19.1.2 矩形的判定 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
19.1.2 矩形的判定
第19章 矩形、菱形与正方形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它们与平行四边形之间的关系。
探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能运用这些定理解决简单的几何问题。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。
运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
矩形、菱形、正方形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
区分矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，灵活运用它们解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
回顾平行四边形的定义、性质和判定方法。
展示生活中矩形、菱形、正方形的图片，如窗户、黑板、菱形挂饰、正方形地砖等，引导学生观察这些图形与平行四边形的异同点。
提问：这些特殊的图形有什么独特的性质和判定方法呢？从而引出本节课的主题 —— 矩形、菱形与正方形。
（二）讲授新课（30 分钟）
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质探究：
让学生观察矩形纸片，猜想矩形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质。
学生汇报猜想，教师引导学生从边、角、对角线等方面进行分析。
证明矩形的性质：
性质 1：矩形的四个角都是直角。
已知：四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，AD∥BC。又因为∠A = 90°，所以∠C = 90°。因为 AD∥BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠B = 90°，∠D = 90°。
性质 2：矩形的对角线相等。
已知：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O。
证明：在矩形 ABCD 中，∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC，BC = CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以 AC = BD。
总结矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
练习 1：在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，求对角线 AC 的长。
答案：根据勾股定理，AC = √(AB + BC ) = √(3 + 4 ) = 5。
矩形的判定探究：
引导学生从矩形的性质定理的逆命题角度进行猜想。
猜想 1：有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：已知四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°。因为∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，所以∠D = 90°。所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以四边形 ABCD 是平行四边形。又因为∠A = 90°，所以四边形 ABCD 是矩形。
学习目标
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．
能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
∟
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
边：对边平行且相等.
角：对角相等； 邻角互补； 四个角都是直角.
对角线：相等且互相平分.
思考：工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
定义法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
∵在 ABCD中∠B=90°
∴四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
∟
几何语言
有三个角是直角的四边形是矩形吗
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
∵ ∠A=90°(或 ∠B=90°、或 ∠C=90° ）。
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言:
证明：
在
ABCD中
AB=DC, BD=CA, AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形
思考：对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
A
D
C
B
O
矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
例1：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.求证四边形EFGH是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等)
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）
∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线
互相平分的四边形是平行四边形）
∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
B
C
D
E
F
G
H
O
A
如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.求证四边形ABCD矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,BO=DO
（平行四边形对角线互相平分）
∵ ∠1=∠2
∴AO=BO（等角对等边 ）
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）
例2：如图,□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格.
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格.
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格.
方案一:
方案二:
方案三:
2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE.
证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2
(等腰三角形三线合一）
∵ AE平分∠BAF
∴ ∠2= ∠BAF/2
∵ ∠BAC + ∠BAF=1800
∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900
∵ BE⊥AE
∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900
∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
1
2
F
1.[2024泸州] 已知四边形 是平行四边形，下列条件中，
不能判定 为矩形的是( )
D
A. B. C. D.
2.[2024石家庄一模] 依据所标数据，下列四边形不一定为矩
形的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.[2024保定月考] 如图，在 中，
，是 的中点，求证：
.
证明：如图，延长至点，使 ，
连结 ，
下面是“……”部分
被打乱顺序的证明过程：
四边形是平行四边形； ；
，； 四边形 是矩形.正确的
顺序为( )
A
（第3题）
A.③①②④ B.③②①④ C.②③①④ D.②①③④
返回
4. 一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边
平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到
矩形踏板.理由是__________________________________.
有一个角为直角的平行四边形是矩形
（第5题）
5.如图，在中，，将 绕
点旋转 得到，连结， .当
____时，四边形 为矩形.
返回
6. 如图，平行四边形 各角的平分线分
别相交于点，，，.求证：四边形 是矩形.
【证明】 四边形 是平行四边形，
.
，分别平分与 ，
， .
.同理可得 .
四边形 是矩形.
返回
（第7题）
7.如图，已知平行四边形，延长
到，使，连结，， ，
对于下列条件：; ;
; .不能判定四
边形 为矩形的个数是( )
D
A.4 B.3 C.2 D.1
返回
（第8题）
8.如图，在平面直角坐标系中，， 两
点坐标分别为，， 为线段
上的一动点，以， 为边构造平
行四边形，则使对角线 的值最
小的点 的坐标为( )
C
A. B. C. D.
（第8题）
【点拨】由端点分别在两条平行线上的所有
线段中，垂直于平行线的线段最短可知，当
时， 最短.
， ，
. .
四边形 是平行四边形，
, .
定理1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理3：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
判定定理
谢谢观看！