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18.1.1 勾股定理
第18章 勾股定理
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容.
2.会初步运用勾股定理进行简单的计算.
名师点金
根的判别式的应用：
1.直用：不解方程，可以判断方程根的情况.
2.逆用：知道方程根的情况，求字母系数的值或取值范围.
注意：1.应用根的判别式求解关于 的方程 ^2+ + =0
时，应有 ≠0，即在一元二次方程的前提下才能应用根的判
别式；
2.一元二次方程有实数根，包括有两个相等的实数根和有两
个不相等的实数根两种情况.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
a
b
c
思考
直角三角形是一类特殊的三角形．它的三边在满足“任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”以外，是否还具有特殊性呢？
探究
在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.
S3
S2
S1
a
b
c
A
B
C
(1)
(2)
A
B
C
a
b
c
S2
S1
S3
18
观察
S3
S2
S1
a
b
c
A
B
C
(1)
S1=____个单位面积；S2=____个单位面积； S3=____个单位面积.
9
9
9个小方格的面积
9个小方格的面积
4个等腰直角三角形的面积
3×3÷2×4=18(个)
猜想
图(1)，(2)中，三个正方形面积具有怎样的关系呢？用它们的边长表示，是 .
S3=18
S2=9
S1=9
a
b
c
A
B
C
(1)
S1 S2 S3
A
B
C
a
b
c
S2=16
S1=9
S3=25
(2)
S1 S2 S3
a
b
c
a
b
c
a +b2=c2
这个关系是否对所有直角三角形都成立呢？
证明
方法二：面积计算
已知：如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，
AC=b.
求证：a +b =c .
a
b
c
A
B
C
(1)
a
b
c
a
b
c
证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH.
证明
(2)
从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.
E
F
H
G
A1
B1
C1
D1
∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°，
而∠A1B1E=
∠D1A1H，
因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，
∠D1A1B1=90°.
同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90°
所以四边形A1B1C1D1 是一个边长为c 的正方形.
a
b
c
a
b
c
证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH.
证明
(2)
正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积分别记作S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1，则
E
F
H
G
A1
B1
C1
D1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
S正方形EFGH 4 S△ABC = S正方形A1B1C1D1
a + b +2ab 2ab= c
( a+b ) 4×ab = c
a + b = c
这样我们就证明了上述结论成立，即得定理.
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
定理
勾股定理
勾
股
弦
如果直角三角形的两直
角边用a，b来表示，斜边用
c来表示，那么勾股定理可
表示为
a + b = c
a
b
c
归纳
归纳
勾
股
弦
a
b
c
在直角三角形中;
a + b = c
成立条件：
公式变形：
a = c b ;
b = c a ;
作 用：
已知直角三角形任意
两边长，求第三边长.
这样我们就证明了上述结论成立，即得定理.
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
定理
勾股定理
典型例题
【例1】求出图中字母所代表的正方形的面积.
(1) (2)
解：(1) SA 225 144 81；
(2) SA 80 24 56；SB 24 56 80.
A
225
144
A
B
24
80
典型例题
【例2】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1) 已知a 5，b 12，求c；
(2) 已知a 6，c 10，求b；
(3) 已知c 25，b 15，求a.
a b c
a
b
c
解：(1) ；
(2) ；
(3) .
常见的公式变形
知识点1 勾股定理
1. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜
边上的高为( )
D
A.10 B.5 C.9.6 D.4.8
返回
（第2题）
2.如图，在长方形中， ，
，将此长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为，则 的面积为
( )
C
A. B. C. D.
返回
3.[2024南京模拟] 在三边长分别为，， 的直
角三角形中，下列数量关系不成立的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4.[2024安徽] 如图，在 中，
，点在 的延长线上，
且，则 的长是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】如图，过点C作于点 .
， ，
，， .
， ，
.
返回
（第5题）
5. 如图，已知线段 ，按
以下步骤作图：①过点作 ，使
，连接；②以点 为圆心，以
长为半径画弧，交于点；③以点 为
A
A. B. C. D.
圆心，以长为半径画弧，交于点.若，则
的值为( )
（第5题）
【点拨】令的长为，则 .
在中， .
， ，
， ，
的值为 .
返回
6.[2024江阴期中] 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格
中，各顶点均在网格的格点上，于点 ，则
的长为___.
1
返回
知识点2 勾股定理的证明
7.[2024济南期末] 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起
来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证明
勾股定理的是( )
A
A. B. C. D.
【点拨】A.大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个
长方形的面积和， ，
以上公式为完全平方公式，故A选项不能证明勾股定理.
B.三个直角三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得 ，故B选项可以证明勾股定理.
C.大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加小正方形的
面积， ，
整理得 ，故C选项可以证明勾股定理.
D.整个图形的面积等于两个直角三角形的面积加上一个大正
方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角
形的面积， ，
整理得 ，故D选项可以证明勾股定理.故选A.
返回
8. 如图，火柴盒的侧面
为长方形，其中， ，
.把直立的火柴盒放倒，侧面 旋
转至长方形 处（如图）.
（1）_____，_____， ________
__________, _________________________
（用与，， 有关的代数式表示）;
或
或
（2）由（1）的结论证明勾股定理：
;
【证明】由图形可知
，
即 ，
，
.
（3）若，，则 ___.
6
【点拨】， .
又，， ，
.
返回
课堂小结
注意：
勾股定理：
勾股定理的认识
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
1.勾股定理的适用条件：在直角三角形中；
2.熟悉常见的公式变形；
3.当不能确定哪条边是斜边时，需分类讨论.
完成教材上的课后习题
课堂作业
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18.1.2 勾股定理
第18章 勾股定理
沪科版数学八年级下册（示范课课件）
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题；
2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力；
名师点金
根的判别式的应用：
1.直用：不解方程，可以判断方程根的情况.
2.逆用：知道方程根的情况，求字母系数的值或取值范围.
注意：1.应用根的判别式求解关于 的方程 ^2+ + =0
时，应有 ≠0，即在一元二次方程的前提下才能应用根的判
别式；
2.一元二次方程有实数根，包括有两个相等的实数根和有两
个不相等的实数根两种情况.
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
情境引入
我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？
A
C
B
你能用已学的知识解决上面的问题吗？
A
C
B
解：设水深AB x尺，则芦苇长AC (x 1)尺，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2 52 (x 1)2 .
解得：x 12，则AB 12尺，AC 13尺.
所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
x
x 1
5
合作探究
归纳
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
从实际问题中抽象出几何图形；
确定所求线段所在的直角三角形；
找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
求得结果，解决实际问题.
1
2
3
实际问题
数学问题
直角三角形
4
勾股定理
转化
构建
利用
解决
典型例题
【例1】已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m)
(2)
A
C
E
O
B
D
解：
∵OE=3m，BE=9m,
∴OB=9 3
=6(m)，
OD=12 3=9(m).
AC的长度
∵OB=6m，AB=10m，
在Rt△ABO中，
AO =AB OB =10 6 =64.
解得AO=8(m).
设AC=x，则OC=8 x，
在Rt△DOC中，
OC +OD =CD ，
即
(8 x) +9 =10 ，
解得x=8 ≈3.6
答：消防车要靠近约3.6米.
【例2】已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5，BC = 12. 求斜边上的高CD的长.
典型例题
┐
A
B
C
D
CD=S△ABC×2÷AB
解：
在Rt △ABC中，
AB =AC +BC
=5 +12
=169
AB==13.
又∵Rt △ABC的面积,
S△ABC=BC=CD
∴CD=
求直角三角形斜边上的高常用等积法．
应用1 传统数学文化中的应用
（第1题）
1.[2024巴中] “今有方池一丈，葭生其中央，
出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几
何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题
（如图）.即，， ，则
( )
C
A.8 B.10 C.12 D.13
返回
（第2题）
2. 如图，图①是北京
国际数学家大会的会标，它取材于我国古
代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的
直角三角形拼成的.若图①中大正方形的面
D
A.24 B.36 C.40 D.44
积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成
图②，则图②中大正方形的面积为( )
（第2题）
【点拨】设直角三角形的两直角
边分别为，，斜边为 ，
题图①中大正方形的面积是
24， .
题图①中小正方形的面积是4，， ，
题图②中大正方形的面积为
返回
应用2 实际生活中的应用
（第3题）
3.[2024威海期末] 如图，是一个
滑梯示意图，若将滑梯 水平放
置，则刚好与 一样长，已知滑
梯的高度为3米， 为1米.则
滑道 的长度为_____.
5米
返回
（第4题）
4.[2024北京海淀区开学测试] 如图，某人
到岛上去探宝，从 处登陆后先往东走
，又往北走 ，遇到障碍后又往
西走，再继续向北走 然后往东
一拐，仅走 就找到了宝藏.问登陆点
与宝藏埋藏点之间的距离是____ .
6.5
返回
5.[2024佛山顺德区校级月考] 某校在
一次消防演练中，消防队员需要通过
攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍
楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如
图停放，云梯的底端 离地3米、与
宿舍外墙 的距离是6米.请问云梯够长吗？说明理由.
【解】够长.理由如下：
连接，由题意，得 米,
,米,
米， 米，
米.
米米， 云梯够长.
返回
6.周末，小明和小亮去公园放风筝，为了测得如图所示风筝
的垂直高度 ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为20米；
③牵线放风筝的小明拉风筝线处与地面的高 为1.65米.
（1）求风筝的垂直高度 .
【解】由题意可知米， ，
米，
在 中，由勾股定理得，
（米），
（米）.
答：风筝的垂直高度 为17.65米.
（2）若风筝沿 方向下降了7米，小明位置
未变，则他应该往回收线的长度为___米.
5
【点拨】 风筝沿方向下降7米， 保持不变，
设下降到点，连接 ，
此时的 （米），即在
中， 米，
（米），
相比下降之前，缩短长度为 （米），
他应该往回收线5米.
返回
课堂小结
思路：
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
从实际问题中抽象出几何图形；
确定所求线段所在的直角三角形；
找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
求得结果，解决实际问题.
勾股定理的应用
1
2
3
4
实际问题
数学问题
直角三角形
勾股定理
转化
构建
利用
解决
完成教材上的课后习题
课堂作业
谢谢观看！
