，在R上单调递增，故C错误；
对于D，因为是单调递增函数，
任取，且，
则，
所以，
所以也是单调递增函数，故D正确.
故选：C.
19．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数，设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，则，判断的奇偶性和单调性，结合基本不等式和对数运算和对数函数的性质，利用作商法比较的大小，进而可得大小关系.
【详解】由，令，则，
由，故为偶函数，
当时，在上递增，
，
，
因为，
且，
所以，
所以，
所以,
所以
即.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：令，得出，是解决本题的关键.
20．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设函数是奇函数，函数的图象与的图象有个交点，则这些交点的所有横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A．－10120 B．－5060 C．10120 D．5060
【答案】A
【分析】先利用题意判断出与均关于点对称；然后利用对称性求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
所以，
所以关于点对称；
因为，
所以，因为为奇函数，
所以关于点对称；
因为函数的图象与的图象有个交点，
则这些交点关于点对称，所以每两个对称点纵坐标之和为，
个交点有组对称点，所以这交点得纵坐标之和为；
因为函数的图象与的图象有个交点，
则这些交点关于点对称，所以每两个对称点横坐标之和为，
个交点有组对称点，所以这交点得横坐标之和为；
故这些交点得横纵坐标之和为
故选：A
二、多选题
21．（24-25高三上·广西桂林·期中）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递减
【答案】BCD
【分析】结合函数图象变换，利用奇函数得的图象关于点对称，利用偶函数得的图象关于直线对称，从而有，，，，两者结合可得，这样可计算选项C中的和，再由对称性可判断单调性．
【详解】若是奇函数，即它的图象关于原点对称，
把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得的图象，
因此的图象关于点对称，所以，，
是偶函数，即它的图象关于轴对称，的图象向右平移一个单位得的图象，
因此的图象关于直线对称，从而，，B正确；
所以，即，
，所以，A错；
，C正确；
在上递减，它关于直线对称，则在上递增，
又它的图象关于点对称，则在上递增，
再由它关于直线对称得它在上递减，D正确，
故选：BCD．
22．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．4是的一个周期
C． D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】由，得到，再结合，求得，再通过赋值代换逐项判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
而，故，故，
又为偶函数，所以，即，
所以，故即，
，所以4是的周期，故B正确.
对A，由两边求导得，
令得，解得，A正确：
对C，由上知，所以，
所以C错误；
对D，因为，
故，故的图象关于对称，因为4是的周期，故的图象关于点对称
故选：ABD
23．（2024·四川宜宾·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据与是偶函数，得到关于直线对称，关于对称，可判断C；再对两边同时求导得到关于点对称，进而得到4是的一个周期，可判断B和D；无法确定的值可判断A.
【详解】是偶函数，，即，
函数关于直线对称，
，的值无法确定，故A错误，C正确；
对两边同时求导得，
即，所以，
关于点对称，且，
是偶函数，①，
关于直线对称，，
，②，
由①②得，，
，
，4是函数的一个周期，，故B正确；
，故D正确.
故选：BCD.
24．（2024·广西柳州·一模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
【答案】BCD
【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；举特例可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，因为函数为奇函数，
所以，函数的图象关于点对称，
且函数的定义域为，则，A对；
对于B选项，不妨取，
因为为奇函数，
则函数符合题意，，
所以，为偶函数，
但，B错；
对于C选项，不妨取，则为奇函数，
，为偶函数，合乎题意，
但不是奇函数，C错；
对于D选项，若，则该函数的最小正周期为，
，
所以，，D错.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为.
25．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．关于对称 D．存在，使
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用赋值法变换给定等式可得及，再结合奇函数及等差数列通项求解、复合函数求导求解判断即得.
【详解】函数，均是定义在上的连续函数，①，
②，将②式中换为得③，
①+③得，则的图象关于点中心对称；
将②式中换为得：④，
①-④得：，因此不是奇函数，B错误；
，即，所以关于对称，C正确；
由及为奇函数，得，
即，同时求导可得：，
即，所以是周期函数，周期为2，故A正确；
又为奇函数，，，则，结合
当时，数列是首项为3，公差为6的等差数列，
则，
当时，数列是首项为6，公差为6的等差数列，
则，因此时，，显然满足上式，
即，，
令，解得：，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
26．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，满足，，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据抽象函数结合函数已知判断A,C,应用赋值法结合对称性得出函数周期判断B,赋值法结合函数周期应用累加法计算判断D.
【详解】选项A，C：由得，因此，得，
又，所以，故A正确，C错误．
选项B：由，得，所以8为的一个周期，故，
在中，令，得，所以，故B错误．
选项D：由，得，又，所以，，
由，得，，因为，
所以，
，
，
，
所以，
，
……
，
因此，故D正确．
故选：AD.
【点睛】方法点睛：解题的方法是应用赋值法结合函数对称性得出函数周期，再根据已知函数值结合累加法计算判断即可.
27．（24-25高三上·山西·期中）已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ）
A．8是一个周期 B．为偶函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】通过已知等式得函数的对称性、周期性，再借助性质赋值（式）求解可得.
【详解】由，得，
则，即函数图象关于对称；
因为为奇函数，所以，
则，即函数图象关于中心对称.
A项，由对称性可知，，
所以，即，
所以，
则是的一个周期，故A正确；
B项，由对称性与周期性可知，，
所以是偶函数，故B正确；
C项，，得，
所以，故C错误；
D项，由周期性和，得，
所以，同理，
由，得，
所以，则，
所以，
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
28．（2024高三·全国·专题练习）周期为4的函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为 .
【答案】
【分析】根据周期及得是偶函数，再根据的单调性可得答案.
【详解】因为周期是4，则，所以是偶函数.
时，是增函数，且，
不等式化为，
所以，.
故答案为：.
29．（2024高三·全国·专题练习）已知对于，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为 ．
【答案】（答案不唯一，或或其中一个即可)
【分析】根据给定条件，利用奇偶性的定义、单调性定义探讨函数的性质，进而求解不等式.
【详解】对于，恒有，令，得，
令，得，则函数是奇函数，
设任意，得，则，于是，函数在上单调递减，
由，得，解得，而，因此或或，
取的一个整数值为.
故答案为：(或或其中一个即可)
30．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，，若，则 .
【答案】
【分析】由的图象关于直线对称，得，由，得，结合，得，进而代入相关值求结果即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，则，
又，则①，
因为，则②，
①②得，则令，得，
令，得，
由，得，
由，得，
则，
所以，
故答案为：.
31．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数为奇函数，，与的图像有8个交点，分别为，则 ．
【答案】16
【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得.
【详解】为奇函数，
函数关于点对称，
，
函数关于点对称，
与图象的8个交点关于点对称，
，，，，
可得，
同理可知，
则.
故答案为：16.
32．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，的图象关于直线对称，，则 ．
【答案】
【分析】方法一：根据已知抽象函数关系式可推导得到是周期为的周期函数，结合对称性可得为偶函数，从而赋值可求得，结合周期性可求得结果；
方法二：根据已知抽象函数关系式可推导得到是周期为的周期函数，采用赋值法，结合对称轴可求得，利用周期性可求得结果.
【详解】方法一：，，
，，
是周期为的周期函数；
的图象关于对称，，
，为偶函数，
，，解得：，
，，，
.
方法二：令，则由得：，
，即，
是周期为的周期函数；
图象关于直线对称，，
又，；
令，则，又，，
．
故答案为：.
【点睛】结论点睛：（1）若函数的图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③；
（2）若函数的图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③；
（3）若函数的图象关于点对称，则①；②；③．
33．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ．
【答案】
【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由，可得的图象关于点中心对称，则可求得周期，再由已知条件可求得，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，则，
所以函数的图象关于直线对称，
因为，
所以函数的图象关于点中心对称，
所以函数的周期，
令，则，得，
则，
又，
令，则，得，
则，
所以，
则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用函数的对称性，由已知条件求出函数的对称轴和对称中心，进而求得函数的周期，利用周期性即可求和.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的应用
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题型01 函数的单调性及其应用 1
题型02 奇偶性及其应用 2
题型03 周期性及其应用 5
题型04 对称性及其应用 7
题型05 原函数与导函数的双函数型 9
题型06 函数性质的综合应用 11
题型01 函数的单调性及其应用
【解题规律·提分快招】
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间上单调递减.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·四川眉山·期中）若函数，则满足的的取值范围可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是
8．（2024高三·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为N，则 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围为 .
10．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，若对，都有，则的取值范围是 .
题型02 奇偶性及其应用
【解题规律·提分快招】
奇偶函数的性质 （1）偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 对称区间的单调性相反； （2）奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 对称区间的单调性相同； 奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如下所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·宁夏·期中）奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
二、多选题
7．（2024高三·全国·专题练习）（多选）函数，若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江苏南通·期中）设为上的增函数，满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．， D．，
9．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数的定义域为的图象关于对称，且为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024高三·全国·专题练习）若为偶函数，则
11．（24-25高三上·北京·开学考试）写出一个同时具有下列性质的函数 .
①函数是偶函数；
②当时，单调递减.
12．（2024高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 ．
题型03 周期性及其应用
【解题规律·提分快招】
周期性技巧
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．10 C．4 D．2
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
3．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（ ）
A．4 B．2 C． D．0
4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为( ).
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
7．（2024·吉林·三模）已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A． B．4 C． D．6
二、多选题
9．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·吉林·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．若，则
11．（2025高三·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．当时，
12．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．关于直线对称 D．当时，
题型04 对称性及其应用
【解题规律·提分快招】
1.中心对称结论： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 2.轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称； 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·北京·开学考试）函数的图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏银川·一模）若函数是定义在上的奇函数，，则（ ）
A．2 B．0 C．60 D．62
3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．8100
4．（24-25高三上·安徽六安·期中）函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若定义在上的函数满足是奇函数，，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．的图象关于直线对称
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数满足，且的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东·期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．（24-25高三上·新疆省直辖县级单位·开学考试）已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．的一个周期为
10．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知是定义在 上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．关于点对称 D．
11．（2024·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
题型05 原函数与导函数的双函数型
【解题规律·提分快招】
原函数与导函数的性质
性质1 若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称
性质2 奇函数的导数为偶函数
性质3 若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称
性质4 偶函数的导数为奇函数
性质5 若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称
偶函数的导数为奇函数
性质6 若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T
性质7 若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点
【典例训练】
一、多选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数满足，且，则（ ）
A．的周期为4 B．
C．为函数图象的一条对称轴 D．的图象关于点对称
2．（24-25高三上·河南·期中）定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C．当时， D．在上单调递减
3．（2024·湖北·一模）已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为周期函数
B．
C．的图像关于点中心对称
D．
4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个对称中心为
B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4
D．
5．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．是周期为4的周期函数
C． D．
6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是R上的减函数 B．不等式的解集为
C．若是奇函数，则 D．的图象关于点对称
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2025个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心
D．方程仅有6个实数解
9．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．
10．（24-25高三上·四川自贡·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．若，则
题型06 函数性质的综合应用
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知为上的奇函数，为的导函数，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．2025
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为的函数满足，的导函数为连续函数，函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
3．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于对称 B．
C． D．
4．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山西吕梁·二模）已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，为的导函数，若函数为奇函数，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．的周期为2 D．
7．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．的周期为4 D．
8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（24-25高三上·青海·期中）已知是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．9 D．25
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）函数的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·北京·期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
11．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高三上·天津南开·期末）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数，则（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
14．（2024高三·江苏·专题练习）已知定义在上的偶函数满足．则（ ）
A．4545 B．4552 C．4553 D．4554
15．（2024高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数，若是奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2 0192
16．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．2024
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
19．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数，设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
20．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设函数是奇函数，函数的图象与的图象有个交点，则这些交点的所有横坐标与纵坐标之和等于（ ）
A．－10120 B．－5060 C．10120 D．5060
二、多选题
21．（24-25高三上·广西桂林·期中）对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递减
22．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．4是的一个周期
C． D．的图象关于点对称
23．（2024·四川宜宾·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·广西柳州·一模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
25．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．关于对称 D．存在，使
26．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，满足，，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（24-25高三上·山西·期中）已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ）
A．8是一个周期 B．为偶函数
C． D．
三、填空题
28．（2024高三·全国·专题练习）周期为4的函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为 .
29．（2024高三·全国·专题练习）已知对于，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为 ．
30．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，，若，则 .
31．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数为奇函数，，与的图像有8个交点，分别为，则 ．
32．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数满足，的图象关于直线对称，，则 ．
33．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知定义在上的函数，满足，为偶函数，满足，则 ．
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