19.2.1 菱形的性质 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
19.2.1 菱形的性质
第19章 矩形、菱形与正方形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它们与平行四边形之间的关系。
探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能运用这些定理解决简单的几何问题。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。
运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
矩形、菱形、正方形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
区分矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，灵活运用它们解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
回顾平行四边形的定义、性质和判定方法。
展示生活中矩形、菱形、正方形的图片，如窗户、黑板、菱形挂饰、正方形地砖等，引导学生观察这些图形与平行四边形的异同点。
提问：这些特殊的图形有什么独特的性质和判定方法呢？从而引出本节课的主题 —— 矩形、菱形与正方形。
（二）讲授新课（30 分钟）
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质探究：
让学生观察矩形纸片，猜想矩形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质。
学生汇报猜想，教师引导学生从边、角、对角线等方面进行分析。
证明矩形的性质：
性质 1：矩形的四个角都是直角。
已知：四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，AD∥BC。又因为∠A = 90°，所以∠C = 90°。因为 AD∥BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠B = 90°，∠D = 90°。
性质 2：矩形的对角线相等。
已知：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O。
证明：在矩形 ABCD 中，∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC，BC = CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以 AC = BD。
总结矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
练习 1：在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，求对角线 AC 的长。
答案：根据勾股定理，AC = √(AB + BC ) = √(3 + 4 ) = 5。
矩形的判定探究：
引导学生从矩形的性质定理的逆命题角度进行猜想。
猜想 1：有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：已知四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°。因为∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，所以∠D = 90°。所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以四边形 ABCD 是平行四边形。又因为∠A = 90°，所以四边形 ABCD 是矩形。
学习目标
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形的性质定理.
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢
情境引入
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ）
D
C
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
平行四边形
菱形
四边形
A
B
C
生活中的实例
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
B
D
A
C
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些结论 并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨.
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗 它是轴对称图形吗 如果是，有几条对称轴 对称轴之间有什么位置关系
菱形是中心对称图形
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
在△ABD中，　　
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
（2）有哪些特殊的三角形？
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形：
直角三角形：
全等三角形：
已知四边形ABCD是菱形.
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例1：四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6cm
5
4
3
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
【点睛】菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
【点睛】菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
1.[2024淄博期末] 菱形具有而平行四边形不具有的性质是
( )
C
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.四个角都相等
2.在菱形中，连结，，若 ，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
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3. 小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂
（如图①）的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个
含 角的菱形（如图②）.若的长度为 ，则菱形
的周长为( )
D
A. B. C. D.
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（第4题）
4. 如图，四边形 是
菱形，，，于点 ，
则 的长是( )
A
A. B.6 C. D.12
（第4题）
【点拨】 四边形 是菱形，
，， ，
，， .
在 中，
.
菱形的面积为 ，
.
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5.[2024成都模拟] 如图，在菱形中，， 分别是边
，上的点，且，连结， .若
， ，则 的大小为____.
（第5题）
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6.如图，菱形的顶点的坐标为,顶点在 轴的正
半轴上.反比例函数的图象经过顶点,则 的值
为____.
32
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矩形和菱形的性质
矩形 菱形
定义 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形
性 质 1、具有平行四边形的一切性质 2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等 1、具有平行四边形的一切性质
2、菱形的四条边都相等
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
谢谢观看！