技巧03 数学文化与阅读材料的解析与答题方法
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 2
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 7
题型一：融合传统文化和数学史的数学阅读题 7
题型二：融合其他学科知识的数学阅读题 9
题型三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题 11
题型四：融合生活实际的数学阅读题 13
数学文化与数学阅读是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度适中．
数学文化与数学阅读试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础 上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．
1．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
3．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
题型一：融合传统文化和数学史的数学阅读题
【典例1-1】“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【典例1-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（ ）天参考数据：，，
A．18 B．30 C．51 D．69
【变式1-2】如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ，则此数列的第20项为（ ）
A．162 B．180 C．200 D．220
2．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：融合其他学科知识的数学阅读题
【典例2-1】波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法不正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．
【典例2-2】设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【变式2-1】天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点，，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列结论不正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．
C．的面积大于2 D．
【变式2-2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
1．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
2．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A． B． C． D．
题型三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题
【典例3-1】（多选题）“曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知双曲线左、右焦点为，，，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．
C．过点作垂直AM的延长线于H，则
D．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
【典例3-2】（多选题）游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．的最小值为a D．的单调增区间为
【变式3-1】2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，执行此次飞行任务的航天员有蔡旭哲、宋令东、王浩泽.所有航天员都需要在载人离心机中进行超重耐力与适应性训练.如图所示，离心机的座舱绕离心机的中心在水平面内做匀速圆周运动，若圆周运动的半径为8m，速度为每秒圈，则座舱运动m需要的时间为 s.
【变式3-2】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴含了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁部分的面积之和为 ．
1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是
2．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）
题型四：融合生活实际的数学阅读题
【典例4-1】天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）.
【典例4-2】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为；
②任意四棱锥的总曲率均为；
③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【变式4-1】某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：
①数列是严格增数列；②数列的前n项和满足；
③；④.
那么以上结论正确的是 （填序号）
1. 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)技巧03 数学文化与阅读材料的解析与答题方法
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 10
题型一：融合传统文化和数学史的数学阅读题 10
题型二：融合其他学科知识的数学阅读题 14
题型三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题 19
题型四：融合生活实际的数学阅读题 25
数学文化与数学阅读是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以选择题、填空题为主，难度适中．
数学文化与数学阅读试题一般从中外优秀传统文化和生产生活实际中挖掘素材，将数学文化、生活情境与高中数学知识有机结合．其解答过程大致需要实现两个转化：先是将实际问题转化为数学问题，然后再将数学问题转化为问题结果．具体地说，就是先通过阅读情境、审读题目，在明确对象、分析过程（或状态）的基础 上过滤情境，并构造出符合题意的数学模型，从而使“实际问题”转化为“数学问题”；接着选用恰当的数学方法求解作答，得出“问题结果”，并将其纳入原问题的情境中，予以“检验讨论”，对解题过程作出评价．其中过滤情境、构建模型的环节至关重要，它既是使复杂的实际问题转化为相应的数学问题的前提，也是正确选用数学方法、求解数学问题的依据，起着承上启下的关键作用．
1．（2023年北京高考数学真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，
所以.
因为平面，平面，所以，
因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，.
同理：，又，故四边形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因为，
所有棱长之和为.
故选：C
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
3．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
4．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【答案】.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
题型一：融合传统文化和数学史的数学阅读题
【典例1-1】“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明 《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【解析】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，
列方程得，即，
解得，
即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．
故选：C．
【典例1-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以为等边三角形，
因为，所以，
所以弧与弦围成的弓形的面积为
.
故选：B
【变式1-1】荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（ ）天参考数据：，，
A．18 B．30 C．51 D．69
【答案】D
【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍，
则 ，
故选：D.
【变式1-2】如图是一种帐篷示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，正脊与斜脊长度的比为，底面为矩形且长与宽之比为2∶1，若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则该二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意不妨设：正脊，斜脊，底面矩形的长为，宽，
设在底面的投影分别为，的中点分别为，
若各斜坡面与底面所成二面角都相等，则四点共线，，
且，则，可知二面角的平面角为，
过作，垂足为，连接，
因为平面，平面，可得，
且，平面，可得平面，
又因为平面，可得，
则二面角的平面角为，
可知，则，
即，可得，
即，可得，
则，可得，
所以所求二面角的正切值为.
故选：A.
1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ，则此数列的第20项为（ ）
A．162 B．180 C．200 D．220
【答案】C
【解析】由数列前10项的规律可知：
当为偶数时，；当为奇数时， ，
所以，
故选：C
2．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆内接正边形的边长为，圆的半径为，
如图所示，连接，取中点，连，令，
易知，，得到，
由题意知，周长（近似）为，所以，
得到，
故选：A.
题型二：融合其他学科知识的数学阅读题
【典例2-1】波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法不正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．
【答案】C
【解析】对于选项A，当时，，当时，，而，
当时，，若是无理数，则是无理数，
有，
若是有理数，则是有理数，当（、为正整数，为最简真分数），
则（、为正整数，为最简真分数），
此时，
综上，时，所以选项A正确；
对于选项B，若或或内的无理数，此时，显然不成立，
当（、为正整数，、互质），由，得到，
整理得到，又、为正整数，、互质，所以或均满足，
所以，关于的不等式的解集为，选项B正确；
对于选项C，取，，则，
而，所以选项C错误；
对于选项D，当或或为无理数且或或为无理数时，，
显然有，
当，（、、、是正整数，、是最简真分数）时，
，，故，
当，时，，有，
当，时，，，有，
当为无理数，时，，有，
综上，所以选项D正确.
故选：C.
【典例2-2】设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，因为，所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，65被7除所得余数也为2，所以．①正确．
对于②，若正整数能被13整除，则能被13整除，所以；若正整数不能被13整除，由费马小定理得，，则．②正确．
对于③，若正整数能被7整除，则能被7整除，所以；若正整数不能被7整除，由费马小定理得，即，又，所以．③正确．
对于④，当不能被5整除时，由费马小定理得，即，又，所以．④错误．
故选：C．
【变式2-1】天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线.已知两定点，，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列结论不正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．
C．的面积大于2 D．
【答案】C
【解析】由题意可知的轨迹方程为：，
则关于轴对称的点的横、纵坐标满足
，
同理关于轴对称的点，关于原点对称的点均满足轨迹方程，
，
，
即的轨迹关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称，故A正确；
将轨迹方程平方得：
，
整理得，
解得，
所以，即，故B正确；
又因为，故，故D正确；
又，当且仅当时取得最大值，故C错误.
故选：C.
【变式2-2】北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．已知卫星运行轨道近似为以地球为圆心的圆形，运行周期与轨道半径之间关系为（K为常数）．已知甲、乙两颗卫星的运行轨道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的运行轨道半径为，分别是甲、乙两颗卫星的运行轨道上的动点，则之间距离的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，设卫星乙的运行轨道半径为，因为，且，所以，
设地球的球心为，则，当且仅当与共线且位于两侧时取得等号，
故选：B．
1．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】由，，得，故①符合题意；
由图可知，，，故②不符合题意；
，，
，，
，故④不符合题意，③符合题意.
故选:C．
2．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选：B
题型三：融合社会热点和建设成就的数学阅读题
【典例3-1】（多选题）“曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知双曲线左、右焦点为，，，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．
C．过点作垂直AM的延长线于H，则
D．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
【答案】BCD
【解析】A选项：由双曲线，则，
离心率，A错误；
B选项：根据题意，满足双曲线方程，点在双曲线上，，
所以，
与双曲线方程联立，得到，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，
，故B正确；
C选项：，因为直线垂直于直线，所以.
因为，可求得.
两方程进行联立，解出，故C正确；
D选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在轴上的双曲线渐近线斜率，斜率的取值范围应为，故D正确.
故选：BCD
【典例3-2】（多选题）游客从杭州城站到西湖之滨，最先看到的是公园濒湖一带的护栏，南北绵延约1公里，柱与柱之间是一条条轻匀悬链，映照湖上的水光山色．德国数学家莱布尼兹把这种架在等高两柱间，自然下垂有均匀密度的曲线称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断中，正确的有（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．的最小值为a D．的单调增区间为
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称且，
为偶函数，故A错误，B正确；
，，
当且仅当 时，即取等号，故C正确；
因为，对于函数，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，且当时，当时；
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调增区间为，故D正确.
故选： BCD
【变式3-1】2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，执行此次飞行任务的航天员有蔡旭哲、宋令东、王浩泽.所有航天员都需要在载人离心机中进行超重耐力与适应性训练.如图所示，离心机的座舱绕离心机的中心在水平面内做匀速圆周运动，若圆周运动的半径为8m，速度为每秒圈，则座舱运动m需要的时间为 s.
【答案】3
【解析】由题设，每秒座舱旋转，故座舱每秒运动m，
所以座舱运动m需要的时间为秒.
故答案为：3
【变式3-2】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴含了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁部分的面积之和为 ．
【答案】
【解析】设的半径为，易知，的半径为，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
故，得到的面积为，
又第次裁剪操作的正方形边长为，
故第次裁剪操作裁掉的面积为，
所以第次裁剪操作后，裁掉的面积之和为，
所以第次操作后，所有被裁部分的面积之和为．
故答案为：.
1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是
【答案】
【解析】当位于半圆弧中点时，，而，所以，，
．
以为建立平面直角坐标系，如图，
由已知，
因此半圆弧的方程为（在直线上方的部分），
在半圆弧（包括端点）上，则，
，
，
又，所以，
由对称轴，当在半圆弧（包括端点）
上时，，
同理当在半圆弧（包括端点）上时有，在半圆弧（包括端点）
上时有，
综上，，
故答案为：；．
2．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位）
【答案】
【解析】由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的底面半径为，高为，
因为，
所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜.
故答案为：.
题型四：融合生活实际的数学阅读题
【典例4-1】天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）.
【答案】
【解析】设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津，
若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为；
若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为；
则，且,
所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高.
故答案为：，
【典例4-2】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为；
②任意四棱锥的总曲率均为；
③若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确的结论是 （填写序号）.
【答案】①②③
【解析】对于①，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故①正确；
对于②，由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故②正确；
对于③，设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故③正确.
故填：①②③
【变式4-1】某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：
①数列是严格增数列；②数列的前n项和满足；
③；④.
那么以上结论正确的是 （填序号）
【答案】②③
【解析】对于①，由题意可知，，，.
由已知，则当时，单调递增.
所以，时，由已知可知，单调递增，且.
所以数列在时，为严格增数列.
但是该数列的前三项不满足，故①错误；
对于②，当时，有
，
，
，
，
，
，
两边同时相加可得，，
所以，，故②正确；
对于③，由已知可得，，
，
，
，
两边同时相加可得，，故③正确；
对于④，当时，左边为，右边为，显然不成立，故④错误.
所以，结论正确的是②③.
故答案为：②③.
1. 我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 .
【答案】/
【解析】依题意分析可知，当伞完全张开时，，因为为的中点，
所以，，当伞完全收拢时，，
所以，，
在中，，
则为锐角，所以，
所以.
故答案为：
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