专题04 解三角形常考题型全归纳
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题型01 正余弦定理解三角形 1
题型02 面积、周长、边的最值与范围 3
题型03 有关中线、角平分线、垂线问题 5
题型04 解三角形结合三角函数 7
题型05 几何图形中解三角形 9
题型01 正余弦定理解三角形
【解题规律·提分快招】
一、正、余弦定理和面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式； ； .常见变形(1)，，； (2)，，； ； ； .
2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
2．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且，求的值．
3．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）记的角的对边分别为，已知.
(1)求A；
(2)若点D是BC边上一点， 且， 求的值.
4．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
5．（2025·山西·一模）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
6．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
题型02 面积、周长、边的最值与范围
【解题规律·提分快招】
一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积的最大值.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
3．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
题型03 有关中线、角平分线、垂线问题
【解题规律·提分快招】
一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
2．（2024·吉林长春·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
(1)求；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
3．（24-25高三上·浙江·期中）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，角的平分线交于点，求线段的长．
4．（23-24高三下·福建·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．
5．（23-24高三下·浙江金华·开学考试）已知半圆O的直径，点C为圆弧上一点(异于点A，B)，过点C作的垂线，垂足为D.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
6．（24-25高三上·江苏盐城·期中）在中，，，，点D在边上，为的平分线.
(1)求的长；
(2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值.
7．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求的取值范围．
题型04 解三角形结合三角函数
【解题规律·提分快招】
一、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二、二倍角公式 ①； ②； ③； 三、降幂公式 四、辅助角公式 （其中）． 五、三角形角的关系 （1）中，, = （2）， （3），
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·广西柳州·一模）记内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
2．（2024·山东泰安·二模）已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，求的值.
3．（2024·安徽淮南·一模）记的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值．
4．（2025·新疆·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在上的零点从小到大依次为，设数列的前项和为，求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，边上的中线，求的值.
5．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.
(1)求函数的解析式；
(2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围.
6．（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
题型05 几何图形中解三角形
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.
(1)若，求和；
(2)若，证明：.
2．（2024·河南·三模）已知是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，．
(1)若的面积为，求的周长；
(2)若，，，求的值．
4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
5．（2024·黑龙江佳木斯·三模）中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求∠A；
(2)若，满足，，四边形是凸四边形，求四边形面积的最大值．
一、解答题
1．（2024·广东珠海·一模）在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且．
(1)求的值；
(2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值．
2．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
3．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点．
(1)若，求角A的平分线AD的长；
(2)求BC边上中线AD长的最小值．
4．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.
(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
5．（23-24高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
6．（2024·广东韶关·模拟预测）在中，，，点为内一点.
(1)若（图1），求的面积；
(2)若（图2），求的最小值.
7．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
8．（24-25高三下·湖北·开学考试）设 .
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围.
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；
(2)若，求中边上的高的取值范围．
10．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，．
(1)求a；
(2)若，求面积的取值范围．
11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，为中点，，求；
(3)若，求内切圆半径的取值范围.
12．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为．
(1)求函数的解析式；
(2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围．
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题型01 正余弦定理解三角形 1
题型02 面积、周长、边的最值与范围问题 8
题型03 有关中线、角平分线、垂线问题 15
题型04 解三角形结合三角函数 24
题型05 几何图形中解三角形 33
题型01 正余弦定理解三角形
【解题规律·提分快招】
一、正、余弦定理和面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式； ； .常见变形(1)，，； (2)，，； ； ； .
2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）在中，角的对边分别为边，若.
(1)求角；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用辅助角公式求出.
（2）利用正弦定理边化角，利用二倍角公式求出，进而利用正弦定理求出，再求出三角形面积.
【详解】（1）由得，则，
由，得，则或
所以或.
（2）由，得，，
在中，由及正弦定理，得，
而，则，于是，
又，则，解得，即，则，
由，得，
所以的面积.
2．（2025·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅助角公式，求得或，可求角；
（2）由已知可得为等边三角形，则，中由余弦定理求得的值．
【详解】（1）依题意，，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
法一：即，
因为，所以，
所以，所以：，
所以，即．
法二：即，
所以，即，
因为，所以，
所以，即．
（2）因为，又因为，
所以为等边三角形，
则，
由余弦定理得，
所以，解得或（舍去），故．
3．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）记的角的对边分别为，已知.
(1)求A；
(2)若点D是BC边上一点， 且， 求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，结合两角和差公式运算求解即可；
（2）设，利用正弦定理可得，结合题中关系列式求解即可.
【详解】（1）因为，
则，
可得，
且，则，可得，即，
又因为，所以.
（2）因为，由（1）可知：，
设，则.
在Rt中，可得，即，
在中，由正弦定理得，
可得，
又因为，即，
可得，解得，
所以的值为.
4．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)3
(2)6
【分析】（1）由正弦定理，及，得，转化为，得.
（2）由及（1）得，从而可得，求出a，计算三角形面积即可.
【详解】（1）由，得，
因为 ，所以,
则有：
移项可得：
因为 ，
所以.
（2）因为 ，所以 ，
由（1）知 ，且 ，
则：，即，
整理得，即，
解得 或
因为，，则角是锐角．
由知，，C为锐角，则 ，
所以 ，则，那么 ，
根据 以及，可得：
由正弦定理 以及已知可得：，
的面积.
5．（2025·山西·一模）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解，
（2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即，∴．
又，∴，∴．
（2）在中，①，
在中， ②，
①÷②得
又，，∴，
所以
6．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角；解法2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角；
（2）由（1）得，，则，化简后利用正切函数的性质可求得结果.
【详解】（1）解法1：在中，由及正弦定理得，，
再由余弦定理，得，则，
又因为，所以，
因为，所以.
解法2：因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
题型02 面积、周长、边的最值与范围问题
【解题规律·提分快招】
一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面积的最大值.
【答案】(1)2
(2)2
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，即可得结果；
（2）根据同角关系求，利用余弦定理结合面积公式可得，即可面积最大值.
【详解】（1）因为，且，
可得，
即，所以.
（2）因为，
又因为，即，
整理可得，解得或，
又因为，则，，
由余弦定理可得：，即，
整理可得，
又因为，即，
当且仅当时，等号成立，
且此时为为锐角三角形，符合题意，
所以的面积的最大值为.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解；法二，由余弦定理化简条件式，再利用余弦定理求出；
（2）法一，将条件利用正弦定理化简求得的外接圆半径，结合（1）可求得，再利用余弦定理和基本不等式求得，得解；法二，同法一求出外接圆半径，由正弦定理可得，化简得关于角的三角函数求最值.
【详解】（1）解法一，由正弦定理得，
又，
所以，即.
因为，所以，
所以.
解法二，由余弦定理得，
整理得，
所以.
（2）解法一，设的外接圆半径为，
由及正弦定理得，
所以.
由（1）知，所以，
所以.
由余弦定理得，即，
所以，
所以，当且仅当时取等号.
所以周长的最大值为.
解法二，设的外接圆半径为，
由及正弦定理得，
所以.
由（1）知，所以.
所以
，
其中为第一象限角，且，
所以当时，取得最大值，
故周长的最大值为.
3．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得；
（2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可；
【详解】（1）因为，所以，
解得或（舍去），
又，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以的周长，
即
，
又，所以，解得，所以，
所以，
所以，即的周长l的取值范围为.
4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积定义可得，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角C的范围即可得以及面积的取值范围.
【详解】（1）因为，则，
整理可得，
利用正弦定理可得，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）由正弦定理，
可得，
由题意可知：，解得，
则，可得，即，
又因为面积，
所以面积的取值范围为.
5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得面积；
（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合角B的范围运算求解.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因为，
则有，
因，，则，
且，故．
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积．
（2）由正弦定理，可得，且，
代入化简得：．
因为钝角，故由，可得，
则，，即，
故的取值范围是
6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再利用诱导公式即正弦的和角公式求解；
（2）把转化为的函数，利用余弦定理及三角函数单调性分析的范围 ，最后再利用二次函数的单调性求范围.
【详解】（1）根据正弦定理可知：，
因为，所以，所以.
（2）由余弦定理可知：，因为，所以，，，
因为，所以，，
由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，所以，
所以时，取得最小值，
并且，
所以的范围是.
题型03 有关中线、角平分线、垂线问题
【解题规律·提分快招】
一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、垂线问题 ①等面积法： ② ③
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论；
（2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长.
【详解】（1）证明：在中，，，
由余弦定理得，即①.
又，
即，故②.
由①②得，即，
故.
所以为等边三角形.
（2）在中，由，
得，
又直线为的平分线，
则，
所以，即③，
又由余弦定理可得，即.④，
由③④可知，
解得或（舍），
所以的周长为.
2．（2024·吉林长春·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
(1)求；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦边角关系化简题设条件可得，即可求角的大小；
（2）是的中线，利用向量数量积的运算律及已知可得，应用等面积法求得，再应用余弦定理求CD的长.
【详解】（1）由题设，
而，所以，，
所以.
（2）如下示意图，是的中线，则，
所以，
由，则，
又，则，
即，则，
所以.
3．（24-25高三上·浙江·期中）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，角的平分线交于点，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，由辅助角公式可得，结合三角函数的性质即可求解
（2）根据余弦定理可得，利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解.
【详解】（1）由，
由正弦定理可得,
又，所以，
所以，可得，
又，所以，所以，
可得，
（2）在中，，
由余弦定理得，
解得（舍），或，
由，得，
即，
故线段BD的长为.
4．（23-24高三下·福建·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边，再结合二倍角公式求出得解；
（2）根据题意得，结合的面积为，可求得，又由，求得，在中，由余弦定理求得,得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得．两边除以，
得，
由二倍角公式，有，
整理为，
上式因式分解为，
解得或（舍去），
又由，可得；
（2）由．有，
又由，可得，有，可得，
又由的面积为及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
在中，由余弦定理，有，
有的周长为．
5．（23-24高三下·浙江金华·开学考试）已知半圆O的直径，点C为圆弧上一点(异于点A，B)，过点C作的垂线，垂足为D.
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用余弦的定义求解即可；
（2）设，在中利用三角函数的定义及三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）如图，连接，
在中，，，，则，
在中，，
所以.
（2）设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为.
6．（24-25高三上·江苏盐城·期中）在中，，，，点D在边上，为的平分线.
(1)求的长；
(2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案；
（2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案.
【详解】（1）因为为的平分线，所以，
所以，
所以，
所以，即，
可得：.
（2）由余弦定理可得：，
所以，所以，
由角平分线定理可得：，又因为，
所以，又因为，，
所以，所以，
又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形，
所以，则为的中点，在中，
由余弦定理可得
，所以，
所以，在中，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以.
7．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简已知等式，再利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求，最后根据三角形内角的范围求角
（2）利用余弦定理及，之间的关系将用表示出来，再利用正弦定理将化边为角，最后结合角的范围及三角函数的图象与性质求的取值范围
【详解】（1）由可得，即，
由正弦定理可得，
又，
，
又，，又，．
（2）在与中，分别利用余弦定理可得，
，
，
知，故，
．
由正弦定理可得，
故，，
．
由可得，
，故，
的取值范围为，
故的取值范围为．
题型04 解三角形结合三角函数
【解题规律·提分快招】
一、两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二、二倍角公式 ①； ②； ③； 三、降幂公式 四、辅助角公式 （其中）． 五、三角形角的关系 （1）中，, = （2）， （3），
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·广西柳州·一模）记内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用辅助角公式计算得出，再结合角的范围即可求出角；
（2）已知结合正弦定理化简计算得出，再应用两角和正弦公式计算，最后正弦定理计算边长即可得出周长.
【详解】（1）由得，，即，
由于，；
（2）由题设条件和正弦定理，
又，，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理得，
解得，，
故的周长为.
2．（2024·山东泰安·二模）已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值求角；
（2）根据两角和的正弦公式和正弦定理可得，再结合余弦定理求解.
【详解】（1）在中，由，得，则，
由，得，则，
所以.
（2）在中，由，
得，即，
则，由正弦定理得，
由余弦定理得，
因此，而，所以.
3．（2024·安徽淮南·一模）记的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理可求角大小，再由，可得角；
（2）在中，由正弦定理求，在直角中求，再利用三角恒等变换求的最值.
【详解】（1）由得，
，
又，且；
（2）由（1）知，，则为直角三角形，
在中，由正弦定理知，即，
在中，，
所以
由，当，即时，取得最大值为.
4．（2025·新疆·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在上的零点从小到大依次为，设数列的前项和为，求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，若，，边上的中线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简计算可得.法一：利用换元法（令），结合零点的定义和正弦曲线的对称性求出和即可；法二：作出的图象，利用正弦曲线的对称性直接求解即可.
（2）由求得，结合和正、余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）
.
方法一：令，
在上有4个零点.依次为，，，.
又..，，
，，同理得，
.
方法二：作出函数的图象，
其对称轴为，，
由图可知，，.
（2）依题意，即，，.
，.
即，.
在中，，
，由正弦定理得.
5．（2024·山西吕梁·二模）已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.
(1)求函数的解析式；
(2)在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出，再根据图像平移得到 ，求得结果；
（2）由得出三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简，再利用导数求函数单调区间得出结果.
【详解】（1）已知的图象相邻对称轴间的距离为，则.
由周期公式得，，
所以，
（2）由题意得，，，
所以.
所以或（舍），所以.
因为在钝角中，所以，
所以，则
令，，
当时，；当时，；
可得在单调递减，在单调递增.
所以当，即时，有最小值；
，所以
故.
6．（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形
(2)①；②成立，，
【分析】(1)利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简可得，进而可得结果；
(2)①设，，
方法一：在中利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
方法二：在中，利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
方法三：在中，利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在常数和，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解.
【详解】（1）在中，因为，且，
所以，
即，，
所以或者.
当时，所以，为直角三角形；
当时，所以，为等腰三角形.
综上所述，为直角三角形或等腰三角形.
（2）①因为，所以，又，，所以，.
如图，设，，
方法一：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法二：在中，由正弦定理，得，所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法三：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以
，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在常数，，对于所有满足题意的，，
都有成立，
则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，有
.
由题意，是定值，所以，是定值，
对于所有满足题意的，成立，故有，
因为，从而，
即，，所以.
故，.
题型05 几何图形中解三角形
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.
(1)若，求和；
(2)若，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出，进而得出是等边三角形及边长，进而可求解.
（2）在与中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明.
【详解】（1）由，，可得.
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
则或60°，又因为，故.
因此，又因为，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以.
（2）证明：令，，，.
因为，则.
在与中，由余弦定理可得
消去，得，整理得，
所以，即.
2．（2024·河南·三模）已知是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）在等腰中可得，进而得，在中运用正弦定理可求得的值.
（2）求出的值，设，则，在、中，由正弦定理可得、，结合求解即可.
【详解】（1）如图所示，
在中，，所以.
所以.
在中，由正弦定理得，即，解得.
（2）如图所示，
当时，.
设，则.
在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
因为，所以，即，
整理得，即，解得，即.
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，．
(1)若的面积为，求的周长；
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再由面积公式求出，从而求出，即可得解；
（2）设，表示，再分别在、利用正弦定理得到，再由三角恒等变换公式计算可得.
【详解】（1）在中，，
因为，所以，
由，得，
∴，即，
∴，即的周长为；
（2）设，则，
又，所以，，
在中，由，得，
在中，由，得，
∴，即，
即，，
即，即，
∴，
∵，∴，
∴，解得，即的值为.
4．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到，进而得到，再根据条件，利用平方关系和正弦的和角公式，即可求出结果；
（2）延长交于，设，，在中，利用正弦定理和余弦定理得到，，进而求得，，再利用三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）由，又，得到，
又，
又，，且，
所以，，
得到.
（2）延长交于，设，，
在中，由正弦定理得到，由（1）知，，
所以①，由余弦定理得到②，
由①②解得或，
当时，，此时，
又，所以，不合题意，故，，
在中，由，，得到，，
所以，又，
故.
5．（2024·黑龙江佳木斯·三模）中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求∠A；
(2)若，满足，，四边形是凸四边形，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及题意结合两角和的正弦公式得到即可得角A.
（2）法一：设，边长为，在中根据余弦定理建立与的关系，进而求得面积，再结合换元法和三角函数值的有界性即可求解；法二：将设为变量，用于表示面积得，结合三角恒等变换公式将面积公式化为一角一函数，再利用三角函数的有界性即可求解.
【详解】（1）由正弦定理和得：
，
即，
又，故，
所以，即，又，
所以.
（2）法一：若，
则由（1）可知为正三角形，设其边长为，
则有，即，
且由正三角形面积公式得，
对于，设，则由余弦定理有，
故
，
所以四边形的面积为，
令（），则，
故，
再令，
则，
又，所以，
所以，
所以当时，四边形的面积取得最大值为：.
法二：若，则由（1）可知为正三角形，
设，由题意，
由余弦定理，
所以
，
又，所以，
所以，
所以当时，四边形的面积取得最大值为：.
一、解答题
1．（2024·广东珠海·一模）在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且．
(1)求的值；
(2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)32
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，根据可变形为，由，即可求解；
（2）由正弦定理可得，根据余弦定理结合基本不等式可得，根据面积公式即可求解面积的最大值.
【详解】（1）由题意得，，
由正弦定理可知，，
在中，因为，，
所以，
即，
因为，所以，
所以，又，
所以；
（2）由正弦定理，
因为，，所以，，
由，得，
由基本不等式可知， ，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
2．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值；
（2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围．
【详解】（1）∵，
由正弦定理可得：，
由余弦定理知：，，
可得，
则有，由，解得.
（2）
中由余弦定理知，又在中有，
∴，化简得，
∵，∴.
又，由正弦定理得：，，
，
因在中，，，，
所以，当时，等号成立，
∴周长的取值范围是．
3．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点．
(1)若，求角A的平分线AD的长；
(2)求BC边上中线AD长的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用余弦定理可得，再由及已知列方程求；
（2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有，整理并应用基本不等式求最小值.
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，
由，且是角A的平分线，
所以，所以.
（2）因为D是BC的中点，所以，
两式平方，并代换得
，当且仅当时取等号，
所以AD长的最小值为.
4．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.
(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.
【详解】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
，
由正弦定理可知，，
.
5．（23-24高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即．
因为在中，，
所以．
又是锐角，所以．
（2）由正弦定理得，
则，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面积的取值范围为．
6．（2024·广东韶关·模拟预测）在中，，，点为内一点.
(1)若（图1），求的面积；
(2)若（图2），求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得，从而可得，利用面积公式即可求解；
（2）设，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得，
又，，
故．
（2）设，因为，则，则，
在中，由正弦定理可得，即，故，
在中，，
由余弦定理可得
，
其中，，，
因为，则，
即当时，．
7．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点.
(1)当为边中点时，若，求的长度；
(2)当为的平分线时，若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值.
【详解】（1）解：因为，
所以，即.
由正弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以.
又因为，所以，所以.
因为为边中点，所以，则.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以.
因为平分，
所以，
所以，
所以.
令，则.
因为在上单调递增，
所以当即时，取得最大值为，
所以的最大值为.
8．（24-25高三下·湖北·开学考试）设 .
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简可得，令，即可得单调递增区间；
（2）利用和角的范围求得角，结合正弦定理和化简整理得，再根据锐角三角形得到，代入求得的取值范围，即为周长的取值范围.
【详解】（1）
，
由，
得，
的单调增区间为，
（2）因为，
可得，
由题意知A为锐角，则，
由正弦定理可得，
则，，
所以
，
因为，解得，
则，所以，则，
所以，
即周长的取值范围为 .
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；
(2)若，求中边上的高的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得，然后根据三角形为锐角三角形进而即得；
（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得，然后根据三角恒等变换及正切函数的性质结合条件即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，，又，
所以，整理可得，
所以或(舍去)，
所以，又为锐角三角形，
所以，
所以；
（2）由题可知，即，
又，
所以，
所以，
由，可得，
所以，
所以，
即中边上的高的取值范围是.
10．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，．
(1)求a；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解；
（2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，
因为，可得，所以.
（2）由（1）知，即，
如图所示，为边上的高，不妨设为锐角，
设，
当为锐角时，则，故，
当为钝角时，则，故，
因为，所以，整理得，
所以的面积为，
因为，可得，
当时，取得最大值，最大值为，且，
所以的面积的取值范围为.
11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.
(1)求；
(2)若，为中点，，求；
(3)若，求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.
（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.
（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理，得，
所以，
因为，所以，所以.
（2）因为为中点，所以，
所以，
所以，解得或（舍去），
故.
（3）由正弦定理：，
所以，，
因为，所以，
所以
，
，
设内切圆半径为，
则.
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，即，
即内切圆半径的取值范围是：.
12．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为．
(1)求函数的解析式；
(2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）求出的最小正周期为，得到，结合时，小球位于最高点，得到方程，求出，又，得到解析式；
（2）由得到，根据三角形为锐角三角形得到，，由正弦定理，化简得到，换元后，由对勾函数单调性求出取值范围，得到答案.
【详解】（1）设的最小正周期为，由题意，，
，
又，，
当时，小球位于最高点，则，
，
又由题意，解得，
；
（2）由题意，，故，
即，
为锐角三角形，
故或，
当时，解得，
当时，解得，舍去，
故，则，
又，，
解得，
，
，
又，
令，则，
根据对勾函数的性质，函数在上单调递增，
所以，
所以则的取值范围为．
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