(共18张PPT)
17.2.1 配方法
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如(x+m)2=p(p≥0)的一元二次方
程进行直接开平方法求解；
2.掌握形如ax2+c=0和 (ax+m)2+n=p的一元二次方程的解法；
名师点金
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把方程整理为一般形式.
2.方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，同时
把常数项移到等号右边.
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方.
4.把左边写为平方式的形式，右边化为一个常数.
5.若右边是非负数，就可以用直接开平方法求解；若右边是
一个负数，则判定此方程无实数根.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
回顾旧知
1. 16的平方根是_________.
3. 判断：任何数都有平方根.
4. 一个正数有_______个平方根.
2. x2=25，x= _______.
5. a2+2ab+b2=_________；a2–2ab+b2=_________.
±4
±5
×
非负数有平方根
2
(a+b) 2
(a–b) 2
合作探究
x2=9
x1=3， x2= –3
x2=0 ，
x2= – 9＜0，
方程无解.
p＞0
P=0
P＜0
根的个数
两个不等的实数根：
两个相等的实数根：
p的范围
x1=x2= 0
无实数根
形如x2=p的方程的根的情况
平方根的意义
x1= x2= 0
＞0 ，
合作探究
x2=25
x=±5
如何解(x+3)2=25？
方程(x+3)2=25的左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__________和_________两个一元一次方程，从而得到方程(x+3)2=25的两个解为x1=_____，x2=_____.
x+3=5
2
– 8
换元思想
分
组
x+3= – 5
解方程 (x+3)2=25
解：(x+3)2=25
x+3=±5
即x+3=5 或
x+3= –5
即x1= – 3+5=2，
x2= – 3 –5= – 8
即方程(x+3)2=5的两个根为
x1=2 ，
x2= –8.
2次
1次
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
典型例题
例：解方程
( 1 ) x2=25
( 2 ) (x – 2) 2=25
( 3 ) (x – 2) 2 + 9=25
( 4 ) 4(2x – 2) 2 +9=25
解：x1=5， x2= – 5
解：x – 2=5， x– 2= – 5
x1=7， x2= – 3
解： (x – 2) 2 =16
x – 2=4， x– 2= – 4
x1=6， x2= – 2
解：4(2x – 2) 2 =16
(2x – 2) 2 =4
2x – 2=2， 2x– 2= – 2
x1=2， x2= 0
x2=p
(x+m)2=p
(x+m)2+n=p
e(ax+m)2+n=p
延伸
直接开平方
形如(x+m)2=p，(x+m)2+n=p，e(ax+m)2+n=p的一元二次方程.
降次
形如t2=p的一元二次方程
换元整理
两个一元一次方程
p≥0
归纳
知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1.[2024合肥蜀山区期末] 若 是一个完全平方式，
则 的值是( )
C
A.4 B. C. D.以上都不对
2.若一元二次方程能化成 的形式，
则 的值为( )
C
A.11 B. C.17 D.
返回
3.填空：
（1）____（___） ；
（2）____（___） ；
（3）_ __（__） ；
（4）__（__） .
25
5
36
6
返回
4.用配方法解方程：
（1）[2024安徽] ；
【解】 ，
，
，
， .
（2） .
，
，
，
， .
返回
知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
5.将方程配方成 的形式为
( )
A
A. B.
C. D.
返回
6.设,是两个整数，若定义一种运算“ ”，
，则方程 的实数根是
( )
A. B.，
C. D.,
C
返回
课堂小结
直接开平方法
完成教材上的课后习题
谢谢观看！(共25张PPT)
17.2.2 配方法
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.理解配方法，会利用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程；
2.会利用配方法灵活地解决二次项系数不为1的一元二次方程；
名师点金
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把方程整理为一般形式.
2.方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，同时
把常数项移到等号右边.
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方.
4.把左边写为平方式的形式，右边化为一个常数.
5.若右边是非负数，就可以用直接开平方法求解；若右边是
一个负数，则判定此方程无实数根.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
回顾旧知
1. 解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
x1=3, x2= – 3
x1=0, x2=4
x1=0, x2= – 6
(y – 3)2=36
y1=9, y2= – 3
回顾旧知
2. 填空：
(1) a2+2ab+b2=_________
(2) a2 – 2ab+b2=_________
(3) x2 +mx+9是完全平方式，m=_________
(4) 4x2 +12x+a是完全平方式，a=_________
(a+b)2
(a – b)2
±6
9
一次项系数一半的平方
x2 +3x+
一次项系数一半的平方
探究
提示：怎样解方程 x2+2x+1=0
怎样解方程 x2+2x–1=0
(x + 1)2=0
x= – 1
分
组
完全平方式
探究
解：x2+2x–1=0
怎样解方程 x2+2x–1=0
x2+2x= 1
x2+2x+1= 1+1
(x+1)2= 2
……常数项移项
……两边加1(即 )
使左边配成 x2+2bx+b2的形式
……左边写成完全平方形式
……降次
配方
降次
归纳
先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法.
x2+bx+c=0
(x+n)2=p
配方
降次
n≥0
1
用配方法解下列方程：
典型例题
(1) x2 – 4x–1=0
(2) 2x2 – 3x–1=0
解：(1) 移项，得
x2 – 4x = 1
配方，得
(x–2)2=5
x2 – 2×2x +22=1+22
开平方，得
所以原方程的根是
用配方法解下列方程：
典型例题
(1) x2 – 4x–1=0
(2) 2x2 – 3x–1=0
解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得
移项，得
配方，得
不为1
开平方，得
所以原方程的根是
归纳
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p
的形式，那么就有：
p＞0
P=0
P＜0
根的个数
两个不等的实数根：
两个相等的实数根：
p的范围
x1=x2= 0
无实数根
形如(x+n)2=p的方程的根的情况
（1） ；
【解】 ，
，
,
,
，
， .
（2） .
，
，
，
，
，
.
返回
易错点 配方时，错用完全平方公式
8.下面是小明用配方法解一元二次方程 的过
程，请认真阅读并完成相应的问题.
解：移项，得 ，第一步
二次项系数化为1，得 ，第二步
配方，得 ，第三步
由此可得 ，第四步
所以， .第五步
（1）小明的解答过程，从第____步开始出现错误；
三
（2）请写出你认为正确的解答过程.
【解】 ，
移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，
由此可得 ，
所以， .
返回
9.已知实数,满足，且 ，
则下列结论正确的是( )
D
A.或
B.
C.
D.
【点拨】 ，
，
即 ，
，
或（舍去）， 选项错误.
， ，
，
， .
，C选项错误，D选项正确.故选D.
返回
10. 如图，在用配方法解一元二次方程
时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看
成将一个长是、宽是 、面积是40的长方形割补成一
个正方形，则 的值是___.
3
返回
11.已知，求 的值.
【解】原方程可化为 ，
，，， ，
.
返回
12. 若的三边长,, 满足
,试判断 的
形状.
【解】原等式可变形为
.
,, .
,, .
是等边三角形.
返回
课堂小结
配方法
配方法解一元二次方程的步骤：
①把方程整理成ax2+bx+c=0的形式；
②方程两边同时除以二次项系数,使方程
系数为“1”，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化
成一个常数；
⑤若右边是非负数，可利用直接开平方法
求解;若右边是负数，则方程无实数解.
完成教材上的课后习题
谢谢观看！(共19张PPT)
17.2.3 公式法
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；
（2）会利用求根公式解简单系数的一元二次方程；
名师点金
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把方程整理为一般形式.
2.方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，同时
把常数项移到等号右边.
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方.
4.把左边写为平方式的形式，右边化为一个常数.
5.若右边是非负数，就可以用直接开平方法求解；若右边是
一个负数，则判定此方程无实数根.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
如何解一般的一元二次方程 呢？
因为a≠0，把方程的两边都除以a，得
移项，得
配方，得
即
一起探究
将方程两边开平方，得
于是得
一起探究
当 时，方程 的实数根可以写为
解一个具体的一元二次方程时，只要先把它整理成一般形式，确定a，b，c的值，然后，把a，b，c的值带入求根公式，就可以得出方程根，这种解法叫做公式法.
求根公式
归纳总结
公式法解一元二次方程的步骤？
1.把方程整理成一般形式；
2.当 时，方程 的实数根可以写为
归纳总结
知识点1 一元二次方程的求根公式
1.一元二次方程 在用求根公式
求解时,,, 的值分别是( )
D
A.3,, B.,,3 C.,3,1 D.,3,
2.[2024安庆模拟] 当用公式法解方程 时，
的值为( )
C
A.2 B. C.17 D.
返回
3.[2024石家庄一模] 若 是一元二次方程
的根，则 ( )
D
A. B.4 C.2 D.0
4.用公式法解方程 时，所得到的解正确的是
( )
D
A. B.
C. D.
返回
知识点2 用求根公式解一元二次方程
5.[2024成都模拟] 若，则 ________________
____.
或
返回
6.解方程：
（1） ；
【解】，，， ，
.
.
， .
（2） ；
，,, ,
.
.
, .
（3） ；
将原方程化为标准形式，得 ，
其中，， ，
.
.
， .
（4） .
， .
其中，， .
.
， .
返回
易错点 用公式法解一元二次方程时，因没化成一般形
式或结果没化简而致错
7. 用公式法解方程： .
解：,, ,
.
.
上述解法是否正确？若不正确,请指出错误并改正.
【解】不正确.错误有两点：一是方程没化成一般形式；二是
结果没化简.正确的解法如下：
移项化为一般形式，得,其中, ,
.
.
.
, .
课堂小结
公式法
当 时，方程 的实数根可以写为
解一个具体的一元二次方程时，只要先把它整理成一般形式，确定a，b，c的值，然后，把a，b，c的值带入求根公式，就可以得出方程根，这种解法叫做公式法.
求根公式
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！(共23张PPT)
17.2.4 因式分解法
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
（1）了解因式分解法的概念；
（2）会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程；
名师点金
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把方程整理为一般形式.
2.方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，同时
把常数项移到等号右边.
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方.
4.把左边写为平方式的形式，右边化为一个常数.
5.若右边是非负数，就可以用直接开平方法求解；若右边是
一个负数，则判定此方程无实数根.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
一起探究
用不同方法解方程：
解：将原方程变形为：
则x+3=0或x 3=0.
x2 9=0
将方程左边分解因式，得
(x 3)(x+3)＝ 0；
解得x1= 3，x2=3.
这种通过因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0.
因式分解法
用因式分解法解方程：
解：
则x=0或x+3=0，
将方程左边分解因式，得
x(x+3)＝ 0；
解得x1=0，x2= 3.
做一做
一个根为0.
用因式分解法解方程：
解：
将方程左边分解因式，得
x(25x 6)＝ 0；
做一做
将方程化为一般式，得
则x=0或25x 6=0 .
解得x1=0，x2= .
一个根为0.
归纳
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
将方程的左边分解因式；
根据若A·B=0 ，则A=0或B=0 ，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
因式分解法的基本思想：
归纳
总结前面的内容，归纳出缺项的二次方程：
ax2+c=0(a≠0)，ax2+bx=0(a≠0)的解法？
解为x1=0， x2=1.
解为x1=0，x2= .
解得x1=0，x2= 3.
方程的解为：
① ax2+c=0(a≠0)，
当ac≤0时，总可用开平方法求解；
即ax2= c，
当ac＞0时，方程无解；
② ax2+bx=0(a≠0) ，
用因式分解法求解，总有一根为0.
解方程：
典型例题
解:
把方程左边因式分解，得
因此得
或
解方程，得
解方程：
典型例题
解:
把方程左边分解因式，得
∴
或
解方程，得
将原方程化成标准形式，得
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项：将方程化为一般形式；
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
归纳
知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据
1.用因式分解法解方程,下列过程正确的是( )
A
A.化为或
B.化为或
C.化为或
D.化为
返回
2.已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这个
方程可能为( )
A
A. B.
C. D.
返回
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
3.[2024苏州期末] 在正数范围内定义运算“ ”，其规则为
，则方程 的解是( )
B
A. B.
C.， D.，
4.解方程： .
解：运用完全平方公式因式分解，得__________ .
所以 __.
返回
5.[2024上海长宁区期中] 方程 的根为
_ ____________.
，
返回
6.解下列方程：
（1） ；
【解】 ，
.
或 ，
解得， .
（2） ；
，
.
.
或 ，
解得， .
（3） ；
，
.
或 ，
解得， .
（4） .
原方程可化为 ，
或 ，
解得， .
返回
课堂小结
因式分解法
1.移项：将方程化为一般形式；
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
1.移项：将方程化为一般形式；
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
归纳
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
方法 适合方程类型 注意事项
直接开平方法 时，
，.
公式法 ___0时，方程有解；求根公式为
__________________.
配方法 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方.
因式分解法 方程的一边为0，令一边分解成两个一次式的积. 方程的一边必须是____，另一边可用任何方法分解因式.
..
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！
