(共17张PPT)
17.5.1一元二次方程的应用
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
（1）能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程；
（2）能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理；
名师点金
根的判别式的应用：
1.直用：不解方程，可以判断方程根的情况.
2.逆用：知道方程根的情况，求字母系数的值或取值范围.
注意：1.应用根的判别式求解关于 的方程 ^2+ + =0
时，应有 ≠0，即在一元二次方程的前提下才能应用根的判
别式；
2.一元二次方程有实数根，包括有两个相等的实数根和有两
个不相等的实数根两种情况.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
问题：在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？
设小路的宽是x m，
合作探究
32×20 – (32x+2×20x)+2x2=570.
x2 – 36x+35=0.
分析
由于花坛的总面积是570 m2，则
x
则横向小路的面积是32x m2，
纵向小路的面积是2×20x m2，
两者重叠部分的面积是2x2 m2.
整理得：
20
32
单位：m
aaaaaa
审
aaaaaa
设
aaaaaa
列
空地-(横向路+纵向路)+横纵交叉=花坛总面积
问题：在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应是多少？
设小路的宽是x m，
合作探究
30×20 – (32x+2×20x)+2x2=570.
x2 – 36x+35=0.
20
32
x
整理得：
单位：m
(x – 1) (x – 35) =0.
∴x1=1， x2=35.
aaaaaa
解
结合题意，35＞32，x=35不可能，因此，只能取x=1.
答：所求小路的宽应为1 m.
隐含条件
aaaaaa
答
aaaaaa
验
归纳
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
建立一元二次方程模型
解一元二次方程
一元二次方程的根
实际问题的解
分析数量关系
设未知数
典型例题
正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20 cm，容积为2880 cm3的开口方盒.问原金属片的边长是多少？
解： 设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x-40)cm.
根据题意，得
20(x-40)2=2880
整理，得
(x-40)2=144
解方程，得
x1=52， x2=28.
28＜20+20，x2=28不合题意，所以x=52.
答：原金属片的边长是52 cm.
20
20
x-40
20
x
x-40
aaaaaa
审
aaaaaa
设
aaaaaa
列
aaaaaa
解
aaaaaa
答
aaaa
验
知识点 几何问题
1.[2024杭州模拟] 有一张长方形桌子的桌面长 ，宽
.有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在
桌面上时，各边垂下的长度相等.设台布各边垂下的长度为
，由题意可列方程( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2.[2024北京顺义区模拟] 如图是某停车场的平面示意图，停
车场外围的长为，宽为 .停车场内车道的宽都相等，
若停车位的占地总面积为 ，列方程求解车道宽度时，
设车道宽度为 ，下列方程正确的是( )
D
（第2题）
A.
B.
C.
D.
返回
（第3题）
3.[2024淮北期中] 阿进同学有一块长 ，
宽 的长方形纸板，他想制作一个有盖的
长方体盒子.为了合理使用材料，他设计了如
D
A. B. C. D.
图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左
侧两个空白部分为正方形.如果裁剪并折出底面积为
的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左
侧正方形的边长是( )
（第3题）
【点拨】设裁去的左侧正方形的边长为
，则折成的长方体盒子的底面长为
，宽为 ,
由题意得 ，
解得， （不合题意，舍
去）.
即裁去的左侧正方形的边长是 .
返回
4.[2024宁波期中] 如图，矩形是一个花园，长 为
，宽为 ，现要在花园中修建等宽的小道.剩余的
地方种植花草，要使种植花草的地方的面积为 ，那么
小道的宽度应为_____.
返回
5.[2024济南期中] 对于一元二次方程，
我国古代数学家研究过其几何解法，
以方程 ，即
为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆
方图注》中记载的方法是：构造图（如图①）中大正方形的
面积是 ，其中它又等于四个长方形的面积加上中
间小正方形的面积，即 ，据此易得方程的正数解
为 .下列方程中能用图②解释其几
何解法的方程是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
返回
课堂小结
一元二次方程的应用
列方程解应用题的步骤:
审
设
列
解
答
找到等量关系列出方程.
验
结合实际.
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！(共23张PPT)
17.5.2一元二次方程的应用
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
（1）能根据实际问题中的数量关系，列出一元二次方程；
（2）能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理；
名师点金
根的判别式的应用：
1.直用：不解方程，可以判断方程根的情况.
2.逆用：知道方程根的情况，求字母系数的值或取值范围.
注意：1.应用根的判别式求解关于 的方程 ^2+ + =0
时，应有 ≠0，即在一元二次方程的前提下才能应用根的判
别式；
2.一元二次方程有实数根，包括有两个相等的实数根和有两
个不相等的实数根两种情况.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
合作探究
原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)
问题1：未知数设什么？
该药品两次降价的平均降价率是x.
合作探究
原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)
问题2：
第一次降价后每盒售价多少？
问题3：
第二次降价后每盒售价多少？
=27(1 x)2 元
降低量=原量×降低率
=27(1 x)
第一次降价后的价格 第二次降低量
27(1 x) x
=27(1 x) 元
=27 27x
原价 第一次降低量
典型例题
原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？(精确到1%)
解：设该种药品两次平均降价率是x.
根据题意，列方程得
27(1 x)2 =9
整理，得
解这个方程，得
经验证不合题意，所以
答：该药品两次降价的平均降价率约是42%.
隐含条件
0＜降低率＜ 1
假设：原价a，降价率x.
0＜降低率＜ 1
第一次降价后价格=
a(1 x)
第二次降价后价格=
a(1 x)2
第三次降价后价格=
a(1 x)3
……
第n次降价后价格=
a(1 x)n
归纳
假设：原量a，增长率t.
第一次增长后的量=
a(1+ t)
第二次增长后的量=
a(1 + t)2
第三次增长后的量=
a(1 + t)3
……
第n次增长后的量=
a(1 + t)n
增长率＞ 0
知识点1 增长（降低）率问题
1.[2024重庆] 重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一
季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空
飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安
全运行架次的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为_____
______________.
2.一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒为27元，
两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
C
A. B. C. D.
返回
3.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客
人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
【解】设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，
由题意得 ，
解得 （负值已舍去）.
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 .
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会
超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日
已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最
多是多少万人？
设5月份后10天日均接待游客人数是 万人，由题意得
，解得 .
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.
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知识点2 传播问题
4.[2024哈尔滨一模] 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电
脑被感染，经过两轮感染就会有81台电脑被感染.设每轮感染
中平均一台电脑可感染 台，下面所列方程正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.[2024合肥期中] 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，
发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出
同样数目的小分支.已知1个主干长出的支干和小分支的总数
是56，则这种植物每个支干长出小分支的个数是( )
C
A.9 B.8 C.7 D.6
【点拨】设这种植物每个支干长出的小分支的个数是 ，依
题意得 ，
解得（不合题意，舍去）， ，
这种植物每个支干长出的小分支的个数是7.
返回
6.[2024南通模拟] 春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲
流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经
过两轮传染后，办公室现有8人确诊甲流，在两轮传染过程
中，平均一人会传染给___个人.
1
【点拨】设在两轮传染过程中，平均一人会传染给 个人，
则第一轮传染中又有 个人被传染，第二轮传染中又有
个人被传染，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得， （不符合题意，舍去）.
在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人.
返回
7.[2024阜阳三模] 某健身达人2024年2月份在网上开通直播分
享健身经验和健康饮食，吸引了大批粉丝.2月份新增关注人
数为10万人，4月份新增关注人数为14.4万人.
（1）求2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月
平均增长率.
【解】设新增关注人数的月平均增长率为 ，则
，
解得, （舍去）.
答：2月份到4月份该健身达人直播的新增关注人数的月平均
增长率为 .
（2）如果能保持这个月平均增长率，则接下来哪一个月该
健身达人直播的新增关注人数能达到20万人？
5月份新增关注人数为 （万人），
6月份新增关注人数为 （万人）.
答：6月份该健身达人直播的新增关注人数能达到20万人.
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8.[2024宁波期中] 随着电池技术的创新和国家政策的支持，
新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某品牌新能源汽
车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了 .
由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法
满足市场需求.公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方
资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增
加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度.
（1）求该品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽
车销售总量的平均年增长率.
【解】设该品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽
车销售总量的平均年增长率为 ，根据题意，得
，
解得（舍去）， .
答：该品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车销
售总量的平均年增长率为 .
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能
同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
设应该再增加 个工厂，根据题意，得
，解得（舍去）， .
答：应该再增加3个工厂.
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课堂小结
一元二次方程的应用
列方程解应用题的一般步骤:
审
设
列
解
答
找到等量关系列出方程.
验
结合实际.
增长量=原量×增长率
降低量=原量×降低率
假设：原价a，降价率x.
第n次降价后价格=
a(1 x)n
假设：原量a，增长率t.
第n次增长后的量=
a(1 + t)n
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！(共19张PPT)
17.5.3一元二次方程的应用
第17章 一元二次方程
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
（1）能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程并转化成一元二次方程；
（2）能验证分式方程的根并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理；
名师点金
根的判别式的应用：
1.直用：不解方程，可以判断方程根的情况.
2.逆用：知道方程根的情况，求字母系数的值或取值范围.
注意：1.应用根的判别式求解关于 的方程 ^2+ + =0
时，应有 ≠0，即在一元二次方程的前提下才能应用根的判
别式；
2.一元二次方程有实数根，包括有两个相等的实数根和有两
个不相等的实数根两种情况.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
合作探究
一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少？
总费用/元
原来
现在
x
每人费用/元
人数/人
120
120
x+2
原来这组学生每人分摊的费用 加入后该组学生每人分摊的费用=3元
分式方程
典型例题
解：设原来这组学生的人数是x人.
根据题意，列方程得
方程两边同乘以x(x+2)，整理，得
解这个方程，得
答：原来这组学生的人数是8人.
隐含条件
一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少？
经验证， 都是原方程的根，
但 不合题意，所以
一元二次方程
检验根
知识点1 销售问题
1.[2024长沙模拟] 近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是
军大衣更有性价比”的说法.察觉到商机的某服装超市以每件
80元的价格购进一批军大衣，经调查发现，定价为每件130
元时，一天可以卖出100件，每降价1元，可以多卖出10件，
服装超市一天要想获得8 000元利润，应降价多少元？设应
降价 元，则由题意列方程应为( )
A.
B.
C.
D.
【点拨】降价元，则每天可卖出 件，
由题意得 ，即
.故选D.
√
返回
2.某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元时，每星
期可以售出100件，现需降价处理，每件衬衫每降价5元，每
星期可以多售出20件，店里每星期销售衬衫的利润要达到
2 800元.若可列方程为，则 表
示的实际意义是( )
B
A.每件衬衫的售价
B.每件衬衫售价降低的金额
C.每星期卖出衬衫的数量
D.每星期卖出衬衫增加的数量
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3.[2024青岛期末] 为提高公司经济效益，某公司决定对一种
电子产品进行降价促销，根据市场调查，这种电子产品销售
单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1
元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，
当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可
获利32 000元？若设降价后的销售单价为 元，则可列方程
为______________________________________.
【点拨】由题可知，销售一个电子产品的盈利为 元.
该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若
销售单价每降低1元，每天可多售出5个，
销售电子产品的个数为 个，
根据题意可列出方程
.
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知识点2 数字问题
4.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数
字与十位数字的平方和比这个两位数大4，设个位数字为 ，
则可列方程为( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
5.如图是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出
个数（如17，18，24，25），如果圈出的四个数中最小
数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )
B
A.40 B.48 C.52 D.56
【点拨】设最小数为，则另外三个数为， ，
，根据题意可列方程，解得 ，
（不符合题意，舍去），
，， ，
这四个数的和为 .
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6.某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了 ，
卖出价格都为198元，那么在这次生意中，该商人( )
C
A.不赚不亏 B.赚了6元 C.亏了4元 D.以上都不对
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7.一玩偶店销售“抱竹熊猫”“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹
熊猫”成本为每件100元，“打坐熊猫”成本为每件120元，“打
坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的 倍.某天“抱竹熊猫”比“打坐熊
猫”多卖出3件，且两款玩偶当天销售额都刚好达到1 800元.
为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价
后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了 ，
当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了 ；“打坐
熊猫”的售价打八五折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础
上增加了 ，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为1 230
元，则 的值为( )
A.40 B.60 C.80 D.100
A
课堂小结
一元二次方程的应用丨含分式
列分式方程解应用题
既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意.
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！
