19.3 正方形 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
19.3 正方形
第19章 矩形、菱形与正方形
华东师大版数学八年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它们与平行四边形之间的关系。
探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，能运用这些定理解决简单的几何问题。
通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。
让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。
二、教学重难点
（一）教学重点
矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理。
运用矩形、菱形、正方形的性质和判定定理进行计算和证明。
（二）教学难点
矩形、菱形、正方形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。
区分矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，灵活运用它们解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
回顾平行四边形的定义、性质和判定方法。
展示生活中矩形、菱形、正方形的图片，如窗户、黑板、菱形挂饰、正方形地砖等，引导学生观察这些图形与平行四边形的异同点。
提问：这些特殊的图形有什么独特的性质和判定方法呢？从而引出本节课的主题 —— 矩形、菱形与正方形。
（二）讲授新课（30 分钟）
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质探究：
让学生观察矩形纸片，猜想矩形除了具有平行四边形的性质外，还有哪些特殊性质。
学生汇报猜想，教师引导学生从边、角、对角线等方面进行分析。
证明矩形的性质：
性质 1：矩形的四个角都是直角。
已知：四边形 ABCD 是矩形，∠A = 90°。
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，AD∥BC。又因为∠A = 90°，所以∠C = 90°。因为 AD∥BC，所以∠A + ∠B = 180°，所以∠B = 90°，∠D = 90°。
性质 2：矩形的对角线相等。
已知：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O。
证明：在矩形 ABCD 中，∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC，BC = CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以 AC = BD。
总结矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
练习 1：在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3，BC = 4，求对角线 AC 的长。
答案：根据勾股定理，AC = √(AB + BC ) = √(3 + 4 ) = 5。
矩形的判定探究：
引导学生从矩形的性质定理的逆命题角度进行猜想。
猜想 1：有三个角是直角的四边形是矩形。
证明：已知四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°。因为∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，所以∠D = 90°。所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以四边形 ABCD 是平行四边形。又因为∠A = 90°，所以四边形 ABCD 是矩形。
学习目标
探索并证明正方形的性质和判定定理，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
会应用正方形的性质和判定定理解决相关证明及计算问题.
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
定义法
菱形法
矩形法
(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的的平行四边形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
正方形是中心对称图形,对称中心为点O.
它也是轴对称图形,有4条对称轴.
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等.
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
对称性
特殊性质
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
边相等
有一组邻
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（ ）=正方形
判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形.
是直角
有一个角
操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+（ ）=正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
判定方法：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
思考：如果是平行四边形呢？
（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
例1：如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
例2：如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
【点睛】在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
例3：在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
1.[2024衡阳模拟] 正方形具有而矩形不一定具有的性质是
( )
D
A.对角线互相平分 B.对角线相等
C.四个角都相等 D.对角线互相垂直
（第2题）
2.如图，四边形是正方形， 平行于
轴，，两点的坐标分别为 ，
，则点 的坐标是( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3.如图，菱形中， ，
，则以为边的正方形
的面积为( )
A
A.9 B.12 C.15 D.20
返回
4.如图，是正方形的对角线上的一点， 于
点，.则点到直线 的距离为___.
3
（第4题）
返回
（第5题）
5.如图，在正方形 中，以对角
线为边作菱形，连结 ，
则 的度数为______.
【点拨】在正方形 中，
.
在菱形中， ，
.
返回
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
每条对角线都平分一组对角
谢谢观看！