(共30张PPT)
18.1.1 平行四边形的性质
第18章 平行四边形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的定义和表示方法。
探索并证明平行四边形的性质定理，包括对边相等、对角相等、对角线互相平分，能运用这些性质定理解决简单的几何问题。
探究并掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等，能运用判定定理判定一个四边形是否为平行四边形。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生在探索平行四边形性质和判定的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
平行四边形的定义、性质和判定定理。
运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
平行四边形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的平行四边形图片，如伸缩门、楼梯扶手、停车位等，引导学生观察这些图形的共同特征。
提问：同学们，你们能从这些图片中发现什么共同的几何图形吗？这些图形有什么特点呢？从而引出本节课的主题 —— 平行四边形。
（二）讲授新课（30 分钟）
平行四边形的定义
给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
介绍平行四边形的表示方法，如图，平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”。
让学生在练习本上画出一个平行四边形，并标注顶点字母，用符号表示出来。
平行四边形的性质
探究活动 1：让学生用直尺和量角器测量自己画出的平行四边形的边和角，猜想平行四边形的对边、对角有什么数量关系。
学生汇报测量结果和猜想，教师进行总结归纳：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。
证明性质定理：
对于 “平行四边形的对边相等”，引导学生连接平行四边形的一条对角线 AC，将平行四边形分成两个三角形△ABC 和△CDA。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC。所以∠BAC = ∠DCA，∠DAC = ∠BCA。又因为 AC = CA，所以△ABC≌△CDA（ASA）。所以 AB = CD，AD = BC。
对于 “平行四边形的对角相等”，由△ABC≌△CDA 可得∠B = ∠D，再利用平行四边形邻角互补，可推出∠BAD = ∠BCD。
总结平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等。性质定理 2：平行四边形的对角相等。
练习 1：在□ABCD 中，已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长。
答案：因为平行四边形对边相等，所以周长为 2×(AB + BC)=2×(5 + 3)=16。
学习目标
掌握平行四边形的概念.
探索并熟练运用平行四边形的性质.
理解两条平行线之间的距离的概念.能熟练运用平行线之间的距离的概念去解题.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
读作：平行四边形ABCD
A
D
B
C
记作： ABCD
AB∥CD
AD∥BC
∵
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD
AD∥BC
∴
几何语言：
复习回顾
★平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线.
★ 平行四边形相对的边称为对边;
相对的角称为对角;
有一条公共边的角称为邻角.
A
D
C
B
线段AC就是 ABCD的一条对角线;
线段BD就是 ABCD的另一条对角线.
根据定义可知平行四边形的对边互相平行.除此之外还有什么性质呢？这就是本节课要探讨的课题……
D
B
A
C
1.画一个平行四边形ABCD；
2.用一张半透明的纸复制你画的平行四边形ABCD；
3.剪下你所复制的那个平行四边形；
4.将复制后的四边形绕某个点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形ABCD重合吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
猜想：
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
如图，已知平行四边形ABCD，其中AB // CD，AD // BC，
求证： AB=CD，AD = BC，∠ABC= ∠ADC， ∠BAD= ∠BCD.
分析：构造三角形，利用全等三角形的性质来得到对应边相等，对应角相等.在平行四边形中，连接任意一条对角线即可分成两个三角形.
证明：如图所示，连接AC.
A
B
C
D
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
∵ AB // CD，AD // BC ∴ ∠1=∠4， ∠2=∠3.
又 AC是△ABC 和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD， AD=BC， ∠B= ∠D.
∵ ∠BAD= ∠1+∠2， ∠BCD = ∠3+∠4，
∴ ∠BAD= ∠BCD.
思考 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
几何语言：
平行四边形定理1：平行四边形的两组对边分别相等.
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
∠A=∠C, ∠B=∠D
（平行四边形的对角相等）
∠A+∠B=180° ∠A+∠D =180°
（平行四边的邻角互补）
平行四边形定理2：平行四边形的两组对角分别相等.
推论： 平行四边的邻角互补.
例1 如图，在 ABCD中, ∠A =40。.求其他各内角的大小.
∵四边形ABCD是平行四边形
解：
且 ∠A =40。(已知),
∴ ∠A = ∠C=40。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等).
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）,
∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补),
∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 40。=140。
典例解析
D
A
B
C
例2 如图，在 ABCD中, AB=8,周长等于24.求余各边的长.
∵四边形ABCD是平行四边形
解：
且 AB =8(已知),
∴ DC = AB=8, AD= BC (平行四边形的对边相等).
又∵周长等于24,
∴ AB+BC+DC+AD=24,
∴ AD= BC= (24-2AB)= 4.
D
A
B
C
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n于B、D、F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形.
两条平行线间的距离相等.
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交n于B、D、F，交 m于A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
点到直线的距离
同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
数学语言：a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a、b之间的距离.
a
b
A
┐
B
距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
区别
联系
连接两点的线段的长度
点到直线的垂线段的长度
两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度
都是指某一条线段的长度
性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
数学语言：如图所示，A、C是直线l1上的任意两点.
l1
l2
A
B
┐
┐
C
D
∵ l1 // l2 ，AB⊥ l2 ，CD⊥ l2 ，
∴ AB=CD.
（第1题）
1. 生活中处处皆数学，如图是
“左侧通行”交通标识，其中四边形 为平行
四边形.若 ，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在平面直角坐标系中，
的顶点，点 ，点
，则点 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.如图，在中， 平分
，交于点， ，交
的延长线于点.若 ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
4.如图，，， ，则图中共有___个平
行四边形.
3
（第4题）
返回
5.[2024北京期中] 锐角为 的两个平
行四边形按如图所示的位置摆放.若
，则的大小为____ .
25
【点拨】 锐角为 的两个平行四边
形按如图所示的位置摆放，
，
.
，
， . .
返回
6.如图，中，对角线 ，
于点，且， ，则边
与边 之间的距离为_ __.
【点拨】 在中，对角线，于点 ，
且，.设边与边之间的距离为 ，
则，解得 .
返回
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18.1.2 平行四边形的性质
第18章 平行四边形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的定义和表示方法。
探索并证明平行四边形的性质定理，包括对边相等、对角相等、对角线互相平分，能运用这些性质定理解决简单的几何问题。
探究并掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等，能运用判定定理判定一个四边形是否为平行四边形。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生在探索平行四边形性质和判定的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
平行四边形的定义、性质和判定定理。
运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
平行四边形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的平行四边形图片，如伸缩门、楼梯扶手、停车位等，引导学生观察这些图形的共同特征。
提问：同学们，你们能从这些图片中发现什么共同的几何图形吗？这些图形有什么特点呢？从而引出本节课的主题 —— 平行四边形。
（二）讲授新课（30 分钟）
平行四边形的定义
给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
介绍平行四边形的表示方法，如图，平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”。
让学生在练习本上画出一个平行四边形，并标注顶点字母，用符号表示出来。
平行四边形的性质
探究活动 1：让学生用直尺和量角器测量自己画出的平行四边形的边和角，猜想平行四边形的对边、对角有什么数量关系。
学生汇报测量结果和猜想，教师进行总结归纳：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。
证明性质定理：
对于 “平行四边形的对边相等”，引导学生连接平行四边形的一条对角线 AC，将平行四边形分成两个三角形△ABC 和△CDA。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC。所以∠BAC = ∠DCA，∠DAC = ∠BCA。又因为 AC = CA，所以△ABC≌△CDA（ASA）。所以 AB = CD，AD = BC。
对于 “平行四边形的对角相等”，由△ABC≌△CDA 可得∠B = ∠D，再利用平行四边形邻角互补，可推出∠BAD = ∠BCD。
总结平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等。性质定理 2：平行四边形的对角相等。
练习 1：在□ABCD 中，已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长。
答案：因为平行四边形对边相等，所以周长为 2×(AB + BC)=2×(5 + 3)=16。
学习目标
掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
几何语言：
平行四边形定理1：平行四边形的两组对边分别相等.
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
∠A=∠C, ∠B=∠D
（平行四边形的对角相等）
∠A+∠B=180° ∠A+∠D =180°
（平行四边的邻角互补）
平行四边形定理2：平行四边形的两组对角分别相等.
推论： 平行四边的邻角互补.
我们知道平行四边形是中心对称图形，绕中心O旋转180°后，你发现对角线什么特征 你有什么猜想？
A
B
C
D
O
猜想：平行四边形的对角线互相平分.
A
C
D
B
O
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
3
2
4
1
平行四边形的性质3：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC
OB=OD
∴
A
D
B
C
O
平行四边形的对角线互相平分.
例1 已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在 ABCD中，
∵AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9.
又∵ AO=OC，BO=OD(平行四边形的对角线互相平分)
∴AC＋BD
＝2AO+2BO
=2(AO+BO)
=2×9=18.
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
例2 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴OE=OF.
思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE=OF还成立么？
同例3易证明OE=OF还成立.
【点睛】过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
总结提升
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
∵△AOB的周长+2=△BOC的周长，
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC,
即AB+2=BC.
又∵ ABCD的周长等于16，
∴2(AB+BC)=16,
即4AB+4=16，
∴AB=3，BC=5.
例3 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2. 求边AB和BC的长.
如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC、CD、AC、OA的长，以及 ABCD的面积.
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴ BC=AD=8，CD=AB=10
∵ AC⊥BC ∴△ABC是直角三角形
根据勾股定理得：AC=
又OA=OC ∴OA=AC=3
∴平行四边形ABCD的面积=BC·AC=8×6=48.
例4 如图，在 ABCD中，对角线AC=21cm，BD⊥AC,垂足为点E,且BE=5cm,AD=7cm. 求AD和BC之间的距离.
解：设AD和BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等于AD·x.
∵ ，
∴ ,
即7x=21×5，
∴x=15(cm).
即AD和BC之间的距离为15cm.
如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
【点睛】已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
A
B
C
D
O
F
E
例6 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
【点睛】过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
1.的对角线与相交于点 ，则下列结论一定正
确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在中， ，
， ，则与 之间
的距离为( )
B
A.5 B.10 C. D.26
【点拨】 四边形是平行四边形， ，
，， .
在 中，由勾股定理得
，
与 之间的距离为10.
返回
（第3题）
3. 如图，在 中，对角
线，相交于点，过点，交
于点，交于点.若， ，
，则图中阴影部分的面积是( )
B
A.1.5 B.3 C.6 D.4
（第3题）
【点拨】 四边形 是平行四边形，
且，， ，
，
，
， 易知 是直角三角形，
且 .
， ，
.在和 中，
.
（第3题）
图中阴影部分的面积 .
故选B.
（第3题）
返回
（第4题）
4.如图，在中， ，对角线
与相交于点， ，则
的周长为____.
21
【点拨】 四边形 是平行四边形，
， ，
，
的周长为 .
返回
谢谢观看！
