人教版八年级数学下册 17.1 勾股定理同步提高测试（含解析）

17.1 勾股定理
一、单选题
1．如图，点为的边上一点，已知，折线与折线的长度相等，则直角边的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
2．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
3．勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
4．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　）

A．元 B．元 C．元 D．元
6．（如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（ ）

A． B． C．2 D．3
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，在轴上取点，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边三角形，使得点落在第一象限，连接．若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．8 D．
8．如图，在中，，将沿折叠得到，点与点重合，连接，交于点，在线段上取一点，使得．连接，则点到的距离是（ ）
A． B． C．8 D．
9．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中：
①；
②为等腰三角形；
③；
④，
⑤的最小值是；
正确的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图，是一块等腰三角形空地示意图量得，，若从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是 m．

12．已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在直线的同侧，点E是的中点，B，D两点之间的距离为 ．

13．如图，中，，，，将三角板的直角顶点D放在的斜边的中点处，交于点M，交于点N．将三角板绕点D旋转，当时，的长为 ．

14．在中，点D，E分别为，上的动点．如图，，，，当时，则的值最小为 ．
15．如图，在中，，，，，以为圆心，为半径画弧，交斜边于点，，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①是等边三角形，②，③，④
16．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于直线和直线的二次对称点．若点关于直线对称得到点，点为点C关于直线和直线的二次对称点，当是直角三角形时，则 ．

18．在中，，为上一点，连接交于，交于，若，，，则 ．
三、解答题
19．如图，为海中的两座小岛，为海岸上的信号塔．已知小岛A在信号塔C的北偏西方向80海里处，小岛B在信号塔C的南偏西方向60海里处．
（1）求小岛A与小岛B之间的距离；
（2）一艘轮船从小岛A出发，沿直线向小岛B航行．若信号塔的信号有效覆盖半径为50海里，问：轮船在航行过程中，能否收到信号塔C的信号？
20．如图，在平面直角坐标系中，，，，点在线段上（不与点，A重合），连接，将沿折叠得到，延长交于点，连接．
（1）求证：．
（2）当点位于不同位置时，的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周长．
（3）设，，直接写出当点A，的距离最小时，的值．
21．如图，的顶点在直线上，已知，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作关于直线的对称图形；
（2）应用与计算：在（1）的条件下，若，求的长．
22．【问题提出】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接
①求证：
②若，求的长．
【问题拓展】
（2）如图2，和都是等边三角形，连接，若，求的面积
23．已知在，，点P在边上，连接．
（1）如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：；
（2）过点P作，交边于点D，
①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数；
②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　．
24．（12分）在长方形中，，是对角线上不与点、重合的一点，过点作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接.
（1）如图，若点的对称点落在线段上，的延长线交于点.
求证：；
若，，求证：；
（2）如图，当点的对称点落在的延长线上，此时.
当，时，试通过计算三角形的边长，判断与是否全等，并说明理由；
若将绕点逆时针旋转角度得，射线与相交于点，射线与直线相交于点，试直接写出线段、、、之间的数量关系.
参考答案：
一、单选题
1．C
【分析】本题考查勾股定理，根据，已知，由折线与折线的长度相等，可以设为，则为，由勾股定理即可求得．
解：∵折线与折线的长度相等，
∴，
设为，则为，
在中，有，
即
解得：，
故
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．
解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为，
根据勾股定理，可得另一直角边长为，
则需购买红地毯的长为，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为，
所以共需购买红地毯．
故选：A．
3．A
【分析】根据勾股定理的证明方法可知一般通过面积法证明，据此分析即可求解．
解：B，C，D选项通过面积法可以证明勾股定理，A选项不能证明勾股定理，
故选：A．
4．D
【分析】根据题意得为偶数，设其股是a，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵m为正整数，
∴为偶数，设其股是a，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
∴弦是，
故选：D．
5．C
【分析】利用三角形内角和与等角对等边的性质求出，利用勾股定理求出，从而可求出的面积，由绿色植被每平方米造价40元，即可得出答案
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵绿色植被每平方米造价40元，
∴铺满这块空地需要元，
故选：C

6．B
【分析】根据勾股定理和已知条件可得，，证明，得出，求出，利用勾股定理求出，即可得出答案.
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
设的延长线交于点F，如图，
则，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则在直角三角形中，，
∴；
故选：B.

7．B
【分析】在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，证明，得出，证明轴，说明点F在过点M且平行于x轴的直线上，作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，说明当点F在点H处时，最小，且最小值为，求出最小值即可．
解：在直线上取点M，使，连接，过点M作轴于点G，连接并延长，交y轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即轴，
∴点F在过点M且平行于x轴的直线上，
∴轴，
∴，
作点O关于的对称点N，连接，交于点H，连接，
则，，
∴，
∴，
∵两点之间相等最短，
∴当点F在点H处时，最小，且最小值为，
根据勾股定理得：，
即最小值为．
故选：B．
8．D
【分析】作于点，由，，得，由勾股定理得，由折叠得垂直平分，则，可求得，则，由，得，利用角平分的性质以及等积法，耙犁，，设点到的距离是，则，得，于是得到问题的答案．
解：作于点，则，
，，
，，
，
将沿折叠得到，点与点重合，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，即是的平分线，
∴，
∴，
设与交于点，作于点，
∴，设，
∵，
∴，解得，∴，
，
设点到的距离是，则，
，
，
点到的距离是，
故选：D．
9．D
【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．
解：过点作，过点作，连接交于点，如图，
在中，，
在中，，
∴
∵，
∴设，则，
∴
解得，,
∴,
∴；
在中，，
在中，，
设，则
同理可得，，
解得，，
∴
∴
∴
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，
故选：D．
10．C
【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案.
解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，，而，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故②符合题意；
∵，，
∴，故③符合题意；
∵，，，
∴，故④符合题意；
如图，过作于，过作于，而，平分，
∴，
∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，

∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴的最小值为1；故⑤不符合题意；
故选C
二、填空题
11．
【分析】过点D作，从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，根据勾股定理，即可求解．
解：过点D作，

从点B向铺设一条输水管道，则管道的最小长度是的长，
∵
∴在中，，
在中，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：
12．
【分析】连接．证明，从而可得，再利用勾股定理求解即可．
解：如图，连接，

，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
故答案为：．
13．
【分析】延长至点G，使得，连接、、，易证，得到，，利用三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质，得到，设，则，，，再利用勾股定理列方程，求得，即可得到的长．
解：如图，延长至点G，使得，连接、、，

是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
设，
在中，，
，
，，
，，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，含角直角三角形的性质，勾股定理，过点B作，且，连接，，先利用证明，得到，进而得到有最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可．
解：过点B作，且，连接，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点A，点D，点F三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
∵，，，
∴，，
在中，
由勾股定理，得．
故答案为：．
15．①③
【分析】根据作图可得，根据等边三角形的判定可判断①；在中利用三边关系定理可判断②；根据等边三角形的性质和的直角三角形可判断③；根据勾股定理可判断④
解：∵，，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧，交斜边于点，，
∴，
∴是等边三角形，故说法①正确；
在中，，，，
∴，故说法②错误；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故说法③正确；
∵，，，，，
∴，
∴，故说法④错误，
∴说法正确的是①③．
故答案为：①③．
16．140
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得．
解：如图甲，
由题意可知，为等腰直角三角形，
，
过点A作于点D，
，
设，
由勾股定理得：，
，
，
如图乙，
过点作于点，
图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，
，，
，
梯子长度不变，
，
在中，，
，
解得：，
，
若点A与地面的距离为时，如图丙，
过点A作于点F，
，，
在中，，
，
解得：，
，
此时点与点的距离是．
故答案为：140．
17．
【分析】表示出点和点的坐标，再利用勾股定理列方程即可解答．
解：点关于直线对称得到点，
，
设，
点为点C关于直线和直线的二次对称点，
，得，
，
当是直角三角形时，只存在一种情况，
，
可得方程，
解得，
故答案为：．
18．12
【分析】作的平分线交于，交于，结合可得
，进而可证，得到，推出，即可证明，得到，最后在中用勾股定理计算即可．
解：作的平分线交于，交于，如图
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：如图,
由题意得：，，
．
，，
．
小岛A与小岛B之间的距离为100海里．
（2）解：过点作交于点．
，
．
，
．
．
答：轮船在驶向处的过程中，能收到灯塔信号．
20．
解：（1）证明：∵，，，
∴，，
根据折叠可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）解：的周长不变；
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
（3）解：∵，
∴点D在以C为圆心，以为半径的圆上，
∴连接，当D在上时，最小，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，连接交于点F，
∵和关于直线对称，点C和点是对应点
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴．
22．
解：（1）①∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点C作于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、D、E三点共线，
在中，，
∴；
（2）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A、E分别作的垂线，垂足为G、H，
∴，，
∴，
∵，
∴
，
∴．
23．
解：（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，取的中点E，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，点P是线段的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即的度数为；
②∵，，，
∴，
分两种情况：
a、如图3，时，
由（1）可知，，
过点P作于点M，
则，
∴，
设，则，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴；
b、如图4，时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
综上所述，的长等于或，
故答案为：或．
　　　　
24．
解：（1）∵四边形是长方形，
∴，即，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）与不全等，理由：
由折叠性质可知：，，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
三边为：，，，
三边为：，，，
显然与不全等，
，理由：
如图，连接，过作于点，过作于点，
∴，，
又∵，
∴由勾股定理得：，
，，，，
∴．