19.1.1 矩形的性质 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
19.1.1 矩形的性质
第19章 矩形、菱形与正方形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它们与平行四边形之间的关系。
探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能运用这些定理解决简单的几何问题。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。
运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
矩形、菱形、正方形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
区分矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，灵活运用它们解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
回顾平行四边形的定义、性质和判定方法。
展示生活中矩形、菱形、正方形的图片，如窗户、黑板、菱形挂饰、正方形地砖等，引导学生观察这些图形与平行四边形的异同点。
提问：这些特殊的图形有什么独特的性质和判定方法呢？从而引出本节课的主题 —— 矩形、菱形与正方形。
（二）讲授新课（30 分钟）
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质探究：
让学生观察矩形纸片，猜想矩形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质。
学生汇报猜想，教师引导学生从边、角、对角线等方面进行分析。
证明矩形的性质：
性质 1：矩形的四个角都是直角。
已知：四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，AD∥BC。又因为∠A = 90°，所以∠C = 90°。因为 AD∥BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠B = 90°，∠D = 90°。
性质 2：矩形的对角线相等。
已知：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O。
证明：在矩形 ABCD 中，∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC，BC = CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以 AC = BD。
总结矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
练习 1：在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，求对角线 AC 的长。
答案：根据勾股定理，AC = √(AB + BC ) = √(3 + 4 ) = 5。
矩形的判定探究：
引导学生从矩形的性质定理的逆命题角度进行猜想。
猜想 1：有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：已知四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°。因为∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，所以∠D = 90°。所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以四边形 ABCD 是平行四边形。又因为∠A = 90°，所以四边形 ABCD 是矩形。
学习目标
理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
复习回顾
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面并轻轻推动，你会发现什么？
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、矩形的关系的是（ ）
D
C
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
四边形
矩形
平行四边形
平行四边形
矩形
四边形
A
B
C
生活中的实例
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.观察下图并说说出矩形有哪些性质.
5.矩形的两条对角线互相平分
3.矩形的两组对角分别相等
2.矩形的两组对边分别相等
1.矩形的两组对边分别平行
4.矩形的邻角互补
我们发现矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.
A
B
C
D
□
O
D
C
B
A
相等的线段：
AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有：
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
如图：已知四边形ABCD是矩形
矩形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，矩形一定还会具有一些特殊的性质.请思考并猜想矩形具有，而平行四边形不具有的性质有什么？
探究活动
A
O
D
C
B
边
角
对角线
四个角都是90°.
对角线相等.
已知：四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°
∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °
∴∠B=180－∠C=90°
∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角.
A
D
B
C
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD
猜想：矩形的对角线相等.
矩形性质定理2：矩形的对角线相等.
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
A
O
D
C
B
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，请探讨OC与BD的关系.
猜想OC= BD
你能说出其中的原因吗
如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD =_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
D
C
B
A
┓
已知△ABC是Rt△，∠ABC=90° ，BD是斜边AC上的中线。
6
5
10
120°
1.若BD=3㎝则AC＝_____㎝;
2.若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝______㎝，BD＝_____㎝，∠BDC＝_____ .
例1：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线的长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解：在矩形ABCD中,有
AD=BC;AB=CD;AC=DB;
AO=OC=OB=OD
∴AD+BC+AB+DC+2AC+2BD=86
又∵AC=DB=13
∴AD+AB+BC+DC=86－52=34
A
B
C
D
O
已知：矩形ABCD的两条对角线相交与O，∠AOD=120°，AB = 4cm.求矩形对角线的长
∴BD = 2AB=2×4=8cm
A
B
C
D
O
1
解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA = OD（ ）
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠1=30°
又∵ ∠ABC=90°（ ）
矩形的对角线相等且平分
矩形的每个内角都是直角
例2： 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.
求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
例3：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
C
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线相互平分
（第2题）
2.如图，在矩形中，对角线，
相交于点，已知 ， ，
则 的长为( )
C
A.6 B.5 C.4 D.3
返回
（第3题）
3. 数学家笛卡尔在《几何》一
书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何
中最好的东西以长补短.如图，在直角坐标系
中有矩形，点的坐标是，则 的
长是( )
C
A.3 B. C. D.4
（第3题）
【点拨】连结，过点B作轴于点 .
点B的坐标是 ，
， .
由勾股定理可得 .
四边形 为矩形，
.
返回
4.如图，矩形的对角线，相交于点 .若
，则 ( )
D
（第4题）
A. B. C. D.
返回
5.如图，在矩形中，于点 ，
，那么 的度数为____.
（第5题）
返回
6. 如图，矩形的对角线， 相交
于点，过点的直线分别交，于点，.若 ，
，则图中阴影部分的面积为___.
3
【点拨】 四边形 是矩形，
， ，
.
.
又 ，
.
.
又 ，
.
返回
7.如图，在矩形中，点在 上，
连结，，且平分 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是等腰三角形.理由如下：
四边形 为矩形，
.
平分， .
是
等腰三角形.
（2）若， ，求 的
长.
四边形 为矩形，
， .又
， .
.由（1）知 ，
. .
返回
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
1.矩形的定义：
2.矩形的性质：
（2）矩形的四个角都是直角.
（3）矩形的对角线相等.
（1）具备平行四边形的所有性质.
A
O
D
C
B
谢谢观看！