专题02 不等式与复数
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 13
题型一：基本不等式二元式 13
题型二：和式与积式 16
题型三：柯西不等式二元式 20
题型四：齐次化与不等式最值 24
题型五：复数的四则运算 27
题型六：复数的几何意义 31
重难点突破：不等式与复数新定义问题 35
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档..
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
基本不等式 掌握基本不等式的应用 2024年北京卷第9题，5分 2023年上海卷第6题，4分 2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2025年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！
复数的四则运算 熟练掌握并灵活应用复数四则运算法则 2024年新高考甲卷第1题，5分 2023年新高考I卷第2题，5分 2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分
复数的几何意义 理解复数的几何意义，能直观应用 2023年新高考II卷第1题，5分 2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．（2024年北京高考数学真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得.
故选：C.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由，则.
故选：A
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】若，则.
故选：C.
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
6．（2024年上海市1月春考数学试题）已知，的最小值为 ．
【答案】12
【解析】,
当且仅当,即或时,等号成立,
故的最小值为12.
故答案为：12.
7．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
8．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
则.
故选：B.
11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
13．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】/
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
，
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
16．（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
18．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型一：基本不等式二元式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，需满足是的一个根，
即，且，所以，
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：A.
【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由可得，因，则，
于是
因，当且仅当时等号成立，
即，时，的最小值为.
故选：D.
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式可变形为：或，其中．
【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ）
A．13 B． C． D．8
【答案】C
【解析】当时，，即
因为在直线上，所以
当且仅当时，取等号，即的最小值为.
故选：C
【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
若，则对任意的，，
则当时，，不合乎题意；
若时，当时，，，此时，，不合乎题意；
若，则当时，，，此时，，不合乎题意.
所以，，此时，，则，
当时，，，此时，；
当时，，，此时，.
所以，对任意的，，合乎题意，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】当且仅当时取等号，B选项错误；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确；
∵，∴，∴，D选项正确.
故选：ACD.
2．（多选题）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为,当且仅当时等号成立，所以，A正确；
因为，所以，所以，B错误；
因为，当且仅当时等号成立，所以，C错误；
由整理，得，当且仅当时等号成立，
所以，D正确．
故选：AD．
3．[新考法]设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，
令，得，
①当时，满足题意，；
②当时，，由，得，
要使任意，恒成立，则，
所以；
③当时，，由，得，
要使任意，恒成立，则，
所以；
综上，，即.
又，，
当且仅当时，取最小值.
所以的最小值为.
故选：A.
题型二：和式与积式
【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，则，所以．
又，
即，即，解得，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
即的取值范围为.
故选：D．
【典例2-2】已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
已知式 目标式 方法选取
和式 积式 基本不等式
积式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
积式 积式 柯西不等式
【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【答案】D
【解析】，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正实数x，y满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
【变式2-3】（多选题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，即，当且仅当时等号成立，
所以，故A错误；
对于B，由，得，
即，则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，，
又，所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BCD.
1．（多选题）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD
【解析】对于A,,则,计算可得,当且仅当时，取得最大值为.故A正确；
对于B,，当且仅当,即,有最小值4，故B错误；
对于C,，解得,当且仅当,有最大值为，故C正确；
对于D，由于，则，当且仅当,有最小值为，故D正确.
故选：ACD.
2．（多选题）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，即，当且仅当，即时等号成立，故A错误；
对于B，，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，故D正确；
故选：BCD．
3．（多选题）已知正实数满足，则（ ）
A．的最大值为2
B．的最小值为1
C．的最大值为2
D．的最小值为1
【答案】AC
【解析】由，可得，令，，所以，，
对于A，则，当时，取最大值为2，故A正确
对于B，
当时，的最大值为1，故B错误；
对于C、D，由B可得，由，则，故C正确，D错误.
故选：AC
4．（多选题）（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的取值范围为
【答案】BC
【解析】正实数a，b满足，，
对于A，，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
题型三：柯西不等式二元式
【典例3-1】[新考法]（多选题）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【解析】对于A选项，根据柯西不等式.
因为，所以，即.
所以，则，当且仅当时取等号，
A选项正确.
对于B选项，令，，则.
根据柯西不等式.
即.当且仅当取等号，
所以，B选项错误.
对于C选项，根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误.
对于D选项，令，，则.
根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.
所以，D选项正确.
故选：AD.
【典例3-2】（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由得：，
（当且仅当，即时取等号），
（当且仅当时取等号），
即当时，，
，解得：，可能的取值为.
故选：BCD.
设，，，，有 当且仅当时等号成立．
【变式3-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
【答案】3
【解析】解:由柯西不等式可知
由能成立.
故答案为：3.
【变式3-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，
，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值为.
故答案为：
1．已知，，是正实数，且，则的最小值为 .
【答案】10
【解析】由柯西不等式可得，
所以，即，
当且仅当即也即时取得等号，
故答案为：
2．[新考法]设角、均为锐角，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，
所以，
，
当且仅当时取等，
令，，，
所以 .
则的范围是：.
故答案为：
3．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由柯西不等式
而，所以时等号成立，
故答案为：.
题型四：齐次化与不等式最值
【典例4-1】[新考法]若正实数，满足，则的最小值是 .
【答案】4
【解析】设，则，即，
若，则，而，仅当时等号成立，
所以，显然与矛盾，所以，
由上，由，即，则，
所以
，当且仅当时等号成立，
所以，，即，时，目标式最小值为4.
故答案为：4
【典例4-2】设，则的最大值为 .
【答案】
【解析】，
，
令
又，
，当且仅当时等号成立,
,
在上单调递减，
时，
的最大值为.
故答案为：
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
【变式4-1】已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】∵，，，∴，且，
则
令 ，
原式
，
当且仅当，即取等号，故的最小值为.
故答案为：
【变式4-2】已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为正实数a，b，满足，所以，
当且仅当时，等号成立；
由正实数a，b，满足，可得，
所以
，
而，当且仅当 ，即 时取等号，
，
当且仅当时，即时取等号
故答案为：；
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解析】由，则
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：C.
2．[新考法]已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.
故选：D.
3．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】又，所以，
所以，
当且仅当，即，或取等号，
所以或.
故选：D
题型五：复数的四则运算
【典例5-1】若复数满足，则（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，即，
所以.
故选：B
【典例5-2】若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若复数满足，
则.
故选：D.
1、复数运算
（1）
（2）
，
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故，
因为，所以，
故选：B
【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数满足若，则=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
所以.
故选：D
【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，则的实部为且虚部不为，
，
则，，
因为，故，即，
则有，解得或或，
当时，，则，舍去；
当时，，即，则，舍去；
当时，，则，
故，即，共有两个.
综上所述，这样的复数共有两个.
法二：设的辐角为，，
表示将复数在复平面内逆时针旋转，
由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称，
则解得：或或或，
易知：时，，舍去，
故，故有两个不同的复数满足题意.
故选：B.
1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
则，
所以.
故选：B.
2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A，因为，故，因为为虚数，故，故A正确；
对B，由可得，故，故B正确；
对C，当时，，此时成立，
当时，，此时成立，故C正确；
对D，，因为，，
故，故D错误.
故选：D
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设方程的根为，
代入方程，,整理得，
故，则，
不妨令，，
对于A：因为，即，故A错误；
对于B：，故B错误.
对于C:,
，
因此，,故C错误.
对于D：,故D正确.
故选:D.
4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【答案】D
【解析】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故选：D.
题型六：复数的几何意义
【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】C
【解析】设，
因为，
所以，
其几何意义为任意一点到点于的距离和为，
又点和之间的距离小于，符合椭圆定义，
所以复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆.
故选：C.
【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，
所以在复平面内对应点的坐标为.
故选：A
复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【变式6-1】已知复数，其中且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】复数，其中且，
复数在复平面内对应的点，在直线上，
的几何意义是点到点的距离，
其最小值为点到直线的距离，最小值为.
故选：D
【变式6-2】已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．复数在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数在复平面内所对应的点为，则
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，又，A错误；
对应的点的坐标为，B错误；
由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，
又，因此，C正确；
对应的点的坐标为，因此，D错误，
故选：C．
【变式6-3】设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设，，
若在复平面内对应的点位于第一象限，则，
则，
所以的实部，虚部，故对应点在第二象限，
所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”；
若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知，
所以且，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限，
所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”；
由上可知，属于充要条件，
故选：C.
1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【解析】设，
因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，
又，
所以表示圆C上的动点到定点的距离，
所以为，
故选：B．
2．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．的虚部为 B．对应的点在第二象限
C． D．
【答案】C
【解析】由可知，则逆时针旋转后相应点为，
所以，即，其虚部为，故A错误；
，其对应的点在第三象限，故B错误；
，故C正确；
，
则，故D错误.
故选：C
3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上
B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上
D．若，则点Z在抛物线上
【答案】BD
【解析】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这符合椭圆定义，故B正确；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，点在抛物线，故D正确．
故选：BD．
重难点突破：不等式与复数新定义问题
【典例7-1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由已知可得，
即.
因为，所以，
则
，
当且仅当时等号成立,故，
故选：D.
【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为，， 复数在复平面的对应的点为,
所以点Z在以为圆心、以r为半径的圆上或圆内.
对于选项A，B，由复数的几何意义可得表示点Z与的距离，
又点到点的距离为，
所以的最大值为，A正确，
的最小值为，B正确，
对于C，过点作以 为圆心，为半径的圆的切线，设切点为，
设，则或，
所以，所以，所以C错误.
对于D，设，有（其中是z的辐角的主值），
由于，所以，所以D正确.
故选：ABD.
面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。
复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。
【变式7-1】（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位，和，而且它们有如下关系：．四元数一般可表示为，其中为实数．定义两个四元数：，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：．关于四元数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，则
【答案】AD
【解析】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：设，由两个四元数之间的乘法定义得，
，故B错误；
对于C：设，
则
当，有，
所以与不一定相等，故C错误；
对于D：设，
因为，
所以，解得，
所以，故D正确，
故选：AD．
【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，又，
所以，当且仅当，即时取等号，
故选：C
【变式7-3】定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】当且仅当，即时等号成立，
当，即时，，此时的最大值为1；
当，即时，，
综上所述，的最大值为1.
故选：C
1．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设复数，若，因为，则无解，
所以，将代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因为，
设，所以，
所以，
所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，
所以，从而最大，故B错误；
若，，则，
所以当，或，
时，则，C正确；
若，此时，则，A正确；
若，此时，则，D正确；
故选：ACD.
2．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内表示一个圆
B．若，则方程无解
C．若为虚数，且，则
D．复数满足，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A错误；
B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确；
C：若为虚数，且，设，则，
所以，所以，故C正确；
D：设，
根据复数的新定义有，
所以，且，
所以，
所以是，
所以，故D正确；
故选：BCD.
3．（多选题）（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为
C．的最大值为6 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】因为，且，
对于选项A：因为，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于选项B：因为，可得，即
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为6，故C错误；
对于选项D：，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 不等式与复数
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 8
题型一：基本不等式二元式 8
题型二：和式与积式 9
题型三：柯西不等式二元式 10
题型四：齐次化与不等式最值 11
题型五：复数的四则运算 12
题型六：复数的几何意义 14
重难点突破：不等式与复数新定义问题 15
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档..
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
基本不等式 掌握基本不等式的应用 2024年北京卷第9题，5分 2023年上海卷第6题，4分 2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2025年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！
复数的四则运算 熟练掌握并灵活应用复数四则运算法则 2024年新高考甲卷第1题，5分 2023年新高考I卷第2题，5分 2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分
复数的几何意义 理解复数的几何意义，能直观应用 2023年新高考II卷第1题，5分 2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024年北京高考数学真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024年上海市1月春考数学试题）已知，的最小值为 ．
7．（2024年天津高考数学真题）是虚数单位，复数 ．
8．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
13．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ．
题型一：基本不等式二元式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式可变形为：或，其中．
【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ）
A．13 B． C． D．8
【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（多选题）若实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[新考法]设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：和式与积式
【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
已知式 目标式 方法选取
和式 积式 基本不等式
积式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
积式 积式 柯西不等式
【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（多选题）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（多选题）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
2．（多选题）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选题）已知正实数满足，则（ ）
A．的最大值为2
B．的最小值为1
C．的最大值为2
D．的最小值为1
4．（多选题）（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的取值范围为
题型三：柯西不等式二元式
【典例3-1】[新考法]（多选题）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【典例3-2】（多选题）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
设，，，，有 当且仅当时等号成立．
【变式3-1】存在正数使得不等式成立，则的最大值是 .
【变式3-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
1．已知，，是正实数，且，则的最小值为 .
2．[新考法]设角、均为锐角，则的范围是 ．
3．已知正实数满足，则的最小值为 ．
题型四：齐次化与不等式最值
【典例4-1】[新考法]若正实数，满足，则的最小值是 .
【典例4-2】设，则的最大值为 .
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
【变式4-1】已知，，，则的最小值为 .
【变式4-2】已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
2．[新考法]已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
题型五：复数的四则运算
【典例5-1】若复数满足，则（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【典例5-2】若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
1、复数运算
（1）
（2）
，
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数满足若，则=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（ ）个.
A． B． C． D．
1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．3 B． C．4 D．5
2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
题型六：复数的几何意义
【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
【变式6-1】已知复数，其中且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式6-2】已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．复数在复平面内所对应的点的坐标是
C．
D．复数在复平面内所对应的点为，则
【变式6-3】设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
2．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．的虚部为 B．对应的点在第二象限
C． D．
3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数（，i为虚数单位）在复平面内内对应点，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则点Z在圆上
B．若，则点Z在椭圆上
C．若，则点Z在双曲线上
D．若，则点Z在抛物线上
重难点突破：不等式与复数新定义问题
【典例7-1】定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．
D．
面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。
复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。
【变式7-1】（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位，和，而且它们有如下关系：．四元数一般可表示为，其中为实数．定义两个四元数：，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：．关于四元数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，则
【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
1．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内表示一个圆
B．若，则方程无解
C．若为虚数，且，则
D．复数满足，则的取值范围为
3．（多选题）（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导出一个基本不等式链，即已知正实数，有，当且仅当时等号成立．已知，且，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最大值为
C．的最大值为6 D．的最小值为
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