16.2 二次根式的运算 课件(共4课时 26+28+22+23张PPT)

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名称 16.2 二次根式的运算 课件(共4课时 26+28+22+23张PPT)
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资源类型 试卷
版本资源 沪科版
科目 数学
更新时间 2025-03-28 07:25:53

文档简介

(共26张PPT)
16.2.1 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册(示范课课课件)
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
一、教学目标
理解二次根式的概念,能判断一个式子是否为二次根式。
掌握二次根式有意义的条件,并能根据条件确定字母的取值范围。
理解二次根式的性质,会运用性质进行简单的化简与计算。
二、教学重难点
重点
二次根式的概念及有意义的条件。
二次根式的性质及应用。
难点
理解二次根式中字母的取值范围。
灵活运用二次根式的性质进行化简和计算。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
展示一些实际生活中的问题,如:已知正方形的面积为

S
,求它的边长。当

S=2
时,边长为

2

;当

S=3
时,边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2



3

等,它们都具有什么共同特征,从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的乘法运算法则,并能用它进行有关实数的运算;
2.经历二次根式乘法运算法则的探索过程,体会数学的严谨性;
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
双重非负性
1.什么叫二次根式?
形如 的式子叫做二次根式.
2. 二次根式的两个基本性质是什么?
性质1:
性质2:
计算下列各题,观察有何规律?
小组合作
1.独立思考,完成计算;
2.两人一组,交流探究,找出规律.
观察
计算下列各题,观察有何规律?
2 5
10
10
0.5 10
5
5
算术平方根的积
积的算术平方根

猜想
观察
思考
能否证明这个猜想?
猜想
证明:因为当a≥0,b≥0时,
又 ,
ab的算术平方根只有一个,所以
积的乘方法则
算术平方根的意义
归纳
二次根式的性质3
如果a≥0,b≥0,那么有
算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.
由等式对称性,性质3也可以写成
二次根式的乘法法则
积的算术平方根的性质
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
典型例题
【例1】计算:
(1) ; (2) .
解:(1)
二次根式的运算过程中,可以把被开方数中的“完全平方因式(因数) ”,用它的算术平方根代替,由根号内移到根号外.我们可以利用这个办法将二次根式化简.
典型例题
【例1】计算:
(1) ; (2) .
解:(2)
拓展
根号外的系数与系数相乘,积为结果的系数
根式与根式相乘,被开方数相乘的积作为积的被开方数.
知识点1 二次根式的乘法
1. 化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.147
2.[2024合肥庐阳中学模拟] 下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.下列各数中,与 的积为有理数的是( )
A. B. C. D.
C
返回
4.二次根式的乘法在生活和高科
技领域中有着广泛的应用.如图,
要将某一部件的一个长方形变化
D
A. B. C. D.
【点拨】设圆的半径为 ,根据题意,得
,解得 (负值已舍去),故选D.
成与其等面积的一个圆形,已知长方形的长是 ,宽
是 ,那么圆的半径应是 ( )
返回
5.计算: .
【解】原式 .
返回
知识点2 积的算术平方根
6.若等式成立,则 的取值
范围是( )
A
A. B.
C. D.或
7.已知,,用含,的代数式表示 ,这个
代数式是( )
B
A. B. C. D.
返回
8.(荣德原创题)当,时,化简 的结果为
( )
B
A. B. C. D.
【点拨】, ,
.
返回
9.化简:
(1) ;
【解】 .
(2) .
.
返回
易错点 忽视隐含条件,误直接将负数移到根号内
10.[2024德阳月考] 把 根号外的因式移到根号内的结果
是( )
C
A. B. C. D.
【点拨】由题可知 ,
.故选C.
返回
11.下列各式中,一定能成立的是( )
A
A.
B.
C.
D.
【点拨】A.易得, 原式 ,故A
符合题意;
B.当 时,此式子不成立,故B不符合题意;
C.原式 ,故C不符合题意;
D.当 时,此式子不成立,故D不符合题意.
故选A.
返回
12.[2024岳阳一模] 问题探究:因为 ,
所以.因为 ,所以
.请你根据以上规律,结合你的经验化简
_______.
【点拨】因为 ,
所以 .
返回
13. 已知为正整数,若 是整数,则
根据可知 有最小值
.设为正整数,若是大于1的整数,则 的最
小值为___,最大值为____.
3
75
二次根式的乘法法则:
二次根式的乘法
反过来,可得积的算术平方根的性质:
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式(因数)的算术平方根的积.
完成教材上的课后习题
谢谢观看!(共28张PPT)
16.2.2 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册(示范课课课件)
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
一、教学目标
理解二次根式的概念,能判断一个式子是否为二次根式。
掌握二次根式有意义的条件,并能根据条件确定字母的取值范围。
理解二次根式的性质,会运用性质进行简单的化简与计算。
二、教学重难点
重点
二次根式的概念及有意义的条件。
二次根式的性质及应用。
难点
理解二次根式中字母的取值范围。
灵活运用二次根式的性质进行化简和计算。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
名师点金
二次根式的除法法则的推广
1.如果是几个二次根式相除,应按除法法则依次计算,即
√ ÷√ ÷√ =√( ÷ ÷ )( ≥0, >0, >0).
2.当二次根式根号外有因数(式)时,可类比单项式除以单
项式的法则进行运算,将根号外的因数(式)之商作为商的
根号外的因数(式),被开方数(式)之商作为商的被开方
数(式),即
√ ÷ √ =( ÷ )√( ÷ )( ≥0, >0, ≠0).
生活中的问题,如:已知正方形的面积为

S
,求它的边长。当

S=2
时,边长为

2

;当

S=3
时,边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2



3

等,它们都具有什么共同特征,从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的除法运算法则,并能利用它进行有关实数的运算;
2.经历利用二次根式除法法则进行运算的过程,了解最简二次根式的概念,体会数学的严谨性;
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
1. 二次根式的乘法法则是什么?
2. 逆用二次根式的乘法法则可以得到什么?
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
符号语言
文字语言
符号语言
文字语言
二次根式的除法有类似的运算法则吗?
计算下列各题,观察有何规律?
小组合作
1.独立思考,完成计算;
2.两人一组,交流探究,找出规律.
观察
计算下列各题,观察有何规律?
观察
算术平方根的商
商的算术平方根

猜想
对比乘法法则,a、b的取值范围有何变化?
思考
你能仿照二次根式的乘法法则证明二次根式的除法法则吗?
证明:因为当a≥0,b>0时,
又 ,
猜想
的算术平方根只有一个,所以
归纳
二次根式的性质4
如果a≥0,b>0,那么有
算术平方根的商等于商的算术平方根.
由等式对称性,性质4也可以写成
二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于算术平方根的商.
想一想
现在你能算出长方形游泳池的宽吗?
长方形游泳池的宽为 m.
典型例题
【例1】计算:
(1) ; (2) .
解:(1)
(2)
二次根式的除法运算,通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行.把分母中的根号化去,就是分母有理化.
交流
下面的式子还有其它的计算方法吗?
依据:分数的基本性质
目的:去掉分母中的根号
典型例题
【例2】化简:
(1) ; (2) .
解:(1)
(2)
交流
观察例题中几个式子的运算结果有什么特征?
被开方数的因数是整数,
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
因式是整式;
最简二次根式
分母中不能含根号,根号下不能含分母.
在二次根式的运算中,一般把最后结果化成最简二次根式.
知识点1 二次根式的除法
1. 计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
2. 对于任意的两个不相等的正实数 ,
,定义一种新运算 ,,那8 6么____.
3.计算:_____ .
返回
知识点2 商的算术平方根
4.若成立,则 的值可以是( )
B
A. B.0 C.2 D.3
返回
5.[2024莆田一模] 下列各式的化简正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
6.计算:
(1) ;
【解】 .
(2) .
.
返回
知识点3 分母有理化
7.化简: _ __.
8.计算: .
【解】
.
返回
知识点4 最简二次根式
9.[2024合肥包河区期中] 下列二次根式:, ,
, 中,是最简二次根式的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(荣德原创题)若为正整数, 是最简二次根式,
则 的最小值为___.
2
返回
11.已知和 是相等的最简二次根式,则
的值为_____.
【点拨】由题意得解得, ,
.
返回
易错点 弄错运算顺序而致错
12.计算 的结果为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】原式 .故选B.
与实数的运算顺序相同,二次根式的乘除混合运算
应按从左到右的顺序进行.
返回
13.如果,,那么下面各式: ;
; ,其中正确的是( )
B
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【点拨】,,, .
, ,
.故②③正确.故选B.
返回
14. 幻方是一种中国传统
游戏,它是将从1到 的自然数排成纵横各
为 个数的正方形,使在同一行、同一列和
同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻
方,我们给出如图所示的方格,要使方格
20
中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等,则
,,, 之积为____.
【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果
为 .
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的
实数相乘的结果都相等,得
,解得 ;
,解得 ;
,解得 ;
,解得 ,
,,, 之积为
.
返回
二次根式的除法法则:
二次根式的除法
反过来,可得商的算术平方根的性质:
算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根.
商的算术平方根等于算术平方根的商.
最简二次根式:
被开方数的因数是整数,因式是整式;
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
完成教材上的课后习题
谢谢观看!(共22张PPT)
16.2.3 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册(示范课课课件)
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
名师点金
含二次根式的数(或式子)的大小比较,是教与学的一
个难点,如果能根据二次根式的特征,灵活地、有针对性地
采用不同的方法,将会得到简捷的解法.较常见的比较方法有
平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、
倒数法、定义法和特殊值法等.
个二次根式相除,应按除法法则依次计算,即
√ ÷√ ÷√ =√( ÷ ÷ )( ≥0, >0, >0).
2.当二次根式根号外有因数(式)时,可类比单项式除以单
项式的法则进行运算,将根号外的因数(式)之商作为商的
根号外的因数(式),被开方数(式)之商作为商的被开方
数(式),即
√ ÷ √ =( ÷ )√( ÷ )( ≥0, >0, ≠0).
生活中的问题,如:已知正方形的面积为

S
,求它的边长。当

S=2
时,边长为

2

;当

S=3
时,边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2



3

等,它们都具有什么共同特征,从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.了解并掌握比较两个不含字母的二次根式的方法;
2.经历探究二次根式的大小比较的过程,感受类比、转化的数学思想;
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
根据已学知识填空,看谁又快有准:
能否利用这些知识来比较二次根式的大小?
(1)如果a>0,b>0,当a>b时,则a2 b2 ;
反之,如果a>0,b>0,当a2>b2时,则a b;
(2)如果a b>0,则a b;
(3)如果a>0,b>0,且 <1,则a b;
(4)如果a>b>0,则 .





合作探究
一个正方形的边长为 cm,另一个正方形的边长为 cm,问:哪个正方形的面积大?它们的边长又有什么关系?
∴边长为 cm的正方形面积大.
正方形的面积越大,边长越长.

它们的边长又有什么关系呢?
相互转化
合作探究
能否从刚才的探究中发现比较 与 的大小的方法?
v
平方
v
平方
无理数
有理数
平方
比较有理数的大小即可
转化
合作探究
现在知道如何比较 与 的大小吗?


解:
过程
依据
当a>0,b>0时,
,则a>b;
,则a<b.
1
2
还有其他的方法来比较二次根式的大小吗?
平方法
典型例题
【例】比较 与 的大小.
解:
∵ 12<18,


为什么把根号外的正因数移到根号内?
当a>0,b>0时,
a>b,则 ,
a<b,则 .
依据
1
2
被开方数比较法
比较被开方数的大小
典型例题
【例】比较 与 的大小.
解:

<0
若a b>0,则a>b;
若a b<0,则a<b.
依据
1
2
作差法
先作差,有公因式先提公因式,再与0进行比较.
典型例题
【例】比较 与 的大小.
解:

<1
当a>0,b>0时,
,则a>b;
,则a<b.
依据
1
2
作商法
归纳
二次根式的大小比较的基本方法:
1
2
3
4
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
知识点 二次根式的大小比较
1. 比较大小:( ) .
B
A.大于 B.小于 C.等于 D.无法确定
2.已知,,则与 的大小关系
为( )
C
A. B. C. D.无法比较
返回
3.已知,, ,则下列大小关系正确的是
( )
A
A. B. C. D.
【点拨】,, ,
,,即 .
返回
4.比较大小:___.(填“ ”“ ”或“ ”)
5.(1)比较与 的大小.
【解】 .
, .
(2)比较与 的大小.
, .
返回
6.(1)比较与 的大小;
【解】

.
,, ,

即 .
(2)比较与 的大小.
, ,
且, ,
即 .
返回
7.比较与 的大小.
【解】, .
.
又, .
返回
8.已知,,试比较,
的大小.
【解】 ,
.
,
.
返回
二次根式的大小比较的基本方法:
二次根式的大小比较
课堂小结
注意:
二次根式的大小比较,除了今天学习的四种基本方法,后面会慢慢接触其它方法.要选择合适的方法进行求解.
1
2
3
4
平方法
被开方数比较法
作差法
作商法
完成教材上的课后习题
谢谢观看!(共23张PPT)
16.2.4 二次根式的运算
第16章 二次根式
沪科版数学八年级下册(示范课课课件)
授课教师:********
班 级:********
时 间:********
名师点金
含二次根式的数(或式子)的大小比较,是教与学的一
个难点,如果能根据二次根式的特征,灵活地、有针对性地
采用不同的方法,将会得到简捷的解法.较常见的比较方法有
平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、
倒数法、定义法和特殊值法等.
个二次根式相除,应按除法法则依次计算,即
√ ÷√ ÷√ =√( ÷ ÷ )( ≥0, >0, >0).
2.当二次根式根号外有因数(式)时,可类比单项式除以单
项式的法则进行运算,将根号外的因数(式)之商作为商的
根号外的因数(式),被开方数(式)之商作为商的被开方
数(式),即
√ ÷ √ =( ÷ )√( ÷ )( ≥0, >0, ≠0).
生活中的问题,如:已知正方形的面积为

S
,求它的边长。当

S=2
时,边长为

2

;当

S=3
时,边长为

3

等。
引导学生观察这些式子

2



3

等,它们都具有什么共同特征,从而引出本节课的主题 —— 二次根式
学习目标
1.经历探索二次根式加减运算方法,使学生了解什么是同类二次根式,会辨别同类二次根式;
2.通过合并同类项的类比,归纳出二次根式加减的法则,并了解实数的运算性质和法则在根式中同样适用;
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
复习回顾
这节课我们一起来研究这个问题
1.二次根式计算、化简的结果满足什么要求?
被开方数的因数是整数,因式是整式;
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
1
2
2.能否将下列二次根式化为最简二次根式?
化简后的二次根式能进行加减运算吗?
最简二次根式
合作探究
已知△ABC,AB cm, BC cm, AC cm,
蚂蚁1经路线①到达C点,蚂蚁2经路线②到达C点.
A
B
C
你知道蚂蚁1比蚂蚁2多走多少路程吗?



多走的路程 AB BC AC
如何计算这个结果呢?
思考
整式的加减
合并同类项
化成最简二次根式
合并
这几个二次根式有什么共同特征?
被开方数相同
如何计算这个结果呢?
思考
整式的加减
合并同类项
化成最简二次根式
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,像这样的二次根式称为同类二次根式.
合并
归纳
二次根式加减运算的法则
二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简,再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.
二次根式加减的实质就是合并同类二次根式.
要想得到同类二次根式,必须先化简再观察.
注意
典型例题
【例1】计算: .
解:
一化
二找
三合并
典型例题
【例2】化简:
(1) ;
(2) .
解:(1)
满足平方差公式
实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算
对于有乘积的二次根式混合运算,注意乘法公式的准确运用.
典型例题
【例2】计算:
(1) ;
(2) .
解:(2)
实数的运算性质和法则同样适用于二次根式的运算
满足完全平方公式
乘法分配律
不是同类二次根式不能合并
典型例题
【例3】计算: .
解:
[时间:60分钟 分值:100分]
一、选择题(每题4分,共32分)
1.[2024蚌埠蚌山区月考] 下列各式中,一定是二次根式的是
( )
D
A. B. C. D.
2.[2024宿州校级期中] 下列二次根式中,是最简二次根式的
是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.[2024合肥蜀山区期中] 下列各式中,正确的是( )
B
A. B.
C. D.
4.下列各式中,计算正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
5.[2024芜湖镜湖区期中] 已知是整数,则正整数 的最
小值为( )
C
A.2 B.1 C.6 D.36
【点拨】,且是整数, 正
整数 的最小值为6.
返回
6.[2024合肥瑶海区期中] 若 ,则化简
的结果是( )
C
A. B.1 C. D.
返回
7.已知方程组设, ,则
代数式 的值为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】根据方程组的特点,将两个方程相减,即可得到
的值;再将两个方程相加,即可得到 的值,进而求解.
返回
8. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用
三角形的三边长求面积的公式,此公式与古希腊数学家海伦
提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为,, ,记
,则其面积 .这个公式
也被称为海伦-秦九韶公式.若, ,则此三角形面积
的最大值为( )
C
A. B.4 C. D.5
【点拨】,,, .
.
.
当时,有最大值,最大值为 .
返回
二次根式的加减运算法则:
二次根式的加减
课堂小结
二次根式的加减运算步骤:
二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简,再把同类二次根式合并.合并同类二次根式与合并同类项类似.
一化;二找;三合并.
同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,像这样的二次根式称为同类二次根式.
完成教材上的课后习题
谢谢观看!