专题18 圆锥曲线核心考点压轴小题全面梳理与分类解析
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 20
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 20
题型二：蒙日圆 24
题型三：阿基米德三角形 29
题型四：仿射变换问题 34
题型五：圆锥曲线第二定义 38
题型六：焦半径问题 41
题型七：圆锥曲线第三定义 44
题型八：定比点差法与点差法 47
题型九：切线问题 52
题型十：焦点三角形问题 56
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题 61
重难点突破：圆锥曲线与四心问题 65
高考数学中，圆锥曲线的定义、方程及其几何性质是核心考点。这主要包括三个方面：一是求解圆锥曲线的标准方程；二是涉及椭圆或双曲线的离心率计算，以及与双曲线渐近线相关的问题；三是探讨抛物线的性质及其应用。这些考点通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
圆锥曲线的定义 掌握圆锥曲线定义性质 2024年II卷第10题，6分 2024年I卷第11题，6分 2023年北京卷第6题，4分 2022年I卷第11题，5分 2021年I卷第5题，5分 对于2025年高考数学的预测，圆锥曲线相关知识点可能会以小题形式出现，同时也有可能在解答题中作为独立部分进行考查。具体来说：一是圆锥曲线相关题目将以选择题或填空题的形式出现，重点考查学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养；二是圆锥曲线的定义和性质将成为考查的热点。
圆问题 掌握圆的方程，熟练解决圆的问题 2023年I卷第6题，5分 2023年乙卷第12题，5分 2023年乙卷第11题，5分
焦点三角形 掌握焦点三角形性质，熟练解决相关问题 2024年天津卷第8题，5分 2023年甲卷第12题，5分 2023年甲卷第7题，5分 2021年I卷第5题，5分
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
5、椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则
6、双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点，
①焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
8、双曲线焦半径
设为双曲线上的一点，
①焦点在轴：在左支，在右支；
②焦点在轴：在下支，在上支．
9、设、是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，，则．
10、设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，，则．
11、等轴双曲线满足：；
12、若椭圆（双曲线）与直线交于两点，其中，，，为中点，（椭圆）；（双曲线）
1．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，
故.
当时，，
故在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得，取，
则，而，故此时，
故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
5．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
8．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，
因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
10．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
12．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典例1-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【答案】B
【解析】易知抛物线的焦点， 不在圆E上，
将圆变形为：
即，
，当且仅当三点共线时取等号；
设，则，当且仅当时取等号；
所以，故
所以的最小值为，
故选：B．
【典例1-2】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为
②曲线上存在点，使得到点距离为6；
③曲线上存在点，使得到直线的距离为；
④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设，因为M满足，所以，
整理可得：，即，所以①正确；
对于②，由①可知，点在圆的外部，
因为到圆心的距离，半径为2，
所以圆上的点D到的距离的范围为，
而，所以②不正确；
对于③，圆心到直线的距离为，
即直线和圆相交，
所以圆上的点E到直线的距离的范围为，
又，
即，故③正确；
对于④，假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8，
则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，
即F在椭圆上，
易知椭圆与曲线W：有交点，
故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8，所以④正确．
故正确结论的个数为3，
故选：C
【变式1-1】已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为.
因为，所以，所以.
设圆与交于点.由阿氏圆性质，知.
又，所以.又，所以，解得，所以，所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.
①当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，所以点在面内的轨迹为.因为在Rt中，，所以，所以，所以点在面内部的轨迹长为.
②同理，点在面内部的轨迹长为.
③当点在面内部时，如图3所示，因为平面，所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，截面圆与分别交于点，且，所以点在面内的轨迹为，且.
综上，点的轨迹长度为.
故选：C
【变式1-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】设，则，
化简得点的轨迹方程为，表示的是以为圆心，2为半径的圆，
而直线恒经过圆上的点，故直线与点的轨迹的交点个数是1或2.
故选：D.
题型二：蒙日圆
【典例2-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的焦点在轴上，，
直线，与椭圆都相切，
，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，
点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，
又，；
椭圆离心率，，.
故选：B.
【典例2-2】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆的离心率为
②到的左焦点的距离的最小值为
③面积的最大值为
④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上，
即有，则，椭圆的离心率，①正确；
对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径，
即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为，
因此面积的最大值为，③正确；
对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有，
则，而，
因此，即，
所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确；
对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有，
于是得，
又由①知，，得，
所以，④正确，
所以说法正确的有①②③④.
故选：D.
【变式2-1】法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（ ）
A． B．26 C． D．
【答案】C
【解析】依题意，直线，都与椭圆，且它们围成四边形是矩形，
于是该矩形是椭圆的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为，半径，
因此该椭圆的蒙日圆方程为，
M为椭圆的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、、，
其中P在第一象限，显然P与关于原点对称，Q与关于原点对称，
而 P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0，
设过P且与椭圆C相切的直线为，由消去y并整理，
得，由，
化简得，解得或，不妨取直线PQ方程为，即，
直线的方程为，即，
O点到直线PQ的距离为，O点到直线的距离为，
所以M的面积为.
故选：C
【变式2-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P、Q两点，若面积的最大值为34，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为，
所以为蒙日圆的直径，所以，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，
由面积的最大值为34，所以，则，
故选：A.
1．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【解析】由已知条件可知，且，
蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则或，
又因为，所以，或，解得或，
故选：B.
题型三：阿基米德三角形
【典例3-1】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为，
由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
所以点必在抛物线的准线上，
所以点，
直线的斜率为．
又因为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：A．
【典例3-2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，
依题意，，设，，
由消去y并整理得，则，，
，解得，即，
当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：，
点P必在抛物线的准线上，点，，
又，于是得，
由对称性可知，当时，同理有，
所以的面积是.
故选：A
【变式3-1】阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
【答案】D
【解析】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；
以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；
设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，
故选：D.．
1．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.
证明如下：
由于点在抛物线上，则，
联立，可得，即，，
所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.
如下图所示：
设、，设直线的方程为，
联立，消去得，
由韦达定理可得，，
对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，所以点的横坐标为，
即点在抛物线的准线上，①正确；
对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，，
所以，，②正确；
对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；
当不与轴垂直时，直线的斜率为，
直线的斜率为，，则.
综上，，④正确；
对于命题③，，
，
所以，，
当且仅当时，等号成立，③错误；
对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误.
故选：B.
题型四：仿射变换问题
【典例4-1】MN是椭圆上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则 ，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则 ．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则 ．
【答案】
【解析】作变换，那么椭圆变为圆，方程为：，
是中点，那么，
∴，
是圆的左右顶点即直径，那么，∴，
是过圆心O的一条弦即直径，那么，
∴．
【典例4-2】如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【答案】
【解析】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为
，
由垂径定理平分，其方程为，
平分，
△内切圆的圆心所在的定直线方程为．
故答案为：
【变式4-1】Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为 ．
【答案】
【解析】作变换之后椭圆变为圆，方程为，
是的重心，又O是的外心
′是等边三角形，
∴．
故答案为：
【变式4-2】已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.
由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.
故此题离心率的取值范围为.
故答案为：.
1．已知直线l与椭圆交于M，N两点，当 ，面积最大，并且最大值为 .记，当面积最大时， ﹐ .Р是椭圆上一点，，当面积最大时， .
【答案】 4 2 1
【解析】作变换此时椭圆变为圆，方程为，
当时，最大，并且最大为，
此时，.
由于，，
∴，
，
因为，所以
.
故答案为：；；4；2；1.
题型五：圆锥曲线第二定义
【典例5-1】已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【解析】如图：
由椭圆方程可知，，.
所以，
所以为等边三角形，
因此的中垂线过，
结合椭圆的定义，可得周长.
故选：C
【典例5-2】已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意有.，
而，，，
，，又等腰，
，.
故选:A.
【变式5-1】如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在双曲线中：，所以，
根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即
又，
，
的面积为．
故选：C．
【变式5-2】已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线倾斜角为，由，
所以，因为，
所以，所以，
所以，所以，
当点在轴上，又，
所以，，
所以由对称性知直线的斜率.
故选：B.
1．已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【解析】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则，
抛物线的准线为，则，，
，
（当且仅当，，共线时取等号）如图所示，
即的最大值为12.
故选：A.
题型六：焦半径问题
【典例6-1】设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，根据椭圆的性质，则，
，则，，
即，，
整理得：，
当且仅当：，即时，取等号，
为最小值，
故长轴长的最小值，
故答案为：．
【典例6-2】已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ．
【答案】4
【解析】设点，则．由焦半径公式得，
故．
∵，∴，即．
又∵，解得，∴满足条件的点有4个．
故答案为：
【变式6-1】已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ．
【答案】或
【解析】
因为，，所以，，
设，
所以椭圆方程可化为，即，
所以直线方程为，
联立，消去可得，
则，
所以，
令，则，化简可得，
解得，所以，或.
故答案为：或.
1.已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 .
【答案】
【解析】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知：
，
所以.
又因为，所以，设，
则，
所以，
所以，
所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为，
所以，
故答案为：，.
题型七：圆锥曲线第三定义
【典例7-1】椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设P点坐标为，则，，，
于是，故.
∵ ∴.故选B.
【典例7-2】双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据双曲线的方程可知，的坐标分别为，，
设点的坐标为，则，，
且因为点在双曲线上，所以，不难发现，
再结合，解得，故选C．
【变式7-1】已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）
A．k1＋k2 B．|k1－k2|
C．k1k2 D．
【答案】C
【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，
设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得即
又k1＝，
所以k1k2＝，
所以k1k2为定值
，不为定值；
，不为定值；
，不为定值
故选：C
【变式7-2】设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆方程可得，
设，则,
则，
，
，
令，则，
，
在上递减，在上递增，
可知当时，函数取得最小值，
，
，故选D.
1.已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，关于原点对称，设，，
，故选A.
题型八：定比点差法与点差法
【典例8-1】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设，由得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以，
，当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设，因为，所以．
即 ①， ②，
又因为，所以．
不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得．
由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换，则为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则
．
当时等号成立，根据易得，此时．
［方法六］：中点弦性质的应用
设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以．
【整体点评】方法一：由题意中点的坐标关系，以及点差法可求出点的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．
【典例8-2】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，或
【答案】A
【解析】先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.设，，
又点，在椭圆上，
则，，
两式相减可得：，
又，
则，
又点，在椭圆内，
则，
则，
所以，
故选：A.
【变式8-1】已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.
【变式8-2】过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
【答案】.
【解析】设， ， 则
于是，同理，
于是我们可以得到
.
即，所以Q点的轨迹是直线， 即为原点到直线的距离，
所以
1.已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设直线AB过原点O，由题意得 ，
设，CD的中点为，则，
因为C，D在椭圆上，
所以，两式相减得，
所以，
因为O，M，P三点共线，
所以，
即，解得，
所以，
故答案为：
题型九：切线问题
【典例9-1】已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为1，所以，
即抛物线方程为，焦点为，
设直线方程为，设，
由得，
所以，，
抛物线方程为，，所以，
切线方程为，又，所以切线方程为，
令得，令得，，，
，，
∴，
故选：D.
【典例9-2】已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由，得．易知，
因为两圆的半径均为1，则．
设，且，
则，即．
所以点的轨迹方程为．
故选：D.
【变式9-1】已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，直线AB的斜率k为，
设，则椭圆的离心率，
所以，，即焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
故在点处的切线方程为，
令，，
因为，
所以是首项2，公比的等比数列，
即
故选：A.
【变式9-2】已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设圆的圆心为，半径为，则，半径，，
因为，所以只需最大，
设点是椭圆上任意一点，则，即，
所以，
当时，有最大值，所以，
所以的最小值为，即的最小值为.
故选：B.
1.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，，又，所以，
而是圆切线，则，
在中，，因此有，
从而，而，所以，
在双曲线上，因此，所以，
∴，从而，
∴双曲线的离心率.
故选：B．
题型十：焦点三角形问题
【典例10-1】已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则 ．
【答案】2
【解析】解法一：由题得，所以，，设，，
则，由题知，
将代入，得，解得，故，
所以是等边三角形，故，得，得．
解法二：由题得，所以，，设，，，
则，，
由余弦定理得，
故，得．
故答案为：2
【典例10-2】已知椭圆过点，焦点，，为坐标原点，圆的直径为．若斜率为的直线与圆相切于第一象限内的点，交于两点，则的面积为 ．
【答案】/
【解析】设椭圆的方程为，，
由条件可知，又，解得，，
所以的方程为，
圆的方程为，设斜率为的直线与圆相切，
所以，
因为直线与圆相切于第一象限内的点，所以直线的方程为，
当时，，
联立方程组，消去整理得，
设，，则，，
所以，
所以的面积为．
故答案为：.
【变式10-1】已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为
【答案】
【解析】
如图所示，由椭圆定义，，，
则，故，
要使最大，则，
故
故答案为：
【变式10-2】已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是 ；的面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，故，
设点，且在上垂足为H，
根据双曲线定义及切线长定理得，
又，解得，
所以点H坐标为，则横坐标为，
设渐近线的倾斜角为，则，
记，则，
所以，即，
又，解得或(舍)，
所以，则，
所以.
故答案为：，
1.设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一 四象限.若，则的面积为 .
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线为，由题设可设，
而，故为的中点，故，
而在双曲线上，故即，
又到渐近线的距离为，
到渐近线的距离为，
故的面积为
，
故答案为：2
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题
【典例11-1】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故.
所以.
可设，，.
由于
，故.
从而，，故，.
在中，由余弦定理得，
，解得，
所以.
故选：C.
【典例11-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，
直线方程为：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周长为.
故选：D
【变式11-1】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，
则.
故，解得.
又，所以，所以.
故选：C.
【变式11-2】班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题设，则平分，故，
而，由椭圆定义可知，
则，所以.
故选：B.
1.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（ ）
A．6 B．8 C． D．29
【答案】C
【解析】由，可得的纵坐标为，设，则，解得，
由题意反射光线经过抛物线的焦点，
所以直线的方程为，整理可得，
由消去整理得，解得，，
则，所以，所以.
故选：C
重难点突破：圆锥曲线与四心问题
【典例12-1】抛物线的焦点恰好也是椭圆的一个焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，PI交轴于，且，点是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与轴的交点为，若，则 .
【答案】
【解析】由椭圆的焦点在轴上得.
如图，连接，因为是的内心，所以平分.在中，
由正弦定理得，在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以，又，所以，
同理可得，所以.
由椭圆定义可知，，
所以，，即椭圆的焦点坐标为，
所以抛物线方程为，即，则，
故抛物线在处的切线方程为，
又，可得，即.
令，则，又，所以，
所以是首项为2，公比为的等比数列，所以.
故答案为：
【典例12-2】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 .
【答案】
【解析】由椭圆为“黄金椭圆”，
则离心率，
可得，
所以；
如图所示，连接，
设的内切圆半径为，
则，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：；
【变式12-1】已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为 ，的最小值为 ．
【答案】
【解析】不妨设点，，
根据点是的外心，设，
而，则，所以
从而得到点的轨迹为，焦点为
由抛物线的定义可知，
因为，即，当点在线段上时等号成立．
故答案为：，.
【变式12-2】双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】在中，取中点，由P为的重心，则P在上，
设，则，
则有，
两式作差得，，
可得，
则
则，即，
同理可得，，
又，所以，又，
可得，
所以，进而．
故答案为：.
1.在中，，，于，若为的垂心，且.则到直线距离的最小值是 .
【答案】
【解析】设，由可知，，又，，
则，
因为点为的垂心，所以，
即，即()，
联立，得，得，
则直线与椭圆相离，如图，
设直线与椭圆相切，
联立，得，
令，得，
由图可知，与椭圆相切的切点到直线的距离最近，
此时最近距离为平行线和间的距离，即.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题18 圆锥曲线核心考点压轴小题全面梳理与分类解析
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 9
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 9
题型二：蒙日圆 10
题型三：阿基米德三角形 12
题型四：仿射变换问题 13
题型五：圆锥曲线第二定义 14
题型六：焦半径问题 16
题型七：圆锥曲线第三定义 16
题型八：定比点差法与点差法 17
题型九：切线问题 18
题型十：焦点三角形问题 19
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题 20
重难点突破：圆锥曲线与四心问题 22
高考数学中，圆锥曲线的定义、方程及其几何性质是核心考点。这主要包括三个方面：一是求解圆锥曲线的标准方程；二是涉及椭圆或双曲线的离心率计算，以及与双曲线渐近线相关的问题；三是探讨抛物线的性质及其应用。这些考点通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
圆锥曲线的定义 掌握圆锥曲线定义性质 2024年II卷第10题，6分 2024年I卷第11题，6分 2023年北京卷第6题，4分 2022年I卷第11题，5分 2021年I卷第5题，5分 对于2025年高考数学的预测，圆锥曲线相关知识点可能会以小题形式出现，同时也有可能在解答题中作为独立部分进行考查。具体来说：一是圆锥曲线相关题目将以选择题或填空题的形式出现，重点考查学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养；二是圆锥曲线的定义和性质将成为考查的热点。
圆问题 掌握圆的方程，熟练解决圆的问题 2023年I卷第6题，5分 2023年乙卷第12题，5分 2023年乙卷第11题，5分
焦点三角形 掌握焦点三角形性质，熟练解决相关问题 2024年天津卷第8题，5分 2023年甲卷第12题，5分 2023年甲卷第7题，5分 2021年I卷第5题，5分
1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制．
2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．
4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．
5、椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则
6、双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．
7、椭圆焦半径
椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点，
①焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)．
8、双曲线焦半径
设为双曲线上的一点，
①焦点在轴：在左支，在右支；
②焦点在轴：在下支，在上支．
9、设、是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，，则．
10、设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，，则．
11、等轴双曲线满足：；
12、若椭圆（双曲线）与直线交于两点，其中，，，为中点，（椭圆）；（双曲线）
1．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A． B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
5．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
【典例1-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【典例1-2】古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为
②曲线上存在点，使得到点距离为6；
③曲线上存在点，使得到直线的距离为；
④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
题型二：蒙日圆
【典例2-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆的离心率为
②到的左焦点的距离的最小值为
③面积的最大值为
④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（ ）
A． B．26 C． D．
【变式2-2】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P、Q两点，若面积的最大值为34，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
1．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
题型三：阿基米德三角形
【典例3-1】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：
①点必在抛物线的准线上；②．
若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（ ）
（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；
（2）点P的坐标是；
（3）的边所在的直线方程为；
（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
1．过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：
①点必在抛物线的准线上；
②；
③设、，则的面积的最小值为；
④；
⑤平行于轴.
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型四：仿射变换问题
【典例4-1】MN是椭圆上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则 ，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重合的点，则 ．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，则 ．
【典例4-2】如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
【变式4-1】Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为 ．
【变式4-2】已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
1．已知直线l与椭圆交于M，N两点，当 ，面积最大，并且最大值为 .记，当面积最大时， ﹐ .Р是椭圆上一点，，当面积最大时， .
题型五：圆锥曲线第二定义
【典例5-1】已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【典例5-2】已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
题型六：焦半径问题
【典例6-1】设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为 ．
【典例6-2】已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ．
【变式6-1】已知椭圆的离心率为．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为．则 ．
1.已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 .
题型七：圆锥曲线第三定义
【典例7-1】椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）
A．k1＋k2 B．|k1－k2|
C．k1k2 D．
【变式7-2】设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为
A． B． C． D．
1.已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
题型八：定比点差法与点差法
【典例8-1】已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【典例8-2】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，或
【变式8-1】已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【变式8-2】过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为 ．
1.已知椭圆，点为椭圆外一点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，过点作直线，分别交椭圆于，两点．当直线的斜率为时，此椭圆的离心率为 ．
题型九：切线问题
【典例9-1】已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】已知圆，圆，过动点P分别作圆圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十：焦点三角形问题
【典例10-1】已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则 ．
【典例10-2】已知椭圆过点，焦点，，为坐标原点，圆的直径为．若斜率为的直线与圆相切于第一象限内的点，交于两点，则的面积为 ．
【变式10-1】已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，则内切圆半径的最大值为
【变式10-2】已知分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上第一象限内的点，点是的内心，则点的横坐标是 ；的面积的取值范围是 ．
1.设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一 四象限.若，则的面积为 .
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题
【典例11-1】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【典例11-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A．2 B． C．3 D．
【变式11-2】班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ）
A．1 B．2 C． D．
1.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（ ）
A．6 B．8 C． D．29
重难点突破：圆锥曲线与四心问题
【典例12-1】抛物线的焦点恰好也是椭圆的一个焦点，，分别是椭圆的上、下焦点，是椭圆上的任一点，是的内心，PI交轴于，且，点是抛物线在第一象限上的点，且抛物线在该点处的切线与轴的交点为，若，则 .
【典例12-2】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 .
【变式12-1】已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为 ，的最小值为 ．
【变式12-2】双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为 ．
1.在中，，，于，若为的垂心，且.则到直线距离的最小值是 .
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