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17.1.1 变量与函数
第17章 函数及其图象
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
教学目标理解变量、常量的概念，能在具体问题情境中辨别变量与常量。
了解函数的概念，明确函数中自变量与因变量的关系，能判断两个变量之间是否存在函数关系。
会根据具体问题列出函数关系式，确定自变量的取值范围。
通过观察、分析实际问题中的数量关系，培养学生的抽象概括能力和数学建模思想。
让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式。
掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
理解分式的基本性质，能利用分式的基本性质对分式进行约分和通分。
通过类比分数的相关知识学习分式，体会类比的数学思想方法，培养学生的观察、分析、归纳能力。
让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念。
分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
分式的基本性质。
（二）教学难点
理解分式的概念中分母含有字母的意义。
灵活运用分式的基本性质进行分式的约分和通在本节课的教学过程中，通过生活实例引入分式概念，学生较容易理解。在讲解分式有意义、无意义及值为零的条件和分式基本性质时，类比分数的相关知识，大部分学生能较好地掌握。但在课堂练习中发现，部分学生在判断分式和运用分式基本性质进行变形时仍存在一些错误，在后续教学中需加强针对性练习，进一步巩固学生对分式相关知识的理解和掌握。同时，在教学方法上，可更多地引导学生自主探索和合作交流，提高学生的学习积极性和主动性。分。
了解变量与常量的意义；在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式..
了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围．
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
讲授新课
知识点一 变量与函数
【思考1】下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
讲授新课
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量.
此时也称y是x的函数.
概念学习
讲授新课
判断一个关系是否是函数关系的方法
（1）看是否在一个变化过程中；
（2）看是否存在两个变量；
（3）看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应.
三个条件缺一不可！
注意事项
讲授新课
典例精析
【例1】指出下列问题中的常量与变量:
(1)某水果店橘子的单价为 5元／kg，买a kg橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ；
(2)周长 C 与圆的半径 r 之间的关系式是 C＝2πr，其中常量是 ，
变量是 ；
(3)三角形的一边长是 5 cm，它的面积 S(cm2) 与这边上的高 h(cm) 的关系
式 中，其中常量是 ，变量是 ；
5
a，m
2，π
C，r
S，h
讲授新课
练一练
1、以 21 m/s的速度向上抛一个小球，小球的高度 h (m)与小球运动的时间 t (s)之间的关系是 h＝21t－4.9t2. 下列说法正确的是( )
A．4.9是常量，21，t，h是变量 B．21，4.9是常量，t，h是变量
C．t，h是常量，21，4.9是变量 D．t，h是常量，4.9是变量
B
2、下列说法不正确的是( )
A．正方形的面积 S＝a2 中有两个变量 S，a
B．圆的面积 S＝πR2 中 π 是常量
C．在一个关系式中用字母表示的量可能不是变量
D．如果 x＝y，则x，y都是常量
D
讲授新课
3.(1)某报纸每份 1.60 元，请写出购买 x 份该报纸与所需钱数 y (元)之间的关系式，并指出哪些量是常量，哪些量是变量．
(2)设圆柱的底面半径 R 不变，请写圆柱的体积 V 与圆柱的高 h 的关系式，并指出关系式中的变量与常量．
解：(1)y＝1.60x ， 1.60是常量 x，y是变量；
(2)V＝πR2h， π是常量，V，R，h是变量.
讲授新课
知识点二 函数的表示方法
问题2：用热气球探测高空气象
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
问题1：汽车刹车问题
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.
我们把通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
讲授新课
问题3：绘制气温变化曲线
时间t(时)
8
10
2
4
6
12
14
16
18
20
22
24
0
温度T( C)
2
4
6
8
-2
-4
0
我们把用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.
讲授新课
函数的三种表示法：
y = 2.88x
图象法、
列表法、
解析法．
1 4 9 16 25 36 49
知识要点
讲授新课
列表法
解析法
图象法
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
问题2
具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系
用数学式子表示函数关系的方法
问题3
准确地反映了函数随自变量变化的数量关系
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法
问题1
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
函数三种表示方法的区别
1.“沙漠之舟”——骆驼的体温随时间的变化而发生较大的变
化.在这一问题中，自变量是( )
A
A.时间 B.骆驼 C.沙漠 D.体温
2.下列关于变量，的关系，其中不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 ，则圆形
水波周长与的关系式为 .下列判断正确的是( )
C
A.2是变量 B. 是变量 C.是变量 D. 是常量
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量
的值是否可以改变 ，即是否可以取不同的值.
返回
4. 下表列出了一项实验的统计数据，表示
皮球从高度落下时弹跳高度与下落高度 之
间的关系，则与 之间的关系式是( )
50 80 100 150
25 40 50 75
D
A. B. C. D.
返回
5.某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树
木的分枝数为___，其中自变量是______，因变量是________.
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
分枝数 1 1 2 3 5
8
年份
分枝数
返回
6.如图，圆柱的高是 ，当圆柱的底面半径由小到大变化
时，圆柱的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化中，自变量是_____________
___，因变量是____________；
圆柱的底面半径
圆柱的体积
（2）当圆柱的底面半径由变化为
时，圆柱的体积增加了多少
【解】圆柱的体积增加了
.
返回
7.[2024石家庄栾城区期中] 如图，把两根木条和 的一
端用螺栓固定在一起，木条自由转动至 的位置.在转
动过程中，下面的量是常量的为( )
D
A.的度数 B. 的长度
C.的面积 D. 的长度
返回
实际问题的函数解析式中自变量取值范围：
1. 函数自变量的取值范围既要使实际问题有意义,同时又要使解析式有意义.
2.实际问题有意义主要指的是：
(1)问题的实际背景(例如自变量表示人数时,应为非负整数等) .
(2)保证几何图形存在(例如等腰三角形底角大于0度小于90度等).
总结提升
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17.1.2 变量与函数
第17章 函数及其图象
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
教学目标
理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式。
掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
理解分式的基本性质，能利用分式的基本性质对分式进行约分和通分。
通过类比分数的相关知识学习分式，体会类比的数学思想方法，培养学生的观察、分析、归纳能力。
让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验，激科学记数法教案
一、教学目标
理解科学记数法的概念，掌握科学记数法的表示形式。
能够正确运用科学记数法表示较大或较小的数。
通过实际问题的解决，体会科学记数法在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
经历从具体数字到科学记数法表示的探索过程，培养学生的观察、分析、归纳能力。
让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
科学记数法的概念及表示形式
a×10
n
（其中
1≤∣a∣<10
，
n
为整数）。
用科学记数法表示较大或较小的数。
（二）教学难点
确定
a
和
n
的值，尤其是
n
的确定方法。
理解科学记数法中
n
与原数整数位数或小数位数的关系。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些在生活中遇到的较大或较小的数的实例，如：
光在真空中的速度大约是
300000000
米 / 秒。
太阳的半径约为
696000000
米。
人体中红细胞的直径约为
0.0000077
米。
电子的质量约为
0.000000000000000000000000000911
千克。
提出问题：这些数在书写和阅读时方便吗？有没有更简便的方法来表示它们呢？从而引出本节课的主题 —— 科学记数法。
（二）讲授新课（25 分钟）发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
（一）教学重点
分式的概念。
分式有意义、无意义及分式值为零的条件。
分式的基本性质。
（二）教学难点
理解分式的概念中分母含有字母的意义。
灵活运用分式的基本性质进行分式的约分和通在本节课的教学过程中，通过生活实例引入分式概念，学生较容易理解。在讲解分式有意义、无意义及值为零的条件和分式基本性质时，类比分数的相关知识，大部分学生能较好地掌握。但在课堂练习中发现，部分学生在判断分式和运用分式基本性质进行变形时仍存在一些错误，在后续教学中需加强针对性练习，进一步巩固学生对分式相关知识的理解和掌握。同时，在教学方法上，可更多地引导学生自主探索和合作交流，提高学生的学习积极性和主动性。分。
会根据函数解析式求函数值.
能根据实际问题写出函数解析式.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
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小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
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典例讲解
1
1
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2
＋
问题1：填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么
问题引入
我们发现,横向的加数与纵向的加数之和为10.
1
1
2
3
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＋
问题2：如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试
写出y与x的函数关系式．
横向的加数与纵向的加数之和为10,即x+y=10,通过这个关于x,y的二元一次方程,可以求出y与x之间的函数关系式：
y=10－x
(01
1
2
3
4
5
6
7
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8
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2
3
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2
＋
问题3：当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加
数为6时，横向的加数为多少？
把x=3代入y=10-x中，得：y=7.
所以纵向的加数是7.
把y=6代入y=10-x中，得：x=4.
所以横向的加数是4.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时，y= ;
当x=3时，y= ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得x=
即当x= 时，y=0.
例1：试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．
【分析】根据等腰三角形两个底角相等的性质，以及三角形内角和为180度，可以得到关于x,y的二元一次方程：2x+y=180
利用变量之间的关系列出方程,再把方程变形,从而求出两个变量之间的函数关系.
方程变形为：
y=180－2x
(0分析：（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系；
（2）将x=1cm代入可得出重叠部分的面积．
例2：如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．
（1）试写出重叠部分面积y（cm2）与线段MA长度x（cm）之间的函数关系式；
（2）当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少？
解：（1）由题意知，开始时A点与M点重合，让正方形MNPQ向左运动，
两图形重合的长度为AM=x，
，0＜x≤10，
M
Q
N
P
A
B
C
X
X
（2）当MA=1cm时，重叠部分的面积是:
如果把题目改为“最后C与N重合，重合的图形面积y与x的关系式会怎样”？请自己动手画画
Q
N
P
A
B
C
X
X-10
M
拓展延伸
1.[2024亳州期末] 函数中，自变量 可取的值
是( )
A
A.5 B.3 C.0 D.
返回
2.科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室外温度的数量关系做
了如下记录：
蟋蟀每分钟鸣叫的次数 144 152 160 168 176
室外温度 76 78 80 82 84
如果这种数量关系不变，那么当室外温度为 时，蟋蟀每
分钟鸣叫的次数是( )
D
A.178 B.184 C.192 D.200
返回
3.某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收
费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元.若某人乘出租车
行驶的路程为千米，则需付费用（元）与 （千米）
之间的关系式是( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 据史书记载，漏刻
（如图所示）是中国古代的一种计时
工具，是古代人民对函数思想的创造
性应用.研究发现水位 与时间
满足，当为8时，
的值为( )
C
A.4.4 B.10 C.15 D.20
返回
5.某水池内有水，水泵每小时抽水 ，设水池内
剩余水量为，抽水时间为，则关于 的函数关系式是
______________， 的取值范围是___________.
返回
6.“十一”期间，小华一家人开车到距家250千米的景点旅游，
出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶50千米时，发现油箱剩
余油量为31.5升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）.
（1）求该车平均每千米的耗油量；
【解】 （升/千米）.
答：该车平均每千米的耗油量是0.07升.
（2）写出剩余油量（升）与行驶路程 （千米）之间的关
系式；
.
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往
返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由.
不能.理由如下：当时， .
， 他们不能在汽车报警前回到家.
返回
7. 在数轴上表示函数的自变量 的
取值范围正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】由题知，且，解得 .
返回
1.对于一些简单问题的函数解析式，往往可以通过利用已有的公式列出.
2.一些实际问题的函数解析式
例如:底边一定,三角形的面积随高的变化而变化.
先找出自变量x与函数y之间的等量关系
列出关于x, y的二元一次方程
然后用x表示y
最后还要考虑数量的实际意义
总结提升
谢谢观看！
