人教版八年级数学下册第十七章勾股定理 章节复习题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册第十七章勾股定理 章节复习题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-26 08:32:40 | ||
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文档简介
《第十七章勾股定理》章节复习题
一、单选题
1．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，4，6 B．6，8， C．3，4，5 D．
2．如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．169 B．144 C．30 D．25
4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C ． D．
5．如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
6．如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长 ”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，于点是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
12．的三边长分别为，和，则其最大边上的高为 ．
13．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
14．如图，，点在线段上，，，则的长为 ．
15．已知关于x，y的方程组的解中的x，y的值分别为等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则 ．
16．如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为 ．
17．如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ．
18．如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ．
三、解答题
19．如图，中，，．
（1）在上找一点，连接，使得为等边三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求的长．
20．如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
21．如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图，在三角形零件的内部，边上的垂直平分线与分别交于点D、E，根据安全标准该零件需满足，现已知．
（1）该零件是否符合安全标准，请说明理由；
（2）若测量出，，请求的长度．
22．已知：在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，CD＝13．
（1）求AC的长．
（2）ACD是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
（3）求这块空地的面积．
23．在中，，进行如下操作：
（1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长；
（2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长．
24．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程．
参考答案：
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义进行判断作答即可．
解：A中，不是勾股数，故不符合要求；
B中，不是勾股数，故不符合要求；
C中，是勾股数，故符合要求；
D中不是正整数，不是勾股数，故不符合要求；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正确做出辅助线是正确解决本题的关键．
作数轴于点D，利用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出，进而求出即可．
解：解∶作数轴于点D，
正六边形的外角和为，
，，
，，
，
，
．
即点C表示的数为．
故答案为：B．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，在由勾股定理得到，由题意得，，则，在中，根据勾股定理得出：，则阴影部分面积．
解：如图所示：
在中，根据勾股定理得出：，
由题意得，，
，
在中，根据勾股定理得出：，
阴影部分面积．
故选：D．
4．D
【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断．
解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
5．B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答．
解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
6．D
【分析】连接，利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，据此即可求解．
解：连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴这块菜地的面积为，
故选：D
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确翻折前后对应边相等，利用勾股定理列方程求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理列出方程即可求得长，进而可求出的面积．
解：由题意得，
设，则，
∵，
∴在中，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得即，
∴，
∴的面积为．
故选A
8．C
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程．
解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：C
9．A
【分析】本题考查了几何体平面展开最短路线问题，勾股定理的应用；把中间墙在平面内展开，则原长方形的长增加，宽不变，连接，由勾股定理即可求得长，从而问题求解．
解：如图，将墙展开，长方形长度增加，则，连接，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
，
∴蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，它至少要走．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等求出，再利用勾股定理求出，再由已知条件求出，进而可求出答案．
解：∵，，，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了实数与数轴的有关问题．先求出单位正方形的对角线的长，据此求解即可．
解：由题意可知：正方形的对角线的长为，
则点表示的数为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得出这个三角形为直角三角形是解本题的关键．根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵，
∴以，和为三边的三角形为直角三角形，
设这个三角形最长边上的高为，
则，
解得：，
故答案为：．
13．10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，
过作于E，则，
在直角三角形中，．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．
14．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
运用“”判定，可证，再根据勾股定理即可求解．
解：∵，
∴在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查勾股定理、解二元一次方程组等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出方程组的解，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：由，
解得 ，
∵，
∴n为直角边长，为斜边长，
由题意：，
解得：，或（舍去）
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的性质及勾股定理．根据全等三角形的性质及勾股定理列方程求解．
解：过作于，
由作图得：平分，
，，．
，，
，
，
，
，
设．
则，即：，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得，，，则，，再由的周长，即可求解．
解：由折叠可得，，，
，，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键．
解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，
由图可知：
故答案为：
三、解答题
19．
（1）解：如图，点即为所求作．
（2）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，．
20．
解：（1）证明：∵，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则．
21．
（1）解：如图，连接BE，
∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且即；
∴该零件符合安全标准．
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
22．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC==12；
（2）是，理由是：
∵AC=12，AD＝5，CD＝13，
满足，即，
∴△ACD是直角三角形；
（3）空地的面积为：
==84．
23．
（1）解：由折叠的性质可得：，
∴在中，
设，则，
即
解得：，
即．
（2）在，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
设，则，，
则，
解
解得：，
即．
24．
（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）解：设，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．
一、单选题
1．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，4，6 B．6，8， C．3，4，5 D．
2．如图，正六边形的边长为1，顶点A与原点重合，将对角线绕点A顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．169 B．144 C．30 D．25
4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C ． D．
5．如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
6．如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长 ”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，于点是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
12．的三边长分别为，和，则其最大边上的高为 ．
13．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
14．如图，，点在线段上，，，则的长为 ．
15．已知关于x，y的方程组的解中的x，y的值分别为等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则 ．
16．如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为 ．
17．如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ．
18．如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ．
三、解答题
19．如图，中，，．
（1）在上找一点，连接，使得为等边三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求的长．
20．如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
21．如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图，在三角形零件的内部，边上的垂直平分线与分别交于点D、E，根据安全标准该零件需满足，现已知．
（1）该零件是否符合安全标准，请说明理由；
（2）若测量出，，请求的长度．
22．已知：在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，CD＝13．
（1）求AC的长．
（2）ACD是直角三角形吗？如果是，请说明理由．
（3）求这块空地的面积．
23．在中，，进行如下操作：
（1）如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长；
（2）如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长．
24．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程．
参考答案：
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键．
根据勾股数的定义进行判断作答即可．
解：A中，不是勾股数，故不符合要求；
B中，不是勾股数，故不符合要求；
C中，是勾股数，故符合要求；
D中不是正整数，不是勾股数，故不符合要求；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正确做出辅助线是正确解决本题的关键．
作数轴于点D，利用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出，进而求出即可．
解：解∶作数轴于点D，
正六边形的外角和为，
，，
，，
，
，
．
即点C表示的数为．
故答案为：B．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，在由勾股定理得到，由题意得，，则，在中，根据勾股定理得出：，则阴影部分面积．
解：如图所示：
在中，根据勾股定理得出：，
由题意得，，
，
在中，根据勾股定理得出：，
阴影部分面积．
故选：D．
4．D
【分析】勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断．
解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
5．B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答．
解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
6．D
【分析】连接，利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，据此即可求解．
解：连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴这块菜地的面积为，
故选：D
7．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确翻折前后对应边相等，利用勾股定理列方程求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理列出方程即可求得长，进而可求出的面积．
解：由题意得，
设，则，
∵，
∴在中，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得即，
∴，
∴的面积为．
故选A
8．C
【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程．
解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：．
故选：C
9．A
【分析】本题考查了几何体平面展开最短路线问题，勾股定理的应用；把中间墙在平面内展开，则原长方形的长增加，宽不变，连接，由勾股定理即可求得长，从而问题求解．
解：如图，将墙展开，长方形长度增加，则，连接，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
，
∴蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，它至少要走．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查了用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等求出，再利用勾股定理求出，再由已知条件求出，进而可求出答案．
解：∵，，，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了实数与数轴的有关问题．先求出单位正方形的对角线的长，据此求解即可．
解：由题意可知：正方形的对角线的长为，
则点表示的数为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得出这个三角形为直角三角形是解本题的关键．根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可．
解：∵，
∴以，和为三边的三角形为直角三角形，
设这个三角形最长边上的高为，
则，
解得：，
故答案为：．
13．10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，
过作于E，则，
在直角三角形中，．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．
14．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
运用“”判定，可证，再根据勾股定理即可求解．
解：∵，
∴在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查勾股定理、解二元一次方程组等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出方程组的解，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：由，
解得 ，
∵，
∴n为直角边长，为斜边长，
由题意：，
解得：，或（舍去）
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的性质及勾股定理．根据全等三角形的性质及勾股定理列方程求解．
解：过作于，
由作图得：平分，
，，．
，，
，
，
，
，
设．
则，即：，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得，，，则，，再由的周长，即可求解．
解：由折叠可得，，，
，，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，确定各部分图形的面积关系是解题关键．
解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，
由图可知：
故答案为：
三、解答题
19．
（1）解：如图，点即为所求作．
（2）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，．
20．
解：（1）证明：∵，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则．
21．
（1）解：如图，连接BE，
∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且即；
∴该零件符合安全标准．
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
22．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，
∴AC==12；
（2）是，理由是：
∵AC=12，AD＝5，CD＝13，
满足，即，
∴△ACD是直角三角形；
（3）空地的面积为：
==84．
23．
（1）解：由折叠的性质可得：，
∴在中，
设，则，
即
解得：，
即．
（2）在，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
设，则，，
则，
解
解得：，
即．
24．
（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）解：设，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
（3）设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：．