19.2.2 菱形的判断 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
19.2.2 菱形的判断
第19章 矩形、菱形与正方形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它们与平行四边形之间的关系。
探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能运用这些定理解决简单的几何问题。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。
运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
矩形、菱形、正方形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
区分矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，灵活运用它们解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
回顾平行四边形的定义、性质和判定方法。
展示生活中矩形、菱形、正方形的图片，如窗户、黑板、菱形挂饰、正方形地砖等，引导学生观察这些图形与平行四边形的异同点。
提问：这些特殊的图形有什么独特的性质和判定方法呢？从而引出本节课的主题 —— 矩形、菱形与正方形。
（二）讲授新课（30 分钟）
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质探究：
让学生观察矩形纸片，猜想矩形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质。
学生汇报猜想，教师引导学生从边、角、对角线等方面进行分析。
证明矩形的性质：
性质 1：矩形的四个角都是直角。
已知：四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，AD∥BC。又因为∠A = 90°，所以∠C = 90°。因为 AD∥BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠B = 90°，∠D = 90°。
性质 2：矩形的对角线相等。
已知：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O。
证明：在矩形 ABCD 中，∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC，BC = CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以 AC = BD。
总结矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
练习 1：在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，求对角线 AC 的长。
答案：根据勾股定理，AC = √(AB + BC ) = √(3 + 4 ) = 5。
矩形的判定探究：
引导学生从矩形的性质定理的逆命题角度进行猜想。
猜想 1：有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：已知四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°。因为∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，所以∠D = 90°。所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以四边形 ABCD 是平行四边形。又因为∠A = 90°，所以四边形 ABCD 是矩形。
学习目标
经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．
会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的定义：
一组邻边相等
平行四边形
菱形
边
对角线
角
菱形的性质
菱形的两条对角线互相平分.
菱形的两组对边平行.
菱形的四条边相等.
菱形的两组对角分别相等.
菱形的邻角互补.
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
矩形 菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
具有平行四边形的一切性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法.
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
几何语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
还有其它方法吗
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由.
猜想：有四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
O
命题：有四条边相等的四边形是菱形.
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形
菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
AB=BC=CD=DA
A
B
C
D
菱形ABCD
∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
A
B
C
D
几何语言
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD.
ABCD
ABCD
求证： 是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
菱形的判定2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD
∴ □ABCD是菱形
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
几何语言:
1.判断下列三个图形是菱形吗
5
5
3
4
3
4
5
5
5
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有四条边相等的四边形是菱形.
3
3
4
4
┍
2.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形； （ ）
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ）
╳
√
╳
╳
∟
A
D
B
C
∟
A
B
C
D
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO = OC .
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,
EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.
例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，
DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
【点睛】 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
例6 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【点睛】判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
1.生产某种机器零件时，工人师傅要判断一个四边形模具是
否为菱形，以下测量方案中正确的是( )
A
A.测量四条边是否相等 B.测量一组邻边是否相等
C.测量对角线是否垂直 D.测量对角线是否互相平分
2.[2024重庆江北区期末] 根据选项中的平行四边形所标注的
角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.下面是关于如图所示的四边形 是菱形的
不完整推理过程：
， .
又， 四边形 是平行四边形.
____， 四边形 是菱形.
为使推理成立，横线上可以添加的条件是( )
D
A. B.
C. D.
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（第4题）
4.如图所示，已知， ，
将沿边翻转，得到的 与
拼成四边形 ，则能直接判
定四边形 是菱形的依据是_______
______________________.
四条边都相等的四边形是菱形
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5.如图，在平行四边形中，， ，将线段
水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形
为菱形，则 的值为___.
2
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6. 如图，在四边形
中，，， 相交于
点，是 的中点，请从条件①、
条件②这两个条件中选择一个作为已
知，求证：四边形 为菱形.
条件①：平分 ；
条件②： .
【解】（选择其一即可）选择条件①：
平分 .
证明如下：， ，
是的中点， .
四边形 为平行四边形.
平分 ，
平行四边
形 为菱形.
选择条件②： .
证明如下：同上可知，四边形 为平行
四边形， .又
，
是直角三角形，
且 ， 平行四边形
为菱形.
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
每条对角线平分一组对角
谢谢观看！