(共25张PPT)
16.3.1分式方程及其解法
第16章 分式
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
教学目标
理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式。
掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
理解分式的基本性质，能利用分式的基本性质对分式进行约分和通分。
通过类比分数的相关知识学习分式，体会类比的数学思想方法，培养学生的观察、分析、归纳能力。
让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念。
分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
分式的基本性质。
（二）教学难点
理解分式的概念中分母含有字母的意义。
灵活运用分式的基本性质进行分式的约分和通在本节课的教学过程中，通过生活实例引入分式概念，学生较容易理解。在讲解分式有意义、无意义及值为零的条件和分式基本性质时，类比分数的相关知识，大部分学生能较好地掌握。但在课堂练习中发现，部分学生在判断分式和运用分式基本性质进行变形时仍存在一些错误，在后续教学中需加强针对性练习，进一步巩固学生对分式相关知识的理解和掌握。同时，在教学方法上，可更多地引导学生自主探索和合作交流，提高学生的学习积极性和主动性。分。
1、掌握解分式方程的基本思路和解法；
2、理解分式方程可能无解的原因；
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
问题引入
上面的方程有何特点？
观察分析后，发表意见，达成共识：
提问：你还能举出一个类似的例子吗？
特征：方程的两边的代数式是分式。或者说分母中含有末知数的方程.
问题引入
例：判断下列各式哪个是分式方程．
分析：
根据定义可得：
(1)、(2)是整式方程
(3)是分式
(4)(5)是分式方程
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
思考 ：怎样解分式方程呢？
请同学们先思考并回答以下问题：
（1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
（2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
方程（1）可以解答如下：
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，
约去分母，得
80（x-3）=60(x+3).
解这个整式方程，得
x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
试动手解一解右边的方程.
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
解方程：
请你动手做一做：
例：解方程：
.
解：方程两边同乘以（x2-1）,
约去分母，得
x+1=2
解得 x=1
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.所以原分式方程无解.
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
例:解方程：
解：
方程两边同乘以 得
∴x=5是原方程的解.
约去分母
检验：当
(2)
注意：解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程一定要验根！
解：方程两边同乘以
约去分母，得
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1.给出下列方程：，，， ，其中
分式方程的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2024大连一模] 对方程两边同乘以 ，
约去分母后的式子为( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.[2024泸州] 分式方程 的解是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.已知关于的分式方程无解，则 的值为
( )
A
A.或 B.
C.或 D.
【点拨】， ，
， .
当，即 时，整式方程无解，则原分式方程无
解；当，即时，分式方程有增根 ，则分
式方程无解，则，解得.综上， 的值为
2或 .
返回
5.若关于的分式方程的解为，则 ___.
1
【点拨】方程两边同乘以 ，得
，解得 分式方程
的解为, .
返回
6. 解方程：
（1） ；
【解】方程两边同乘以，约去分母，得 ，
解这个整式方程， .
经检验， 是原方程的解.
（2） .
方程两边同乘以，约去分母，得 ，
解这个整式方程，得 .
检验：当时， ，
是原方程的解.
返回
7. 以下是小张同学解分式方程的过程，请认
真阅读并完成相应的任务.
.
解： ，…………第一步
，…………第二步
.…………第三步
经检验， 是原方程的根.…………第四步
谢谢观看！(共29张PPT)
16.3.2分式方程的应用
第16章 分式
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
教学目标
理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式。
掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
理解分式的基本性质，能利用分式的基本性质对分式进行约分和通分。
通过类比分数的相关知识学习分式，体会类比的数学思想方法，培养学生的观察、分析、归纳能力。
让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念。
分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
分式的基本性质。
（二）教学难点
理解分式的概念中分母含有字母的意义。
灵活运用分式的基本性质进行分式的约分和通在本节课的教学过程中，通过生活实例引入分式概念，学生较容易理解。在讲解分式有意义、无意义及值为零的条件和分式基本性质时，类比分数的相关知识，大部分学生能较好地掌握。但在课堂练习中发现，部分学生在判断分式和运用分式基本性质进行变形时仍存在一些错误，在后续教学中需加强针对性练习，进一步巩固学生对分式相关知识的理解和掌握。同时，在教学方法上，可更多地引导学生自主探索和合作交流，提高学生的学习积极性和主动性。分。
1、理解数量关系正确列出分式方程；
2、在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题；
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1、做一做：
一 、温故而知新
2、学案中的问题二
解方程：
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
分式方程
整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有3种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（3）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价.
【分析】有工作总量2640，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”．
等量关系为：乙用的时间-甲用的时间=2．
例1：某校招生录取时，为了避免数据输入出错，2640名学生的成绩分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2h输完数据。问：这两位操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）；
6.写:答案.
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单 施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
工作效率 工作时间 工作量
甲队
乙队
思考：这是____问题，总工作量为____
分析：
等量关系：甲队工作量+乙队工作量=1
工程
1
解：设乙队单独做需x个月完成工程，由题意，得
解得x=1
检验：当x=1时 6x≠0∴x=1是原方程的解
答：乙队施工速度快.
∴乙队单独做1个月完成
∵甲队1个月只做
∴乙队施工速度快
方程两边同乘以6x，得
2x+x+3=6x
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
例2：一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.
x=－18（不合题意，舍去），
解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
解得 x=±18.
检验得：x=18.
答：船在静水中的速度为18千米/小时.
农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得：
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
例3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得 ，
解得 x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
1.某市原计划在沿河地带种植树木20万棵，由于青年志愿者
的加入，实际每天植树比原计划多 ，结果提前4天完成
任务，设原计划每天植树 万棵，可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.[2024山东] 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改
造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的
时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的
产品件数为( )
B
A.200 B.300 C.400 D.500
返回
3.甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，
完成剩下的工作，设工作总量为1，每天结束后记录的工作
进度如下表，则完成这项工作共需( )
天数 第3天 第5天
工作进度
A
A.9天 B.10天 C.11天 D.12天
【点拨】设乙自己做需天，甲自己做需 （天）.
根据题意，得，解得，经检验
是分式方程的解，则完成这项工作共需
（天）.
返回
4.[2024自贡] 为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校
组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙
组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120
个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多
少个粽子.
【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均
每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得
.经检验，是原方程的解， .
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小
时包80个粽子.
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5. 某工程队承接了老旧小区改造工程中
1 000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用，
两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要， 两种
外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知 种
外墙漆每千克的价格比 种外墙漆每千克的价格多2元.
（1）求， 两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
【解】设种外墙漆每千克的价格是元， 种外墙漆每千克
的价格是 元，
根据题意,得解得
答：种外墙漆每千克的价格是26元， 种外墙漆每千克的价
格是24元.
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积
的 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多
5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
设甲每小时粉刷外墙的面积是 平方米，则乙每小时粉刷外
墙的面积是 平方米，
根据题意，得，解得 .
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
返回
课堂小结
1、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个 步骤。
2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间节设）的前提下找出等量关系。
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
谢谢观看！
